第一轮复习教学案：第二章圆锥曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程

［课标研读］

［课标要求］

1.圆锥曲线

①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.

④了解圆锥曲线的简单应用.

⑤理解数形结合的思想.

2.曲线与方程

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

［命题展望］

本章内容是高中数学的重要内容之一，也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章

得到了很好的体现和充分的展示，尤其是在最近几年的高考试题中，平面向量与解析几何的融

合,提高了题目的综合性，形成了题目多变，解法灵活的特点，充分体现了高考中以能力立意的

命题方向。通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本

章的知识，分值高达30分左右。主要呈现以下几个特点：

1.考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选

择题与填空题的形式出现；

2.直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题常以压轴题的形式出现，这类问题视

角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解

决问题的灵活程度；

3.在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强

调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综

合程度；

4.对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问

题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。

第一讲椭圆

［知识梳理］

［知识盘点］

一.椭圆的基本概念

1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点《，工的距离的和等于常数(|F15F2|)

的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为。这两个定点叫椭圆的,

两个焦点之间的距离叫做椭圆的。

2.椭圆的第二定义：平面内，到定点歹(c,0)的距离与到定直线/:的距离之比是

常数工(即)的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数§叫做椭圆的o

aa

二.椭圆的标准方程

3.当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为(a>b>0),其中焦点坐

标为K(c,0),耳(-c,0)，且a?=；

当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为(a>b>0),其中焦点坐

标为F[(0,c),K(0,-c),且/=.

当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。

三.椭圆的简单几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

标准方程j+鼻=1(。〉6〉0)匕+j=1(。〉6〉0)

a2b2a2b2

ik

iV____________

Bi

图

一

4

AAFToF27A2彳

/L\B2X

形

VA2

焦点坐标Fi(______),F2(C,0)Fi(0,c),F2(______)

对称性关于x,y轴成中心对称

关于原点成中心对称

顶点坐标Ai(—afi),人2(_____)Al(______),人2(。,〃)

Bi(______)，&(0/)Bi(—6,0),B2(_______)

范围\x\<a,\y\<________区______,|y|<______

长轴短轴长轴4A2的长为______长轴A1A2的长为______

短轴B1B2的长为______短轴BIB2的长为______

离心率椭圆的焦距与长轴长的比e=______椭圆的焦距与长轴长的比e=______

准线方程X=___________产__________

［特别提醒］

1.本部分的重点是掌握椭圆的定义，离心率与。力,c之间的关系和椭圆方程的求法，定义和

性质的应用是椭圆知识的重点。突破重点的关键，一是要掌握好定义的几何条件，即椭圆=

{P||PF】\+\PF2\=2a,2a>\FXF2|}(2a是常数)；二是要熟练掌握椭圆标准方程的求法

及其特点，运用定义时要注意隐含条件a>c,明确离心率e确定椭圆的形状。

2.通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、准线、对称轴及其它特性的

讨论从整体上把握椭圆的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质。因此在复习中就注意图

形与性质对照，方程与性质对照来理解，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何

性质。由椭圆的定义得到椭圆上任意一点到焦点的距离(即焦半径)公式。土ex0(或。土ey0)

在解题中有着重要的作用。

3.涉及到直线与椭圆的位置关系问题时，可以通过讨论椭圆方程与直线方程组的实数解的

个数来确定，通常来说消元后得到一个关于x或y的一元二次方程，要注意判别式△及韦达

定理的运用，特别是方程思想、整体思想在解题过程中的应用。

4.求椭圆标准方程的常用方法是待定系数法和轨迹方程法。直线与椭圆相交时的弦的中点

坐标或弦中点的轨迹方程则由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中的重要方法之

一。另外，利用直线、弦长、圆锥曲线三者间的关系组成各类试题是解析几何中长盛不衰的

主题，其中利用直线方程、直线与椭圆相交后的弦求椭圆方程是各类试题中最难的试题，也

是高考的热点题型之一。

［基础闯关］

1.椭圆5/+外2=5的一个焦点是(0,2),那么左等于()

(A)-l(B)l(C)V5(D)-V5

2.已知八出是椭圆L+匕=1的两个焦点，过尸2的直线交椭圆于A、B,若|A8|=5,则

169

|AFi|+|BFi|=()

(A)11(B)10(C)9(D)16

3.已知两定点耳(-1,0)、,(1,0)且国词是|尸国与|尸国的等差中项,则动点尸的轨迹方

程是()

22222222

(A)土+乙=1(B)±+J(C)二+匕=1(D)—+—=1

16916124334

4.(2006年全国卷II)已知△ABC的顶点8、C在椭圆了+丁=1上，顶点A是椭圆的一个

焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△A8C的周长是()

(A)2小(B)6(C)4^3(D)12

5.(2006年上海卷)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(-273,0),且长轴长是短

轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是.

