新教材高中数学第八章立体几何初步8-4-1平面素养课件新人教A版必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面

【情境探究】1.生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海平面都给我们以平面的形象,请问:生活中的平面有大小之分吗?几何中的“平面”呢?如何表示平面?提示:生活中的平面有大小之分.而几何中的“平面”是从生活中的物体抽象出来的,是平的,无限延展的,且无大小之分;平面可用α,β,γ等表示,也可用表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写字母表示.必备知识生成2.如图所示,直线a与直线b相交于点A,用符号表示能否记为a∩b={A}?

提示:一般不记作a∩b={A},而记作a∩b=A,这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合.3.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系?提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上.4.两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗?提示:不一定,当三点在同一条直线上时,不能判断两个平面重合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个平面,两平面重合.5.观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示),平面AB1D1与平面BCC1B1只有公共点B1吗?提示:因为平面是可以无限延展的,所以平面AB1D1与平面BCC1B1不只有公共点B1,而是有一条公共直线.【知识生成】1.平面的概念(1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.(2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平面的局部形象.2.平面的画法常常把水平的平面画成一个___________,并且其锐角画成_____,且横边长等于邻边长的__倍

一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体感,被遮挡部分用_____画出来

平行四边形45°2虚线3.平面的表示方法(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的_________的大写字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个_____表示,如平面AC,平面BD.希腊字母四个顶点顶点3.平面的表示方法(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的_________的大写字母表示,如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个_____表示,如平面AC,平面BD.希腊字母四个顶点顶点4.基本事实1文字语言过_______的三点,有且只有一个平面图形语言

符号语言A,B,C三点_______⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α作用确定平面证明四点共面不共线不共线5.基本事实2文字语言如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在此平面内图形语言

符号语言A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒_____作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面两个点l⊂α6.基本事实3文字语言如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线图形语言

符号语言P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l作用确定平面相交证明三线共点或三点共线7.基本事实的推论推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①).推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).关键能力探究探究点一三种语言的转化【典例1】(1)点P在直线a上,直线a在平面α内可记为(

)A.P∈a,a⊂α

B.P⊂a,a⊂αC.P⊂a,a∈α D.P∈a,a∈α(2)用符号表示下列语句,并画出图形.①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.关键能力探究探究点一三种语言的转化【典例1】(1)点P在直线a上,直线a在平面α内可记为(

)A.P∈a,a⊂α

B.P⊂a,a⊂αC.P⊂a,a∈α D.P∈a,a∈α(2)用符号表示下列语句,并画出图形.①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.【思维导引】解决本例的关键是,要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“∉”“⊂”“⊄”“∩”的意义.【解析】(1)选A.点可看成元素,而直线、平面可看成是由点构成的集合,故选A.(2)①用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.

②用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图.【类题通法】三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.(3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“∉”反映的是点与线,点与面的关系,而“⊂”或“⊄”反映的是直线与平面的关系.【定向训练】根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.(1)A∈α,B∉α.(2)l⊂α,m∩α=A,A∉l.(3)P∈l,P∉α,Q∈l,Q∈α.【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图①,②,③所示.探究点二点、线共面问题【典例2】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,点G在PD上,且PG=PD.证明:点A,E,F,G四点共面.【思维导引】连接EF,AG,在平面ABCD内,连接AE并延长交DC的延长线于点M,在平面PCD内,连接GF并延长交DC的延长线于点M1,证明点M与点M1重合,进而可得结论.【证明】连接EF,AG,在平面ABCD内,连接AE并延长交DC的延长线于点M,则有CM=CD.在平面PCD内,连接GF并延长交DC的延长线于点M1.取GD的中点N,连接CN.则由PG=PD可知PG=GN=ND.因为点F为PC的中点.所以在△PCN中有FG∥CN,即GM1∥CN.所以在△GM1D中有CM1=CD.所以点M与点M1重合,即AE与GF相交于点M.所以A,E,F,G四点共面.【类题通法】证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法:先由基本事实1或其推论确定一个平面,再由基本事实2证明有关点线在此平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.【定向训练】1.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.【证明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c和l共面.如图所示,因为a∥b,所以直线a与b确定一个平面,设为α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l⊂α.因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.2.已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC的中点.求证:A1,C1,E,F四点共面.【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,所以A1C1∥AC.因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.所以A1C1∥EF.所以直线A1C1与EF确定一个平面α,所以A1,C1,E,F四点共面于平面α.探究点三点共线、线共点问题【典例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.【思维导引】(1)考虑P,Q,R三点分别在哪几个平面上.(2)考虑在两个相交平面上的点,有什么特点.【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.所以P,Q,R三点共线.

方法二:因为AP∩AR=A,所以直线AP与直线AR确定平面APR.又因为AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR.因为B∈面APR,C∈面APR,所以BC⊂面APR.又因为Q∈面APR,Q∈α,所以Q∈PR.所以P,Q,R三点共线.【类题通法】证明多点共线的方法(1)选择两点确定一条直线,然后证明其他点在这条直线上;(2)证明这些点都在两个平面内,而两平面相交,因此这些点都在两平面的交线上.【定向训练】1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.【证明】连接A1C1,由AA1∥CC1,得AA1与CC1确定一个平面A1ACC1.因为A1C⊂平面A1ACC1,而O∈A1C,所以O∈平面A1ACC1.又A1C∩平面BC1D=O,所以O∈平面BC1D.所以O点在平面BC1D与平面A1ACC1的交线上.又AC∩BD=M,所以M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1.又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1,所以平面A1ACC1∩平面BC1D=C1M,所以O∈C1M,即C1,O,M三点共线.2.如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.

求证:AB,CD,l共点(相交于一点).

【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.所以AB,CD必定相交于一点.设AB∩CD=M.又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共点(相交于一点).

【课堂小结】课堂素养达标1.下列说法中正确的个数为 (

)①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100m,宽是90m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.A.0

B.1

C.2

D.3【解析】选B.①错误,因为平面具有延展性;②错误,平面无厚度;③错误,因为平面无厚度、大小之分;④正确,符合平面的概念.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为(

)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合条件的棱共有5条.3.任意三点可确定平面的个数是 (

)A.0 B.1 C.2 D.1或无数个【解析】选D.当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.4.看图填空:(1)AC∩BD=__________;

(2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1=__________;

(3)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;

(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=____________.

答案:(1)O

(2)A1B1

(3)AC

(4)OO1Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应