专题20圆(原卷版+解析)

专题20圆该部分内容在全国各地的中考均属于必考知识，其中主要包括：圆的有关概念、圆的对称性、圆周角及圆心角、直线与圆的位置关系、扇形弧长及面积、圆锥侧面积的计算等内容，每年涉及到圆的知识考查分值约有15分，比重还是比较大的，多以中等难度的选择、填空题以及中等较偏难的综合性解答题考查为主，对于大多数考生来说属于不易拿分的试题，一轮复习的时候务必掌握好相关基础知识，力争把非难题的分值拿下来，平时多加练习，万变不离其宗，回归知识本身，合理运用知识解答。考向一：圆的概念与性质1．与圆有关的概念和性质圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．弦心距：圆心到弦的距离．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）．4．垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．1．下列说法中正确的说法有（

）个①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤圆周角的度数等于圆心角的一半；⑥直径所对的圆周角是直角．A．1 B．2 C．3 D．42．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°3．如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（

）A．4 B．5 C．6 D．4．如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为____________．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．6．如图，在中，，若，则的度数是（

）A． B． C． D．7．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（

）A． B． C． D．8．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．9．如图，为半圆O的直径，点C、D在半圆上，沿、折叠半圆，若点A、B的对应点落在同一点E处，则的度数为___________．考向二：直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．2.圆的确定：①过一点的圆有无数个；②过两点的圆有无数个；③经过在同一直线上的三点不能作圆；④不在同一直线上的三点确定一个圆。3．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质：切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．4．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．5．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1．如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（

）A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°3．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．4．如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．25．如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线．(1)求证：为的切线；(2)若，，求线段的长．6．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（）A．23° B．44° C．46° D．57°7．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（

）A． B． C． D．8．已知⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝5，则∠ACB的度数为_____．9．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．10．如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．考向三：与圆有关的计算1.正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2.正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3.正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

（5）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（6）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.4．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．5．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，6．圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．1．如图，点，，是上的点，，，则的长是（

）A． B． C． D．2．如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，，，分别是小正方形的顶点，则扇形的面积等于（

）A． B． C． D．3．若圆锥的侧面积为，底面半径为5，则该圆锥的母线长是______．4．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度.5．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（

）A． B． C． D．6．在半径为3的圆中，圆心角所对的弧长是______．7．如图，将弧长为，圆心角为120°的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．1．(2023·广东广州·统考中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条2．(2023·广东广州·统考中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（

）A． B． C． D．3．(2023·广东·统考中考真题）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（

）A． B． C．1 D．24．(2023·广东·统考中考真题）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________．5．(2023·广东·统考中考真题）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．6．(2023·广东·统考中考真题）如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．7．(2023·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．8．(2023·广东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且．（1）求证：；（2）求证：以为直径的圆与相切；（3）若，求的面积．9．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．（1）求证：；（2）若，，求的长．10．(2023·广东·统考中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．11．(2023·广东·统考中考真题）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长.12．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．（1）求证：是的平分线；（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．1．已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．92．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（）A． B． C． D．3．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（

）A．38° B．42° C．48° D．58°4．将一个底面直径为6cm，母线长为10cm的圆锥沿一条母线剪开，所得的侧面展开图的面积为_____cm2．5．如图，P是矩形对角线上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作．若且，当与矩形的边相切时，的长为______．6．如图，扇形纸片的半径为2，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为______．7．如图，在中，，为上的一点，以为直径的半圆与交于点，且切于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若，求⊙O的半径的长．9．如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点B是弧的中点，在线段的延长线上取一点E，使.(1)求证：为的切线；(2)若，，求线段的长．10．如图，圆O为的外接圆，延长线与交于点D，，点F在上，平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连结，求证：；(3)如图3，连结并延长分别交，于G，H两点，若，，求．专题20圆该部分内容在全国各地的中考均属于必考知识，其中主要包括：圆的有关概念、圆的对称性、圆周角及圆心角、直线与圆的位置关系、扇形弧长及面积、圆锥侧面积的计算等内容，每年涉及到圆的知识考查分值约有15分，比重还是比较大的，多以中等难度的选择、填空题以及中等较偏难的综合性解答题考查为主，对于大多数考生来说属于不易拿分的试题，一轮复习的时候务必掌握好相关基础知识，力争把非难题的分值拿下来，平时多加练习，万变不离其宗，回归知识本身，合理运用知识解答。考向一：圆的概念与性质1．与圆有关的概念和性质圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．弦心距：圆心到弦的距离．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆（圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）．4．垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．1．下列说法中正确的说法有（

