试验数据的正态性检验、数据的转换及卡方检验

试验数据的正态检验、数据的转换和卡方检验

目录

一、符合正态分布的例子..............................................................1

二、不符合正态分布的例子...........................................................6

三、不符合正态分布数据的转换及转换后数据的方差分析...............................11

四、次数分布资料的卡方检验........................................................14

在对试验数据进行方差分析前，应对数据的三性（即同质性、独立性和正态性）进行检验。本

文介绍对资料的正态性进行检验的方法，主要介绍3种检验方法：（1）频数检验一一作频率分布图、

看偏度系数和峰度系数，（2）作Q-Q图检验，（3）非参数检验——单个样本K-S检验。

下面以两个试验数据为例，例1为84头育肥猪的体重数据，通常符合正态分布。例2为生长育

肥猪7个试验处理组的腹泻率（百分数资料）统计结果，这类资料往往不符合正态，而大多数人以

为是符合正态分布，进行方差分析的，因而不能得出正确的结论，却可能得出错误结论。

一、符合正态分布的例子

【例1】84头生长育肥猪的“体重”数据如表1-1,检验该数据是否呈正态分布。

表84头育肥猪的“体重"数据（排序后）

No.体重No.体重No.体重No.体重No.体重No.体重No.体重No.体重No.体重

155.31171.62178.33181.24184.65188.66192.07199.481107.4

258.21272.12278.73282.24284.75288.86292.072100.782109.0

360.21372.82378.83382.44384.75389.26392.273102.483112.8

464.81473.62479.13482.84485.05489.96493.074103.084113.2

565.81575.92579.33582.84585.35590.46594.275105.4

666.71676.12679.73682.84685.75690.96695.376105.4

767.91777.02780.23783.54786.45791.06797.077105.4

868.41877.12880.63883.74886.85891.16897.878106.0

970.11977.22981.13984.34987.35991.26998.479106.2

1070.82078.13081.14084.45087.46091.47098.580107.3

检验方法一：频数检验一一作频率分布图、看偏度系数和峰度系数

步骤1：数据录入SPSS中，如图1-1。

NO体重变量变量］

1155.30

2258.20

3360.20

446480

5565.80

6666.70

7767.90

8868.40

997010

10107080

111171.60

121272.10

图1-1体重数据录入SPSS中

步骤2:在SPSS里执行“分析一＞描述统计一＞频率”，然后弹出“频率”对话框（图l-2a）,变

量选择“体重”；再点右边的“统计量”按钮，弹出图“频率：统计量”对话框（图l-2b）,选

择“偏度”和“丰度”（图l-2b）；再点右边的“图表”按钮，弹出图“频率：图表”对话框（图

l-2c）,选择“直方图”，并选中“在直方图显示正态曲线”

图l-2a“频率”对话框

集中趋势

均值图）

□中位数

□众数（2）

口合计

值为组的中点也）

「分布।

囹偏度

囹蟾度

［继续］取消j帮助

图l-2b“频率:统计量”对话框图l-2c"频率:图表”对话框

设置完后点“确定”后，就会出来一系列结果,包括2个表格和一个图，我们先来看看“统计

量”表，如下：

统计量

体重

N有效84

缺失0

偏度.040

偏度的标准误.263

峰度-.202

峰度的标准误.520

偏度系数=0.040,峰度系数-0.202；两个系数都小于1,可认为近似于正态分布。再看直方图（图

1-3）,如下:

