新教材高中数学第八章立体几何初步8-6-3平面与平面垂直一同步课件新人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直(一)

必备知识·自主学习1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个_______所组成的图形叫做二面角.导思1.怎样判定平面与平面垂直?2.平面与平面所成的角是怎样定义的?半平面(2)相关概念:二面角的棱二面角的面记法AB,lα,β二面角α-AB-β;二面角α-l-β;二面角P-l-Q;二面角P-AB-Q(3)平面角①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作_______棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②范围:_______________.③直二面角:平面角是直角的二面角.④本质:利用平面角度量二面角.垂直于0°≤α≤180°2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义①定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是_________,那么这两个平面互相垂直.②本质:线线垂直⇒面面垂直(2)平面与平面垂直的判定①判断定理:如果一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直.②符号:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.③本质:线面垂直⇒面面垂直.④应用:判定面面垂直的依据.直二面角垂线【思考】定义能否作为判定两个平面垂直的依据?提示:能.定义既是判定也是性质.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直. (

)(2)对于确定的二面角而言,平面角的大小与顶点在棱上的位置有关. (

)(3)已知一条直线垂直于某一个平面,则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直. (

)提示:(1)√.由二面角的平面角的定义可知,二面角的平面角的边所在的直线是两条相交直线,且都与棱垂直,所以二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直,所以该命题正确.(2)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这个二面角的平面角,因为所作两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3)√.由平面与平面垂直的判定定理可知,当一条直线垂直于某一个平面时,则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直,所以该命题正确.提示:(1)√.由二面角的平面角的定义可知,二面角的平面角的边所在的直线是两条相交直线,且都与棱垂直,所以二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直,所以该命题正确.(2)×.对于确定的二面角而言,在其棱上任取两个不同的点,分别作这个二面角的平面角,因为所作两个二面角的平面角所在的边分别平行,且它们的方向相同,所以这两个角相等,即平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,只与二面角的张角大小有关,所以该命题错误.(3)√.由平面与平面垂直的判定定理可知,当一条直线垂直于某一个平面时,则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直,所以该命题正确.2.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是 (

)A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β【解析】选D.由二面角的平面角的定义可知.3.(教材二次开发:例题改编)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是A.平面ABCD B.平面PBCC.平面PAD D.平面PCD【解析】选C.由PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面PAD,又因为CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.关键能力·合作学习类型一二面角的概念及求法(逻辑推理、数学运算)【题组训练】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°2.(2020·宁波高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为

.

3.在正四棱锥V-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为,则二面角V-AB-C的大小为

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2.(2020·宁波高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为

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3.在正四棱锥V-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为,则二面角V-AB-C的大小为

.

【解析】1.选B.易知AB⊥AD,AB⊥AD1,所以∠D1AD就是二面角D1-AB-C的平面角,显然∠D1AD=45°,所以二面角D1-AB-C的大小是45°.2.连接AC交BD于点O,连接A1O,如图所示,因为A1O⊥BD,AC⊥BD,所以∠A1OA即为二面角A1-BD-A的平面角,在△A1OA中,设AA1=a,则AO=a,所以二面角A1-BD-A的正切值为.答案:3.连接AC,BD交于点O,连接VO,则VO⊥平面ABCD,取AB的中点E,连接VE,OE,则VE⊥AB,OE⊥AB,所以∠VEO是二面角V-AB-C的平面角.由题意,知OE=1,VE=2,所以∠VEO=60°.答案:60°【解题策略】求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.【补偿训练】若P是△ABC所在平面外一点,而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,那么二面角P-BC-A的大小为

.

【解析】如图,取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,PA=,所以△POA为直角三角形,∠POA=90°.答案:90°类型二面面垂直判定定理及应用(直观想象、逻辑推理)角度1面面垂直的判断

【典例】(2020·信阳高一检测)如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有

(写出全部正确命题的序号).