）个①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤圆周角的度数等于圆心角的一半；⑥直径所对的圆周角是直角．A．1 B．2 C．3 D．4答案:B分析：根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．【详解】①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确；②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误，③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误；④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故④错误；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故⑤错误；⑥直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意．故正确的是①⑥，故选：B．【点睛】本题考查了圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．2．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°答案:C分析：如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度数20°．故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．3．如图，已知是的一条弦，，点M在上，且，若，则⊙O的半径为（

）A．4 B．5 C．6 D．答案:B分析：过点于点，连接，利用垂径定理可得，在中，，再在中，，问题得解．【详解】过点于点，连接，∵，，∴，则，在中，，在中，，则：，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解决问题的关键．4．如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为____________．答案:分析：连接OC，由弦CD垂直平分OB，E为OB的中点，可得出OE为OC的一半，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到这条直角边所对的角为，得到，进而得出结论．【详解】连接OC，∵弦CD垂直平分OB，∴，又，在中，，∴，∵圆心角与圆周角都对，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，含直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝96°，∠CAB＝60°，点D是的中点．求∠ABD的度数．答案:∠ABD=102°．分析：根据∠CAB＝60°，可得，再由点D是的中点可得，由圆周角定理可知∠CBD＝30°，由此即可求出∠ABD的度数．【详解】解：∠AOB＝96°，∴∠ACB＝48°，∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝180°-∠ACB-∠CAB=72°，，又∵点D是的中点，∴，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝102°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键．6．如图，在中，，若，则的度数是（

）A． B． C． D．答案:D分析：利用平行线的性质可得，再利用圆周角定理可以得到．【详解】解：∵，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查圆周角定理、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．7．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（

）A． B． C． D．答案:B分析：连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可．【详解】解：连接，则：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键．8．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，是的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长，”请你解答这个问题．答案:直径的长为寸分析：连接，设的半径为r，利用垂径定理得到寸，再利用勾股定理求解即可．【详解】接：连接，设的半径为r，∵是的直径，，∴，，在中，根据勾股定理得，∴，解得，∴，即直径的长为寸．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．9．如图，为半圆O的直径，点C、D在半圆上，沿、折叠半圆，若点A、B的对应点落在同一点E处，则的度数为___________．答案:##度分析：根据折叠的性质得到，再根据平角的定义得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，再根据进行求解即可．【详解】解：由折叠的性质可知，∵，∴，∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，折叠的性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．考向二：直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d＝r；点P在圆内d＜r．2.圆的确定：①过一点的圆有无数个；②过两点的圆有无数个；③经过在同一直线上的三点不能作圆；④不在同一直线上的三点确定一个圆。3．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>rd=rd<r（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质：切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．4．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．5．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1．如果的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（

）A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定答案:A分析：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外，根据以上内容判断即可．【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，∴点在内．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．2．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BDC＝130°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．120° C．110° D．100°答案:D分析：根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数．【详解】∵四边形内接于，∴，而，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．3．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠OCD的度数为_____°．答案:54分析：根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵多边形ABCDE是正五边形，∴∠COD==72°，∵OC=OD，∴∠OCD=×（180°-72°）=54°，故答案为：54．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中心角的度数．4．如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2答案:D分析：连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接，∵与相切，∴，，，，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴矩形是正方形，∴，设，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．5．如图，点D为上一点，为的直径，延长到点A，连接，，并过点B作，交于点F，交的延长线于点C，已知恰好为的平分线．(1)求证：为的切线；(2)若，，求线段的长．答案:(1)证明见解析(2)分析：（1）根据角平分线定义及等边对等角易证，从而证得，再由，利用平行线的性质及切线定义即可得出结论；（2）连接，根据三角函数，可得，，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，再根据三角函数，即可得到．【详解】（1）证明：如图1，连接，平分，，，，，，，，，，又是的半径，为的切线．（2）如图2，连接，，，，，设，则，是的切线，，，，解得，，，为直径，，，，，即，．【点睛】本题考查切线的性质与判定、锐角三角函数，平行线的判定和性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，熟练运用平行线的性质和判定证明是的切线是解题的关键．6．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（）A．23° B．44° C．46° D．57°答案:B分析：连接，由切线的性质可得由圆周角定理可求得的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求得答案．【详解】解：连接，如图，为的切线，，，，．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键．7．已知圆内接正六边形的半径为则该内接正六边形的边心距为（

