2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 861 直线与直线垂直作业

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册8.6.1直线与直线

垂直作业

一'选择题

1、对于平面。和共面的直线必，"，下列命题是真命题的是（）

A.若〃?，〃与。所成的角相等，则加〃〃

B.若〃z//a,〃//a,则加〃〃

C.若m_La,则〃//a

D.若，nua,〃//a,贝（]"/〃〃

2、已知三棱锥产一45c中，PAJ_平面ABC,8CL平面若AB=BC=1,

PA=2则此三棱锥的外接球的表面积为（）

8万

A.247rB.8乃C.6兀D.3

3、如图1,已知E、尸分别是正方形A8CO的边和CO的中点，分别沿AE、

EF、Ab将人钻石、AECF、VAF。折起，使3、C、。三点重合于P点，如

图2所示.设异面直线AP与所成的角为a,二面角E-A-EF-P

的大小分别为尸、7则下列说法正确的是（）

Ay<P<aB0<y<aQy</3=aDy-/3<a

J_]_

4、在正方体ABCD-ABCD中，点M、N分别在岫、BG上，且AM=§ABi,BN=§BG,

则下列结论：①AA」MN；②AC〃MN；③MN〃平面ABCD；④BDJ_MN,其中，

正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5、如图，已知P是矩形ABC。所在平面外一点，PA_L平面ABC。，E、F分别是

AB,PC的中点.若/也从=45。，则EE与平面A3。所成角的大小是（）

A.90。B.60。c.45。D.30°

ZABC=—

6、已知三棱锥P—ABC中，PA_L平面ABC,3,抬=4,若三棱锥

o一"0外接球的表面积为327，则直线PC与平面ABC所成角的正弦值为（）

币762772

A.7B.6c.7D.7

7、设a、4是两个不同的平面，加、〃是两条不同的直线，有下列命题：

①如果〃〃//〃，那么

②如果〃z_La,n//a,那么〃?_!_〃；

③如果a//月，mua,那么机///?；

④如果平面a内有不共线的三点到平面£的距离相等，那么a"'；

其中正确的命题是（）

A.①@B.②③C.②④D.②③④

8、如图，在正方体中，M,N分别是BG,CQ的中点，则下

列说法错误的是（）

A.MN与AG垂直B.MN与平面AC£4垂直

C.MN与平面。出。平行口.MN与平面A8。平行

9、如图，在长方体-A与GA中，44=244=24。］,A,B,c分

别是44,B%CC的中点，记直线4c与9所成的角为a,平面48c3

与平面ABC'D'所成二面角为尸，则（）

Acosa=cos/?Bsina=sin4

Ccosa>cos口sina<sin尸

BA=BC=AC=3

10、在四棱锥产一MC。中，PA,平面ABC,AABC中，2,

PA=2,则三棱锥尸-48c的外接球的表面积为（）

A.12夜4B.22乃c.12乃D.20万

n、已知加，〃为两条不同的直线，名,为两个不同的平面，则下列四个命题中正

确的是（）

①若mHn,nc.a则加//a；②若加_La,〃//a则/〃j_〃；

③若根//a,"//a,则〃?〃〃；④若m则a/R

A.①②④B.②③C.①④D.②④

12、如图，梯形ABCQ中，AB//CD,且AB，平面a,AB=2BC=2CD=4,

点P为a内一动点，且以PB=NDPC,则P点的轨迹为（）

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

二'填空题

13、若三棱锥尸一ABC的所有顶点都在球0的球面上，平面ABC,

473

AB=AC=2,ZBAC=90\且三棱锥尸一反。的体积为3,则球0的体积

为•

14、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为

鳖儒.如图，在鳖膈A8CO中，平面88,其三视图是三个全等的等腰直角

三角形，则异面直线AC与B。所成的角的余弦值为.

15、如图，在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AC=BD=氏，BC=AD=下,

E,尸分别是AB,8的中点.若用一个与直线所垂直的平面去截该三棱锥，

与棱AC,AD,BD,8c分别交于M,N,p,Q四点，则四边形间不。面

积的最大值为.

16、设加，〃是两条不同的直线，a是一个平面，有下列四个命题：

①若m±nfmua,贝g〃_Le；②若m±afnl/mt贝ij〃_La；

③若〃//a,mua,贝（］〃//根；④若〃?//2,nllaf则m-L”；

其中真命题是.（写出所有真命题的序号）

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图所示，在正方体中，M,N分别是

棱小^和A8上的点，若“MN是直角,则NGMN=.

18、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥P-A6C中，平面PAC,平面ABC,

AB=AC^BC^PA=2NPAC=120°.PM=3MC

（1）证明：BM±PC.