6.短轴长为会，离心率e=2的椭圆的两焦点为丹，尸2,过点凡作直线交椭圆于A、B

3

两点，则AAB3的周长是.

［典例精析］

4r2v2

例1.设B，6是椭圆一+—=1的两个焦点，尸是椭圆上的点，且|PB|：|PF2|=4：3,

496

求APFiB的面积。

［剖析］由椭圆方程可求出2a与2c,且由|PFi|：|P园=4：3知可求出|PR|,|尸£|的长度,

从而可求三角形的面积。

［解］由于|尸胤+|P6|=7,且|尸四:|P£1=4：3,得|P冏=4,|PF2|=3,又|RBI=2C

22

=21——6=5,显然|PPi|2+|PF2|=|FIF2|,所以APR%是以尸人，「巳为直角

边的直角三角形，从而所求APF1后的面积为S=!X|PFI|X|P&|=LX4X3=6.

22

［警示］本题运用了椭圆的定义来解题。椭圆定义是用椭圆上任意一点P到两焦点的距离

之和来描述的，定义中|PE|+|P&|=2a>|人巳|.定义能够对一些距离进行相关的转化，简

化解题过程。因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否

能够使椭圆的定义来解决。

［变式训练］:

1.已知点A(3,0),8(—2,1)是椭圆二+1-=1内的点，M是椭圆上的一动点，试求

2516

|MA|+|MB|的最大值与最小值。

例2.已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为」-和」一，

33

过点尸作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

［剖析］由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。因椭圆的

焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况。

4行2亚

［解］设椭圆的两个焦点分别为尸1，F2,|PQ|=*,|P£I=*

33

由椭圆的定义知2a=|「为|+『3|=2逐,即。=J?,由|尸尸1|>|尸尸2|知2尸2垂直于长轴。所以

在RtAPF2耳中,4C2=|PFI|2—|P/2产=5,所以,于是廿二片一

又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在j轴上，故所求的椭圆方程为

x23cy2io3x2y2,

—+^—=1或——+—=1.

510105

［警示］求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决。

椭圆中有“六点”(即两个交点与四个顶点)“四线”(即两条对称轴与两条准线)，因此在解

题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，

应注意有两种结果。

［变式训练］

2.(2006年江苏卷)已知三点尸(5,2)、F］(—6,0)、F2(6,0)。求以工、&为焦点

且过点尸的椭圆的标准方程。

例3.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在坐标轴上，且经过两点P(g,g)、e(o,-1);

(2)经过点(2,—3)且与椭圆9/+4y2=36具有共同的焦点.

［剖析］对于(1),由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点

在x轴、y轴上的标准方程，进行讨论求解；或采用椭圆方程的?+*2=］(僧且加。

直接求解，避免讨论；对于(2)由于椭圆9炉+4丁2=36的焦点坐标为(0,土斯)，因而可

22

设所求的椭圆方程为L+一二=1(2>0)，只要由题设条件确定4的值即可.

22+5

22

［解］(1)［解法一］①当所求椭圆的焦点在X轴上时，设它的标准方程为=+A=1(«>^>0),

ab

依题意应有I//，解得?，因为。>8从而方程组无解;

Z1、2721

②当所求椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为4+0=1(“>6〉0),

依题意应有a2b2,解得4所以所求椭圆的标准方程为；+［=

(--)2b2=-11

7

2_1I545

故所求的椭圆的标准方程为千+十=1

45

［解法二］设所求椭圆的方程为32+町』（心0,九>0,且mw〃），

111

_TYlHYl—\'巾=522

依题意得<99,解得，-,从而所求椭圆的标准方程为=+1=i.