体重

图1-384头育肥猪体重的频数分布直方图

图1-3中横坐标为“增重”，纵坐标为增重出现的“频数”。根据直方图及绘出的曲线，可以

认为该数据近似正态分布。

检验方法二：Q-Q图检验

步骤1：数据录入SPSS中，如图1-1。

步骤2：在SPSS里执行“描述统计一＞Q-Q图”，弹出“Q-Q图”对话框，变量选择“体重”，检

验分布选择“正态”（见图1-4）,其他选择默认，然后“确定”。

Q-Q图

,变量在）：检脸分布CD

夕NO夕体重

df-

分布参数

囹从数据中估计（巨）

位留.I0

刻度：；1

-转换

比例估计公式

□自然对数转换（N）

@BlomCRankit©Tukey

口标准值g）

OVanderWaerden

0差分但）

为结指定的秩

IH季节性差分@）：1

@均值（M）c高但）o低也）

当前周期：无

。强制打开结（K）

［确定［粘贴（g）重置回［取消帮助，

图1-4“Q-Q图”对话框

最后可以得到Q-Q图检验结果，结果很多，我们只需要看最后一个图，见图1-5o所有数据

几乎在一条直线上，表明近似正态分布。

体重的正态Q-Q图

120-

期

望110-

100-

正90-

态80-

值70-

60-

图1-584头生长育肥猪的正态Q-Q图

检验方法三：非参数检验——单个样本K-S检验

步骤1：数据录入SPSS中，如图1-1。

步骤2:在SPSS里执行“分析一＞非参数检验一＞旧对话框一〉单个样本K-S检验”，弹出对话框,

检验变量选择“期初平均分”，检验分布选择“常规”（即正态分布），然后点“确定”（图1-6）0

图1一6单样本K-S检验对话框

从以下结果可以看出，K-S检验中,Z值为0.563,渐近显著性（双侧）（即P值）=0.909＞0.05,

因此数据呈近似正态分布。

单样本Kolmogorov-Smirnov检验

体重

N84

正态参数”均值85.9654

标准差12.67824

最极端差别绝对值,061

正,061

负-.056

Kolmogorov-SmirnovZ.563

渐近显著性（双侧）.909

a.检验分布为正态分布。

b.根据数据计算得到。

二、不符合正态分布的例子

【例2】7个处理组，每个处理4个重复，每重复3头生长育肥猪全期（98天）的腹泻次数统计结

果见表1-2。“腹泻率”统计结果，检验其是否符合正态分布？（腹泻指数为每天有1头猪发生腹

泻，记为1头次）。

表2-1生长育肥猪全期98天腹泻次数统计及腹泻率计算表

总指数（总头数）全期腹泻率“

分组重复（头数）饲养天数腹泻指数（腹泻头次）

（=3*98）（二腹泻头次/总头次）

139832941.02

1398112943.74

139822940.68

139852941.70

2

2398102943.40

239862942.04

239862942.04

3398122944.08

339872942.38

33985529418.71

3398122944.08

4398232947.82

439812940.34

439822940.68

4398112943.74

53987429425.17

53984529415.31

53988329428.23

539842941.36

639872942.38

6398142944.76

639862942.04

6398222947.48

73987329424.83

739832941.02

739842941.36

73983629412.24

检验方法一：频数检验一一作频率分布图、看偏度系数和峰度系数

步骤1：数据录入SPSS中，如图2-1。

分组重复饲养天数腹泻指数总指数腹泻率自然对数转

后的腹泻率

1139832941.02.02

21398112943.741.32

313982294.68-.39

4139852941.70.53

52

62398102943.401.22

7239862942.04.71

8239862942.04.71

93398122944.081.41

10339872942.3887

1133985529418.712.93

图2-1腹泻率数据录入SPSS中

步骤2:在SPSS里执行“分析一＞描述统计一＞频率”，然后弹出“频率”对话框（图2-2a）,变

量选择“腹泻率”；再点右边的“统计量”按钮，弹出图“频率：统计量”对话框（图2-2b）,

选择“偏度”和“丰度”（图2・2b）；再点右边的“图表”按钮，弹出图”频率：图表”对话框（图

2-2c）,选择“直方图”，并选中“在直方图显示正态曲线”

回频率（F）a

变量（丫）：统计量@）.j

夕分组6腹泻率

,图表©|

夕重复

,饲养天数।格式（£）—j

夕腹'泻指数Bootstrap(B)...)

夕总指数

囹显示频率表格Q）

［确定］拈贴（E）J重置（E）［取消帮助

图2-2a“频率”对话框

B频率:统计量

百分位值集中趋势一

四分位数（2）均值（M）

害9点相等组中位数

百分位数宅）：二众数（9）

|添加（&匚合计

【更逅

；剜除（艮）

值为组的中点❷）

高敬分布

标准差Q）「最小值9偏度

U方差£最大值，峰度

范围均值的标准误（£）

［继续I取消帮助I

图2-2b“频率:统计量”对话框图2-2c"频率:图表”对话框

设置完后点“确定”，就后会出来一系列结果，包括2个表格和一个图，我们先来看看“统计

量”表，如下：

统计量

腹泻率

N有效27

缺失1

偏度1.623

偏度的标准误.448

峰度1.433

峰度的标准误.872

偏度系数=1.623,峰度系数1.433；两个系数都大于1,可认为不服从正态分布。再看直方图（图

2-3）,如下：

图2-3腹泻率的频数分布直方图

图2-3中横坐标为“腹泻率”，纵坐标为增重出现的“频数”。根据直方图可以看出，分布显

然是偏态的，与正态分布曲线相差甚远。

检验方法二：Q-Q图检验

步骤1：数据录入SPSS中，如图2-1。

步骤2:在SPSS里执行“描述统计一＞Q-Q图”，弹出“Q-Q图”对话框，变量选择“腹泻率”，

检验分布选择“正态”（见图2-4）,其他选择默认，然后“确定”。

Q-Q图

一检蛤分布(I)一

8分组正哀▼

“重复

df

6饲养天数

岑腹泻指数分布参数

6总指数

SI从数据中估计(£)

位置0

刻度|7

比例估计公式

©BlomORankitOTukey

©VanderWaerden

「为结指定的秩一

@均值(M)©*(H)©低&)

o强制打开结(K)