（2）求直线AB和平面P8C所成角的正弦值.

19、（本小题满分12分）在四棱锥P-MC。中，底面A6CO为正方形，PAL面

ABCD,幺=钻=4,E,F,H分别是棱PB,水"。的中点，过瓦E"的平面交棱

CO于点G,则四边形EPG”面积为

参考答案

1、答案D

解析利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A、B、C都不正确，只有D正

确，从而得到结论.

详解：由于平面a和共面的直线加，〃，

若加，〃与a所成的角相等，则直线加，〃平行或相交，故A不正确.

若加//a,nlla,则，则共面直线加，〃平行或相交，故B不正确.

若m'a,mLn,则及与平面a平行或〃在平面a内，故c不正确.

若"a,n//a,根据直线加，及是共面的直线，则一定有机〃〃，故D正确，

故选:D.

点睛

本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题.

2、答案C

解析将三棱锥补成一个长方体，由已知可知长宽高为2，1』，则该三棱锥外接球的直径

为长方体的体对角线，求出直径，再由球的面积公式计算即得.

详解：由题，可将三棱锥尸一.。补成一个长方体，那么三棱锥外接球的直径为长方

体的体对角线，即直径为℃=JF+22+F=R,则外接球的表面积

[7

S=4]（二一）2=6兀

故选：c

点睛

本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.

3、答案C

解析根据翻折的性质将所求的空间角转化为平面角，比较这三个角的大小即可.

详解：由翻折的性质易知，APLPE,APLPF,故AP_L平面PEF,所以APLEF,

即c=90,

由APLPE,40_1依可知二面角七一42一斤的平面角为/夕户，易知△£/¥'为等

腰直角三角形，且NEPF=90°.

取瓦'的中点M,连接PM、AM,如图.易知二直角A—尸一所-P的平面角为

NPMA,显然ZPM4为锐角，故/

故选：c.

点睛

本题主要考查异面直线所成的角、二面角，考查考生的空间想象能力，属于中等题.

4、答案B

解析此题借助于空间向量的知识来解，首先建立以D为原点的坐标系，设边长为1,写

出相关点坐标，找到直线的方向向量，平面的法向量而后进行数据计算证明

考点：空间线面的垂直平行关系的证明

5、答案C

解析取产。中点G,证明四边形用'G是平行四边形，则Eb与平面ABCD所成角就是

AG与平面ABCD所成的角，在必△HM中易求.

详解：解：

取中点G,连接AG、FG.

分别为A3、尸。的中点，

AE=-AB…~GF=、DC

：.2,GF//DC岂2,

又在矩形ABC。中AB//CD且AB=CO,

二AEIIGFRAE=GF,

•••四边形但G是平行四边形，

•-A•G//EF，

...AG与平面ABC。所成的角等于EF与平面所成的角，

•;PAJ•平面ABC。，A£)u平面ABC。，PA1AD

过G作垂足为H,G〃u平面ABC。，则GH//Q4,

.♦.G〃_L平面ABC。，

.♦.NGA”为AG与平面A8C£＞所成的角，即为所求角，

•••NPD4=45。，G为尸。的中点，

•••ZGAH=45°，

即Eb与平面ABCD所成的角为45。.

故选：c.

点睛

考查线面角的求法，通过平移直线转化成易求的线面角，基础题.

6、答案C

解析设为八钻c的外心,0为三棱锥P-ABC外接球的球心，利用三棱锥P-ABC外

接球的表面积为32万，求得AABC外接圆的半径为'=A&=2,找出直线pc与平面ABC

所成角为NP6,从而求得其正弦值。

详解

如图所示，设&为43c的外心，0为三棱锥P-MC外接球的球心，

由PA_L平面ABC,平面ABC,知PA"。%

取PA的中点D,由三棱锥P-ABC外接球的表面积为32万，

得OP=OA=2知四边形DA°Q为矩形，

又PA=4,所以加二日0二？，

外接圆的半径为「==J(2后-2?=2,

2r=AC

在AABC中，由rsinZABC,得AC=2x2xsinl20°=26,PC=25，

由PAJ•平面ABC,所以NPC4是直线PC与平面ABC所成的角,

PA277

ZPCA

sin~PC~^T

故选：C.

点睛

本题考查三棱锥的外接球、线面角的正弦值，考查空间想象能力和运算求解能力，求解

的关键是先找到外接球的球心，再根据外接球的体积求出球的半径和底面外接圆的半

径。

7、答案B

解析根据线面垂直与线面平行的性质可判断①；由直线与平面垂直的性质可判断②；由

直线与平面平行的性质可判断③;根据平面与平面平行或相交的性质，可判断④.