①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,④平面ACD⊥平面BDE.【思路导引】借助图形直观判断或根据判定定理判断.【解析】因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.答案:③④【变式探究】(变条件)本例中若AB=CB=3,AD=CD=DB=5,AC=6,试判断平面ADC与平面BDE的关系.【解析】因为AB=CB=3,AD=CD=DB=5,AC=6,且E为AC的中点,所以DE=4,BE=3,又BD=5,所以三角形BDE是直角三角形,所以BE⊥DE,又BE⊥AC,所以BE⊥平面ADC,又BE⊂平面BDE,所以平面ADC⊥平面BDE.角度2面面垂直的证明

【典例】(2020·景德镇高一检测)如图所示,在四棱锥A-BCDE中,△ABE是正三角形,四边形BCDE为直角梯形,点M为CD中点,且BC∥DE,BC⊥BE,AB=BC=2,DE=4,AM=2.求证:平面ABE⊥平面BCDE.【思路导引】利用面面垂直的定义或判定定理证明.【证明】取BE的中点O,并连接AO,OM.则据题意可得:中位线OM的长为|OM|=,且OM⊥BE.方法一:又因为△ABE是正三角形,所以AO⊥BE,∠AOM为二面角A-BE-M的平面角.而|AO|=AB=,|AM|=2,有AO2+OM2=AM2,即∠AOM=90°.所以平面ABE⊥平面BCDE.方法二:因为|AO|=AB=,|AM|=2,有AO2+OM2=AM2,即∠AOM=90°.所以OM⊥OA,所以OM⊥平面ABE,因为MO⊂平面BCDE,所以平面BCDE⊥平面ABE.【解题策略】证明平面与平面垂直的两个常用方法(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角,其判定的方法是:①找出两相交平面的平面角;②证明这个平面角是直角;③根据定义,这两个相交平面互相垂直.(2)利用面面垂直的判定定理:要证面面垂直,只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法,其基本步骤是:【题组训练】1.如图所示,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,下列结论不正确的是

(

)A.平面VAC⊥平面ABCB.平面VAB⊥平面ABCC.平面VAC⊥平面VBCD.平面VAB⊥平面VBC【解析】选C.因为VA⊥AB,VA⊥AC,AB∩AC=A,所以VA⊥平面ABC,又VA⊂平面VAB,VA⊂平面VAC,所以平面VAC⊥平面ABC,平面VAB⊥平面ABC,故A正确,B正确;由VA⊥平面ABC可得VA⊥BC,又BC⊥AB,AB∩VA=A,所以BC⊥平面VAB,又BC⊂平面VBC,所以平面VAB⊥平面VBC,故D正确.2.(2020·江苏高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.易错提醒核心知识方法总结核心素养直观想象：求解二面角的问题求二面角时注意是锐角还是钝角平面与平面垂直（一）面面垂直的判断方法：（1）利用定义：作二面角的平面角→证明为直角（2）判定定理：转化为证线面垂直，即在一个面内找一条直线与另一个平面垂直二面角的求法：作出二面角的平面角并证明，将作出的角放在三角形中求解逻辑推理：面面垂直的证明问题涉及逻辑推理及其转化思想在证明面面垂直时注意满足的条件二面角定义判定定理应用课堂检测·素养达标1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有 (

)A.0个 B.1个C.无数个 D.1个或无数个【解析】选D.当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=30°,则二面角α-l-β的平面角的大小是 (

)A.30° B.150°C.30°或150° D.不确定【解析】选C.若点P在二面角内,则二面角的平面角为150°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为30°.3.(教材二次开发:练习改编)在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么有

(

)A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC【解析】选D.因为AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,所以AD⊥平面BDC.又因为AD在平面ADC内,所以平面ADC⊥平面DBC.4.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),则图中互相垂直的平面有

对.

【解析】因为DA⊥AB,DA⊥PA,所以DA⊥平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案:55.已知在△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC的位置关系是

.

【解析】因为PA=PB=PC,所以P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上,又Rt△ABC的外心为BC的中点,设为O,则PO⊥平面ABC,又PO⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABC.答案:平面PBC⊥平面ABCThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【解析】因为DA⊥AB,DA⊥PA,所以DA⊥平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AB⊥平面PAD,所以DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.答案:53.(教材二次开发:练习改编)