）A． B． C． D．答案:C分析：构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．【详解】解：连接OA，作OM⊥AB于M，得到∠AOM=30°，AB=2，则AM=，因而OM=OA•cos30°=3，∴正六边形的边心距是3．故选：C．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、解直角三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键．8．已知⊙O的半径为5，△ABC内接于⊙O，AB＝5，则∠ACB的度数为_____．答案:45°或135°．分析：当点C在优弧AB时，如图，由⊙O的半径为5，得到BC＝10，∠BAC＝90°，当点C在劣弧AB时，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：当点C在优弧AB时，如图，∵⊙O的半径为5，∴BC＝10，∠BAC＝90°，∵AB＝5，∴AC＝＝5，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°，当点C在劣弧AB时，∠C′＝180°﹣45°＝135°，综上所述，∠ACB的度数为45°或135°，故答案为45°或135°．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．9．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．答案:50°分析：根据切线长定理得到∠BPO＝∠APO，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠BPO＝∠APO＝25°，∴∠BPA＝50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了切线长定理，熟知切线长定理的性质是解题的关键．10．如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．答案:(1)见解析(2)AC的长为分析：（1）连接，证明，可得，由是的切线，可得，进而可证结论成立；（2）连接交于点D，可证垂直平分，设，利用勾股定理求出x的值，由圆周角定理可知，再利用勾股定理可求出的长．【详解】（1）连接．∵，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵是的切线，∴，∴，∴是的切线；（2）连接交于点D．∵的半径为3，∴．∵，∴，∵，∴垂直平分，∵，∴设，∵，∴，解得，∴，∵，∴，∴，∴．∵是的直径，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．考向三：与圆有关的计算1.正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2.正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3.正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

（5）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（6）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.4．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．5．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，6．圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．1．如图，点，，是上的点，，，则的长是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，得出，代入弧长计算公式即可．【详解】∵所对的圆周角，所对的圆心角为，∴，∴的长是，故选：A【点睛】本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系及弧长的计算公式，解题的关键是求出．2．如图，在的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，，，分别是小正方形的顶点，则扇形的面积等于（

）A． B． C． D．答案:A分析：根据题意求出扇形的半径为，，再根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意得扇形的半径为，，∴扇形的面积为．故选：A【点睛】本题为格点问题，考查了勾股定理，扇形面积公式等知识，熟知勾股定理和扇形面积公式是解题关键．3．若圆锥的侧面积为，底面半径为5，则该圆锥的母线长是______．答案:5分析：根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可．【详解】解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为5，∴．解得：，故答案为：5．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．4．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，求此圆锥高的长度.答案:分析：设圆锥底面圆的半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长=底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据勾股定理即可求出结果.【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，∵，∴的长，∴，即：，在中，，根据勾股定理得，.【点睛】本题考查了圆锥的相关知识，正确理解圆锥的侧面展开图的弧长与其底面圆的半径的关系是解题的关键.5．一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（

）A． B． C． D．答案:B分析：利用弧长公式求解即可．【详解】解：设圆心角为，根据题意得：，解得：，∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式．6．在半径为3的圆中，圆心角所对的弧长是______．答案:分析：根据弧长公式计算即可．【详解】弧长故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长计算，掌握弧长公式：是解题的关键．7．如图，将弧长为，圆心角为120°的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．答案:圆锥的底面圆半径为3；圆锥的侧面积为．分析：直接利用圆的周长公式即可求出圆的半径长，根据扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面展开图的面积；【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则，解得，设扇形的半径为，则，解得，∴圆锥的侧面积．【点睛】本题考查了圆锥的展开图问题，正确以及圆的周长公式以及扇形面积公式是解题的关键；1．(2023·广东广州·统考中考真题）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条答案:C分析：首先判断点与圆的关系，然后再分析P可作⊙O的切线条数即可解答.【详解】解：因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，所以，过点P可作⊙O的切线有2条；故选C.【点睛】本题考查了点与圆的关系、切线的定义，熟练掌握是解题的关键.2．(2023·广东广州·统考中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（

）A． B． C． D．答案:C分析：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，由垂径定理得：，∵⊙O的直径为，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度为，故选：．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．3．(2023·广东·统考中考真题）如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（