［确F］fcfe(p)］重丽,|飞歪：痴助

图2-4“Q-Q图”对话框

最后可以得到Q-Q图检验结果，结果很多，我们只需要看最后一个图，见图2-5。腹泻率数

据不在一条直线上，表明不符合正态分布。

腹巧率的出态Q・Q图

期

望

正

态

俏

'1%06102030

观测值

图2-5腹泻率的正态Q-Q图

检验方法三：非参数检验一一单个样本K-S检验

步骤1：数据录入SPSS中，如图2・1。

步骤2:在SPSS里执行“分析一＞非参数检验一＞旧对话框一〉单个样本K-S检验”，弹出对话框,

检验变量选择“腹泻率”，检验分布选择“常规”（即正态分布），然后点“确定”（图2-6）。

图2-6单样本K-S检验对话框

检验结果为从结果可以看出，K-S检验中,Z值=1.544,渐近显著性（双侧）（即P值）=0.016＜0.05,

因此数据分布不符合正态分布。

单样本Kolmogorov-Smirnov检验

腹泻率

N27

正态参数""均值6.7641

标准差8.30213

最极端差别绝对值.299

正.299

负-.220

Kolmogorov-SmirnovZ1.554

渐近显著性（双侧）.016

a.检验分布为正态分布。

b,根据数据计算得到。

后记：对于以上腹泻率百分数资料的正态性检验，结果表明不符合正

态分布，因此不能用方差分析进行检验。可进行数据转换（对数转换等），

然后再对转换后的数据进行正态性检验，或采用其他检验方法（如卡方检

验）。

数据的转换和卡方检验方法介绍如下:

三、不符合正态分布数据的转换及转换后数据的方差分析

3.1“自然对数转换”后的Q-Q图

对于以上【例2】的腹泻率数据进行自然对数转换，可在Q-Q图检验时，选择“自然对

数转换”，步骤如下：

在SPSS里执行“描述统计一＞Q-Q图”，弹出“Q-Q图”对话框，变量选择“腹泻率”，检

验分布选择“正态”，在转换中选择“自然对数转换”（见图3-1）,其他选择默认，然后“确定”。

Q-Q图

变量（Y）：检险分布CD—

夕分组夕腹泻率正态

夕重复

df:

,饲养天数

,腹泻指数分布参数

,总指数

画从数据中估计（目

夕VAR00015

位匿叵二

刻度匚

-转换

比例估计公式

M自然对数转换型）

⑥Blom©Rankit©Tukey

0标准值©

◎VanderWaerden

0差分但）：

-为结指定的秩一

目季节性差分（§）：

◎均值（M）◎寓电）o低&）

当前周期：无。强制打开结（9

［确定］|粘贴也）||重力坦）j［取薮j|帮助j

图3-1腹泻率自然对换转换后的“Q-Q图”对话框

输出结果见图3-2。可见所有数据几乎在一条直线上，可认为近似正态分布。

腹泻率的正态Q-Q图

A

2-L

期

望

正

态

值0-

o12

观测值

转换：自然对数

图3-2腹泻率自然对换转换后的“Q-Q图”

3.2对自然对数转换后的数据作频率分布图、看偏度系数和峰度系数

将以上【例2】的腹泻率数据时行自然对数转换，结果如下表。

腹泻指数总指数自然对数转换后的

分组重复（头数）饲养天数全期腹泻率

（腹泻头次）（总头数）腹泻率

139832941.020.02

1398112943.741.32

139822940.68-0.39

139852941.700.53

2

2398102943.401.22

239862942.040.71

239862942.040.71

3398122944.081.41

339872942.380.87

33985529418.712.93

3398122944.081.41

4398232947.822.06

439812940.34-1.08

439822940.68-0.39

4398112943.741.32

53987429425.173.23

53984529415.312.73

53988329428.233.34

539842941.360.31

639872940.024-3.738

6398142940.048-3.045

639862940.020-3.892

6398222940.075-2.593

7398732940.248-1.393

739832940.010-4.585

739842940.014-4.297

7398362940.122-2.100

自然对数转换后腹泻率的频率分布图（直方图）、偏度系数和峰度系数如下：

图3-3自然对数转换后的腹泻率的直方图（近似正态分布）

统计量

自然对数转后的腹泻率

N有效27

缺失57

偏度.212

偏度的标准误.448

峰度-.656

峰度的标准误.872

自然对数转换后的腹泻率的偏度系数=0.213,峰度系数=-。656,均小于1。表明符合正态分

布。

3.3数据转换前后的方差分析结果的比较

腹泻率数据转换前与转换后的各组平均数如下：

描述性统计量

分组均值标准偏差N

腹泻率11.78501.370584

22.4933,785203

37.31257.640484

43.14503.471504

517.517512.100364

64.16502.519604