1“—1〃=411

-M-1I——

I445

（2）［解］因为椭圆9/+4/=36的焦点坐标为（0，土百），，从而可设所求的椭圆的方

X2V249

程为一+二—=1（丸>0）,将又因为经过点（2,-3）,从而得一+-----=1,解得；1=10

22+522+5

22

或X=—2（舍去），故所求椭圆的标准方程为：—+—=1.

［警示］由于题（1）中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为

"M+R髭IS〉。,”〉。,且相。〃），而不必考虑焦点的位置，求接求得椭圆的方程；题（2）中

22

椭圆9/+4/=36变形为二+工-=1,其焦点坐标为工（0,、万），F2（0-V5）,所设

-49

22_

的方程二+上一=1（4〉0）是具有共同焦点的4（0,、后），居（0,-石）的椭圆系方程。

22+5

遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程。另外本题还可以设方

2222

程式+匕=1（力〉5）,—+^=1（2>-4）等解决。一般说来，与椭圆

Z-522+42+9

2222

二+2=13>b>0）具有相同焦点的椭圆方程可设为+工=1（2>-min（m,»））,其

ab2+mA+n

中〃|=。2。本题实质上运用的也是待定系数法。

［变式训练］

3.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

⑴焦点在坐标轴上，且经过两点2）、A（-2V3,1）；

⑵经过点M（2,、后），且与椭圆9x2+5/=45具有共同的焦点.

例4.在AA5C中，BC=24,AC.AB边上的中线长之和等于39,求AA3C的重心的轨迹

方程。

［剖析］:有一定长线段BC,两边上的中线长也均与定点以C和AA5C的重心有关，因此

需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。

［解］如图所示，以线段8c所在直线为x轴、线段8c的中垂线为y

轴建立直角坐标系。

设M为AA5C的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，

22

由重心的性质知|8河|=耳|3。|,\CM\=-\CE\,于是

2222

\MB\+\MC\=-\BD\+-\CE\=-(\BD\+\CE\)=-x39=26.

根据椭圆的定义知，点"的轨迹是以8、C为焦点的椭圆.

2a=\MB\+\MC\=26,.'.a=13,又2c=|_BC|=24,c=12,

:.b~a1-c2=132—122=25,故所求的椭圆方程为

22

工+上=1("0).

16925

［警示］在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方

22

程为焉+喜=1(丁wO),应考虑若y=0时，A、B、C三点在同一条直线上，不可能构

成三角形，所以应将y=0去掉。另外，平面内一动点与两定点Fi，巳的距离之和为常数

2a,当2a>|时,动点的轨迹是椭圆；当2a=|外冏时动点的轨迹是线段当2a<\丹码

时，动点的轨迹不存在。

［变式训练］

历

4.在MAABC中，ZCAB=90°,AB=2,AC=—,曲线E过C点，动点P在曲线E

2

上运动，且保持|巳4|+|23|的值不变，求曲线E的方程。

例5.设尸的轨迹是曲线C,满足：点尸到厂(-2,0)的距离与它到直线/:九=—的距离之

比是常数，又点"(2,-J5)在曲线C上，点N(-1,1)在曲线C的内部.

⑴求曲线C的方程；

(2)|PN|+J5|PF|的最小值，并求此时点P的坐标.

［剖析］:由已知条件通过列方程，不难得出曲线。的方程，但要注意计算准确。

IPFI

［解］⑴设P(x,y)是曲线C上任一点，则^——^=加(加为常数)，

|x+4|

即J(x+2)2+。2=力|%+4|,又点"(2,—J5)在曲线。上，所以742+2=7刈2+4］,

所以m=等，所以曲线。的方程是J(X+2)2+J?=个^，即:+；=1•

⑵F是椭圆C的左焦点，夜|依|实际上是点P到左准线的距离.所以当PN与左准线垂

直时，|川|+夜|「/|的值最小，此时点P的坐标为（-标,1）.

72

［警示］由本例可知，点尸到厂（-2,0）的距离与它到直线/:x=T的距离之比弓是一

个在（0,1）的常数，事实上，平面内到一定点厂的距离和一条直线/（/不在直线上）的距离之

比是常数e（0<e<l）的动点的轨迹就是椭圆，其中定点E是椭圆的一个焦点，定直线/是

椭圆的这个焦点所对应的准线，这就是椭圆的第二定义。

［变式训练］

5.设P的轨迹是曲线C,满足：点P到E（2,0）的距离与它到直线/:x=8的距离之比是

常数，又点M（3,、一）在曲线C上，点A（-2,遍）在曲线。的内部.