详解

对于①如果尸，根据线面垂直与线面平行性质可知a，力或a//£

或ac尸，所以①错误

对于②如果mla,n//a,根据直线与平面垂直的性质可知加,〃，所以②正确；

对于③如果c"B,mua,根据直线与平面平行的判定可知加//〃，所以③正确；

对于④如果平面a内有不共线的三点到平面夕的距离相等，当两个平面相交时，若三个

点分布在平面尸的两侧,也可以满足条件,所以a，错误,所以④错误；

综上可知，正确的为②③

故选:B

点睛

本题考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的性质，平面与平面平行的性质，属于中档

题.

8、答案C

解析对于选项A、B、D,利用线线垂直的判定定理及线面垂直的判定定理、线面平行的

判定定理证明即可，对于选项C,由及BGu平面GB0,即可判断c选项错

误.

详解：对于选项A,连接四0,由三角形中位线知识即可证得"N〃耳4,

由选项B可得42,平面ACG4,所以MN与AG垂直

对于选项B,由三角形中位线知识即可证得MN"B\D\,

正方体中，易得B'D',4G及明,平面4百噌，

所以，BQ、,又B}D}J.AG

所以BQ_L平面ACCA,所以MN与平面ACGA垂直

对于选项C,因为MeBG,BGu平面£8°,所以MN与平面至少有一个公

共点M,MN与平面CiBD不可能平行.

对于选项D,由B选项的证明可得""/BQ,又BDIIB、D\

所以MN//BD,又MV(Z平面4"。

所以MN与平面A8°平行

故选：C

点睛

本题主要考查了点、线、面关系的判断及线线垂直、线面垂直、线面平行的证明，还考

查了推理论证能力，属于中档题.

9、答案B

解析根据异面直线所成角定义可知即为a,由正三角形知a=60。，可证”反，

8c分别为平面和平面A8G4的垂线，视作平面法向量，利用其夹角可得二

面角,，即可求解.

详解:连接4综即\如图,

在长方体内知做“。2。，

所以N4A"为异面直线02c与AR所成的角为a,

易知AA4"为等边三角形，

所以a=60",

因为A2。2，平面^BB2A2AB2U平面ABB2A2,

所以402，4鸟

乂AB2_LA2BA)D91A-,B=A、

所以叫J■平面4BC%

同理可得'平面ABCIA,

—>-»

则被，BC可分别视为平面A2BC%平面ABCQ的一个法向量，

又因为在长方体内易知4°2//用,,而皿4为=60。

-»->

故4员与qC的夹角为60、

所以夕=60或夕=120。，

即sina=sin月

故选：B

点睛

求解二面角的常见方法有定义法、垂面法、投影面积法、空间向量法等，其中空间向量

法是利用二面角与两平面法向量夹角的关系，通过求向量夹角来达到求二面角的目的.

10、答案B

解析由题意，求人。长，即可求小旬。外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，

即可求出三棱锥P—ABC的外接球的表面积.

详解

BA=BC=—AC,厂

由题意MBC中，2,BA2+BC2=AC2,AC=3V2

则AABC是等腰直角三角形，/%_1平面460可得/%,4。，PA1BC,

BCL平面PAB,BC1PB,则PC的中点为球心

30

设AABC外接圆半径为r,则2r=4C=3近，-2

设球心到平面ABC的距离为d,则PA=2d

：d=l,由勾股定理得收=户+/，一2

则三棱锥尸一ABC的外接球的表面积S=4女=22乃

故选：B

点睛

本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空

间感知能力，中等题型.

11、答案D

解析根据选项利用判定定理、性质定理以及定义、举例逐项分析.

详解

①当相，”都在平面a内时，显然不成立，故错误；②因为则过"的平面与平面

a的交线必然与〃平行；又因为"'a,所以m垂直于平面a内的所有直线，所以加工

交线，又因为〃//交线，则加上〃，故正确；③正方体上底面的两条对角线平行于下底

面，但是两条对角线不平行，故错误；④因为垂直于同一平面的两条直线互相平行，故

正确；

故选：D.

点睛

本题考查判断立体几何中的符号语言表述的命题的真假，难度一般.处理立体几何中符

号语言问题，一般可采用以下方法：（1）根据判定、性质定理分析；（2）根据定义分析;

（3）举例说明或者作图说明.