）A． B． C．1 D．2答案:B分析：过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2则（x+）2=32+x2，解得x=∴AB=+=2故填：2．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．4．(2023·广东·统考中考真题）扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________．答案:分析：根据扇形面积公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：该扇形的面积为；故答案为．【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．(2023·广东·统考中考真题）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________．答案:分析：连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答．【详解】连接OA，OB，则∠BAO=∠BAC==60°，又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1，∵∠BAC=120°，∴的长为：，设圆锥底面圆的半径为r故答案为．【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径．6．(2023·广东·统考中考真题）如图，等腰直角三角形中，．分别以点B、点C为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交、、于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为____．答案:分析：根据等腰直角三角形的性质可求出AC的长，根据S阴影=S△ABC-2S扇形CEF即可得答案．【详解】∵等腰直角三角形中，，∴AC=AB=，∠B=∠C=45°，∴S阴影=S△ABC-2S扇形CEF==，故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及扇形面积，熟练掌握面积公式是解题关键．7．(2023·广东·统考中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，．(1)试判断的形状，并给出证明；(2)若，，求的长度．答案:(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)；分析：（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，∴CD=．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．8．(2023·广东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且．（1）求证：；（2）求证：以为直径的圆与相切；（3）若，求的面积．答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）分析：(1)设，进而求得，再由即可求得；(2)取中点O，过点O作，由梯形中位线定理得到，利用得到，进而，由此即可证明；(3)过点D，点A分别向作垂线交于点M，N，得到，分别求出，再代入求解即可．【详解】解：(1)∵，设，∴，∵CD∥AB，∴，又∵，∴，∴，∴．(2)如图，取中点O，过点O作，∵CD∥AB，∠ABC=90°，∴，又∵，∴OM∥AB，∴M为中点，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴，∴以为直径的圆与相切．(3)∵∠DFE=120°，CD∥EF∥AB，∴，又∵∴为等边三角形，，∵CD∥EF，∴，由(2)得：，∴，∴，∵，在中，三边之比为，∴，在中，三边之比为，∴，如图，过点D，点A分别向作垂线交于点M，N，∵，∴四边形为矩形，∴，同理，四边形BENA为矩形，∴，．【点睛】本题考查了等腰三角形等腰对等角、梯形中位线定理、割补法求四边形的面积、圆的切线的证明方法等，熟练掌握各图形的基本性质是解决本题的关键．9．(2023·广东深圳·统考中考真题）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．（1）求证：；（2）若，，求的长．答案:（1）见解析；（2）分析：（1）根据题意，连接，通过证明，再由可证四边形为平行四边形，进而即可得到；（2）根据平行四边形的性质及D，C为的三等分点可证，得到，进而求得即可得到的长．【详解】（1）如图连接，∵A、D、C、B四点共圆∴又∴∵D，C为的三等分点∴∴∴∴，又∴四边形为平行四边形∴即原题中；（2）∵四边形为平行四边形，∴∵D，C为的三等分点，∴，∴，，∵∴∴∴，即∴∴．【点睛】本题主要考查了圆中综合知识、平行四边形的性质及判定及三角形相似的判定及性质，熟练掌握相关几何综合运用知识是解决本题的关键．10．(2023·广东·统考中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．（1）求证：直线与相切；（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值．答案:（1）证明见解析；（2）．分析：（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】（1）如图，过点作于点∵，∴，即又∵平分，∴即OE是的半径∴直线与相切；（2）如图，连接，延长交延长线于点由圆周角定理得：，是的直径，，AD、BC都是的切线由切线长定理得：∵∴在和中，∴∴设，则在和中，，即解得在中，则．【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．11．(2023·广东·统考中考真题）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）如图2，若点是的内心，，求的长.答案:（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BG=5.分析：(1)根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理以及可得，即可得ED=EC；(2)连接，可得，继而根据以及三角形外角的性质可以推导得出，可得，从而可得，问题得证；(3)证明，可得，从而求得，连接，结合三角形内心可推导得出，继而根据等腰三角形的判定可得.【详解】(1)∵，∴，又∵，，∴，∴；(2)连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴为的切线；(3)∵，，∴，∴，∴，∵，∴，连接，∴，，∵点为内心，∴，又∵，∴，∴，∴.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.12．(2023·广东广州·统考中考真题）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．（1）求证：是的平分线；（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．答案:(1)详见解析；(2)是，；(3)分析：(1)根据等弧对等角的性质证明即可；(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，∴,都为圆，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分线．(2)是．如图，延长DA至点E，使得AE=DB．连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，故△EDC是等边三角形，∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为∴．(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，同理D2H=∴t=D1D2=．∴x取最大值时,t取最大值．即D与O、C共线时t取最大值,x=4．所有t值中的最大值为．【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．1．已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．9答案:A分析：根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答．【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点，∴点到直线的距离．故选：A．【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键．2．如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（）A． B． C． D．答案:B分析：根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键．3．如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（

）A．38° B．42° C．48° D．58°答案:C分析：连接，，，根据五边形是正五边形，可求出的度数，由，可得的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可．【详解】如图，连接，，，∵五边形是正五边形，∴，∵，∴，∴，∵正五边形内接于，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