⑴求曲线C的轨迹方程；

⑵|MA|+21M用的最小值，并求此时点尸的坐标.

例6.设点P是椭圆马+与=1上一点，片,只是椭圆的两个焦点，且/"尸居=90°，

a~b

求椭圆的离心率的取值范围。

［剖析］由题设条件不难看出p,K，工是一直角三角形的三个顶点，且由/耳「工=90°,

可想到利用勾股定理来加以解决。

［解］由椭圆的定义得IP片I+IPF21=2a①

在中，N《PB=90°，由勾股定理，得1尸6F『=1不工『=4°2②

将①②化简得：|「工||「工|=2（/一°2）③

由①③，根据韦达定理，可知|「片|,|桃I是方程2"+2（。2—。2）=。的两个根。

则有A=41—8（/—。2）20,所以（£）22工，即正，又e<l,从而正<e<l.

al22

［警示］<<考试大纲>>要求掌握椭圆的简单几何性质，这就要求我们不仅准确把握和牢固

地记忆这些几何性质，还要灵活地运用这些性质解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准

方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题

型，需要重点把握。

［变式训练］

X1y2

6.设R、尸2为椭圆一+J=1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知尸、尸1、B是一个

94

直角三角形的三个顶点，且|PB|>|P%I，求\PF\i的值.

\PF2\

［能力提升］

1.有以下两个命题：

⑴动点P到两定点A3的距离之和1PAi+\PB\=2ag>0,且a为常数)；

⑵尸点的轨迹是椭圆.

则命题(1)是命题(2)的()

(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充分且必要条件(D)既不充分也不必要条件

2.(2006年山东卷)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为正，焦点到相应准线

的距离为1,则该椭圆的离心率为()

(A)V2(B)*(C)|(D)日

3.椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是()

(A)—(B)—V5(C)—V3(D)—V3

4.如果方程/+62=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数左的取值范围是()

(A)(0,+8)(B)(0,2)(C)(1,+8)(D)(0,1)

5.(2006年湖北卷)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B

两点，点。与点尸关于y轴对称，。为坐标原点，若加=2砺，且而.Q=l,则P点

的轨迹方程是()

(A)3%2+万,2=1(%>0,>0)(B)3x2-—y2=1(%〉0,y〉0)

(C)—%2-3y2=1(A:>0,y>0)(D)—%2+3y2=1(%>0,y>0)

6.已知椭圆ax?+〃/+ab=o(a<6<o),则其焦点坐标为.

7.(2007年广东惠州市调研)已知点尸是椭圆——+V=1上的在第一象限内的点，又

A(2,0)、5(0,1),。是原点，则四边形QAPB的面积的最大值是一

22

8.(2006年四川卷)如图，把椭圆工+匕=1的长轴A3分成8等

2516尸舄

份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于与

《，E,鸟，舄，己，《七个点，厂是椭圆的一个焦点，则

归阿上归］冲」

4+14a4M7

XV

9.如图所示，R、6分别为椭圆F+==1的左、右焦点，点P在椭

/b

圆上，△POFz是面积为百的正三角形，则〃的值是

10.(2007年广东韶关调研)如图，在直角梯形A3CD中，ZBAD=90，AD//BC,

31

AB=2,AD=-,BC=~,椭圆以A、6为焦点且经过点。.建立适当的直角坐标系,

22

求椭圆的方程；

x~y

11.椭圆——+==1的焦点为B、歹2,点P为其上的动点，当为钝角时，求点P

94

横坐标的取值范围。

炉8y

12.设厂1、巳分别为椭圆C：r+—2=1(a>b>0)的左、右两个焦点.

a"b~

3

(1)若椭圆C上的点A(1,—)到人、&两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和

2

焦点坐标；

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段QK的中点的轨迹方程；

(3)己知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点尸是椭圆上任意

一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kpM>如v时，那么kpM与作w之积是与点P

22

位置无关的定值.试对双曲线二-二=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

ab

第二讲双曲线

［知识梳理］

［知识盘点］

1.双曲线的定义：我们把平面内与两个定点片,工的距离的差的绝对值等于常数

(|F15F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为O这两个

定点叫双曲线的,两个焦点之间的距离叫做双曲线的O

2.双曲线的第二定义:平面内，到定点尸(c,0)(或歹(0,c))的距离与到定直线/:的

距离之比是常数£(即)的动点的轨迹叫做双曲线，这个定点是双曲线的，

a

这条定直线叫做双曲线的，其中常数£叫做双曲线的。

a

二.双曲线的标准方程

3.当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为，其中焦点坐标为

片(c,0),%(―c,0),且。2=；

当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为,其中焦点坐标为

6(0,c),6(0,—c),且,2=.