12、答案B

解析：VABIICD,且AB,平面a...CD，平面a,且ABLBPCD±CP,：NAPB=NDPC

AAAPB^ADPC,APB：PC=AB：CD,VAB=2CD,APB：PC=2,V2BC=4,，BC=2,；.B、

C是定点

，p点的轨迹是圆

考点：动点轨迹

13、答案处叵乃

3

解析根据几何体特征补图成长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可

求得体积.

详解

4月

尸A,平面ABC,AB=AC=2,ZBAC=90,且三棱锥尸一ABC的体积为3,

-x-x2x2xPA=^^

即323,解得"=2有，

由题可得PAAB,AC两两互相垂直，

对几何体补图成如图所示的长方体，不共面的四点确定一个球，

所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长,

即y/p^+AB2+AC2=J12+4+4=,

所以外接球半径为后,

20A/5

V----------71

体积

2075

----------71

故答案为：3

点睛

此题考查求三棱锥外接球的体积，关键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多

做积累，特殊几何体常见的处理办法.

14、答案立

3

解析取BC,CD,BD,A£＞的中点"，N,Q,P,连接MN,PM,PN,PQ,MQ,根据

三视图可设A8=8O=CD=a,在APMN中，利用余弦定理即可求解.

详解：取BC,CD,BD,AD的中点

连接MN,PM,PN,PQ,MQ,

则MN//BD,PN//AC,

即异面直线AC与6。所成的角为NPNM,

根据题意，由三视图可知A6=80=8,

设AB=BD=CD=ci,AC==\[3ci

MN=MQ=PQ=qPN=-

则2,2

PM=

且

在APMN中，由余弦定理可得

3a2a2a1

222

,八5，PN+MN-PMX1ZZT=^I

cosZPNM=-----------------------

2PN-MNa3

2.•----•—

22

G

故答案为：3

点睛

本题考查了求异面直线所成的角、余弦定理，属于中档题.

15、答案也

2

解析把三棱锥4一BCD放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由

平行线截线段成比例，可得IPM+IPQ曰AB|=2,求出pN与pQ所成角，代入三角形

面积公式，再由基本不等式求最值.

详解：把三棱锥A-8CO放置在长方体中，如图，

QE，F分别是AB,8的中点，且平面MNPQ±EF,

可知MN〃PQ,PN〃QM,则四边形MNPQ为平行四边形，

再由平行线截线段成比例知，

UVP|=|P£|\PQ\_\BP\

\AB\~\BD\'\CD\~\BD\且|A§h|CO|

|NP|JPQ|=|PN|+|PQ|=|PO|+|BP|=]

所以两ICDI--寇———\BD\

可得|PN|+|PQ|=|A5|=2,

因为长方体侧面DC的长宽分别为百」，

所以长方形对角线长为2,

由正三角形可知侧面两条对角线所成锐角为60°,

乂PQ//C2PN//A8

则NNPQ=60',

.cG1PNI+IPQlY_6

当且仅当।PN1=1尸0=1时等号成立，

...四边形MNPQ面积的最大值为2.

V3

故答案为：2

点睛

本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的应用，考查“分割补形法，

利用基本不等式求最值，属于中档题.

16、答案②；

解析对①，〃不一定垂直a；对②，根据线面垂直的性质；对③，直线”，机可能异面；

对④，"，加可能平行.

详解：如图所示：正方体-44CQ中，

对①，取直线〃为44,直线，"为CO,平面。为面显然〃_La不成立，故

①错误；

对②，根据线面垂直的性质，故②正确；

对③，直线上加可能异面，故③错误；

对④，取直线小机分别为直线4片、GA,a为平面A3CD,显然〃，“平行，故④错

误；

故答案为：②.

点睛

本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.

17、答案90。

解析因为正方体ABCD-ABCD中,M、N分别是棱方1和AB上的点,若NBiMN是直角,

所以MN_LMBi,因为BC是棱，所以MN_LBC,所以MN_L平面MBC,

所以/GMN=90°

故答案为90°

18、答案（1）证明见解析；（2）叵.

13

（2）过点E作硝垂足为点H，推导出•平面PBC,计算出E”，可得出

点A到平面PBC的距离为2EH，由此可计算出直线AB和平面PBC所成角的正弦值

2FH

为——，进而得解.

AB

详解：（1）取AC的中点E,PC的中点产，连AP、ME、BE.

-.PA=AC,/为PC的中点，APC,

^■.PM=3MC,.•.河为。尸的中点，；.加£〃4尸，；.人e_12。，

又•；AB=BC,E为BC的中点，.•.3EJ.AC,

又•.・平面Q4C_L平面A8C,交线为AC,3石匚平面4?。，，5石，平面24。，

PCu平面PAC,..BE_LPC,