当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式。

离心率

e=—(e>l)

a

,a2

准线X=±——

C

渐近线,a

y-±—x

b

［特别提醒］

本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质.难点是理解参数。、氏c、e的关系及渐

近线方程、准线方程、第二定义的应用.关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形

结合、函数与方程的思想及等价转化的思想.为此建议在复习中注意以下几点：

1.双曲线中有一个重要的(如下图)，它的三边长分别是。、b、c.易见02=4+〃，

1

若i己Z.AOB=9,贝Ie=—=----.

acos。

2.双曲线的定义用代数式表示为||MFi|一|M&ll=2a,其中2“<|爪6|，这里要注意两点：

(1)距离之差的绝对值.

(2)2a<\FiF2\,这两点与椭圆的定义有本质的不同.

当阿碎一尸护2。时，曲线仅表示焦点尸2所对应的一支；

当|AfQ|一|MB|=一2a时，曲线仅表示焦点Fi所对应的一支；

当2a=EB|时，轨迹是一直线上以尸1、B为端点向外的两条射线；

当2a>回6|时，动点轨迹不存在.

3.参数6是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a>0,b>0；双曲线焦点位置决

定标准方程的类型；a、b、c的关系是02=/+〃；在方程泰2+初2=。中，只要AB<O且

0,就是双曲线的方程.

4.在运用双曲线的第二定义时，一定要注意是动点P到焦点的距离与到相应准线距离之比为

常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.

5.给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线.但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张

口的大小，不能直接写出双曲线方程.但若已知渐近线方程是±±?=0,则可把双曲线方程

ab

表示为三一勺=■(2#0),再根据已知条件确定X的值，求出双曲线的方程.

a2b-

［基础闯关］

1.设尸是双曲线二一二=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x—2y=0,Fi、&分别

CT9

是双曲线的左、右焦点.若1PBl=3,则|产后|等于（）

(A)l或5

2.（2005年北京春）“浦＜0”是“曲线"2+勿2=1为双曲线”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件

3.过点（2,-2）且与双曲线三一产=1有公共渐近线的双曲线方程是（）

4.（2006年陕西卷）已知双曲线二-乙=1（。＞四）的两条渐近线的夹角为三，则双曲线

a23

的离心率为（）

(C)V3(D)2

5.已知圆C过双曲线二一二=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心

916

到双曲线中心的距离是.

22

6.给出问题：尸1、B是双曲线二一匕=1的焦点，点尸在双曲线上.若点P到焦点分的

1620

距离等于9,求点P到焦点&的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由||「为|一

出手引|=8,即19Tpp¥1=8,得出4=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正

确结果填在题中的横线上..

［典例精析］

例1.设双曲线与椭圆二+乙=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4,

2736

求双曲线的方程。

［剖析］由于椭圆的焦点坐标为（0,±3）,且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦

22

点也为（0,±3）,从而知所设双曲线的形式应为当-'=1,围绕定义产生的问题，要注意

||入片|-|4月||=2。的三个量之间的关系。本题抓住“交点A”在双曲线上，必须满足定

义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量。

22

［解］解法一：由椭圆工+匕=1,得其焦点为（0,—3）或（0,3）,.•.双曲线的焦点在y轴

2736

上，设所求的双曲线方程为2=l(a>03>0).由已知得双曲线两焦点分别为

片(0,-3),8(0,3),且与椭圆相交其中一个交点的纵坐标为4,设交点坐标为(私4),从而

/TZ?16I

得——+—=1,解得"2=而\

2736

则2a=||A片|一|A8||=|7(V15-0)2+(4+3)2--0)2+(4-3)2|=4

22

解得〃=2,由于。=3,得b=下,因此方程匕—土=1即为所求.

45

22

解法二：由题意设双曲线方程为」一+二一=1(27<2<36),将A(JI?,4)代入求得

2=0(舍)或2=32,故所求双曲线方程为乙-±=1.

45

［警示］利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立

瓦C之间的等量关系，再利用。2=4+〃运用方程的思想来求解，从而得到。力的值。

但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程。

［变式训练］:

1.根据下列条件，求双曲线方程：

22

(1)与双曲线二一二二1有共同的渐近线，且过点(一3,26)；

916

22

(2)与双曲线二一”二1有公共焦点，且过点(3后，2).

164

例2.设点P到点—1,0)、N(1,0)距离之差为2m，至！J无轴、y轴距离之比为2,求

m的取值范围.

［剖析］由1PM—|PN=2相，得11PM-1尸川1=2防|.知点尸的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y

轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得加的取值

范围.

［解］设点P的坐标为(x,>),依题意得.=2,即尸±2x(xWO)①

因此，点尸(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线，得11PMi—|PM<|MN=2.

'：\\PM\-\PN\\=2.\m\>0,.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2阶|的双曲

22

线上.故设J——三=1.②

m1—m

将①代入②，并解得任=’"2(1,

l-5m2

J5

*.*1—m2>0,1—5m2>0.解得0<|m|<-^-,

即机的取值范围为(一旦,0)U(0,—).

55

［警示］求双曲线的方程，关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(服b、c、e及准

线)之间的关系，并注意方程思想的应用.

［变式训练］

2.(2007年上海浦东)已知曲线。:三一引引=1(|1区4).

(1)画出曲线。的图像，

(2)若直线/:y=kx—1与曲线C有两个公共点，求左的取值范围；

⑶若P(0,0)(2>0),Q为曲线C上的点，求|PQ|的最小值.

4

3

2

1

・

-4-3-2・101234

-1

巫

例3.已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，点P(-2,0)与其渐近线的距离为

过点尸作斜率为工的直线交双曲线于A3两点，交y轴于跖且IPMI是|PA|与|依|的

6

等比中项.

(1)求双曲线C的渐近线方程；

(2)求双曲线。的方程.

［剖析］(1)由点P(-2,0)与其渐近线的距离为萼，借助于点到直线的距离公式可求得其

渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。

［解］(1)设双曲线的一条渐近线方程为丁=依，由点到直线的距离公式得左=±g，即双曲

线的渐近线方程为y=±gx；

(2)设双曲线方程为犬2—9丁2=皿加＞0),，

x-9y-m

则直线AB的方程为丁=L(％+2).由，1得3/—4%—4—4m=0,

6y=-(x+2)

444

当八二16—3、(1+机)＞0即机＞--时，有石+々=§,玉%2=+

由|MP『=|PA11|可得|(%+2)(/+2)|=4,从而切=7或加=1.

x29y2

故所求的双曲线方程为一-X=1或炉9—9产?=1.

77

22

［警示］渐近线是双曲线特有的，如果说双曲线的方程为二-4=1,则其渐近线方程可记

ab

222222

为二-斗=0.同时，以=-3=0为渐近线的双曲线，其方程可设为3-3=九若已知双曲

a'ba"ba"b"

线的渐近线方程是以ax±by=0的形式给出的，则可设双曲线方程为(2H0).

［变式训练］

3.已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆好+产=io相交于点夕(3,-1),若此圆过点P的

切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。

例4.已知直线,=履+1与双曲线3——V=i相交于A、8两点，那么是否存在实数左使

得两点关于直线x-2y=0对称？若存在，求出左的值；若不存在，说明理由。

［剖析］这是一类非常典型的题目上，''已知曲线C：iwc--ny~=l(mn^0,m+n^0)±.

是否存在相异的两点使4,3关于定直线,=丘+人对称”这类问题的基本解决思路

是：若存在4和%),3(%,%)是曲线。上相异两点，它们关于丁=丘+〃对称.设的中

—ny^=1

点为（%,%），则<221nm（产力（君子》4汇2》（z，即

nvc2-ny2=I

y—y

•2x=-2y0•—---

m0n,mxQ=ny0•=>ny0+mkx0=0①，又％=也+6②,

xr-x2.

—nb

XQ—

由①②可解得《根据坐标x°,y°的范围，不难得出答案。