八年级数学下册专题19.5 一次函数的应用【八大题型】

专题19.5一次函数的应用【八大题型】

【人教版】

【题型1行程问题】...........................................................................1

【题型2工程问题】...........................................................................5

【题型3利润最大问题】.......................................................................9

【题型4费用最低问题】......................................................................14

【题型5调运问题】..........................................................................19

【题型6体积问题】..........................................................................23

【题型7几何图形问题】......................................................................26

【题型8其他问题】..........................................................................29

【题型1行程问题】

【例1】（2022春•大足区期末）甲、乙两车分别从A,3两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继

续保持原速向远离8的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12

小时后两车同时到达距4地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）.设两车行驶的时间为x（小时），

两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A地150

【分析】由图象可知甲车从A地到8地用了4小时，进而可知甲车的速度，得出A、8两地的距离是300

千米，进而得出乙车到达A地的时间，进而可得答案.

【解答】解：由图象可知，甲车从A地到8地用了4小时,

;经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地,

甲车从8地到C地用12-4=8(小时)，乙从B地到C地用了12小时，

■4、C两地的距离是300千米,

...甲车的速度是300+(8-4)=75(千米/时)，

；.A、8两地之间的距离是75X4=300(千米)，

乙车从B地到达A地需要£=6(小时)，

此时甲的路程为75X6=450(千米)，

甲车矩A地450-300=150(千米)，

故答案为：150.

【变式1-1](2022•前进区校级开学)甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1人以后乙车出

发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y(km)与乙车行驶时间x(〃)的对应关系如图所示：

(1)直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少h”？

(2)求乙车出发多长时间追上甲车？

(3)直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18h〃.

【分析】(1)由图象直接得出结论；

(2)先求出甲、乙车的速度，设乙出发x小时追上甲车，再根据路程相等列出方程，解方程即可；

(3)设甲车出发)力与乙车相距18h»,分乙车出发前和出发后两种情况，根据路程差=18列出方程，解

方程即可.

【解答】解：(1)由图象可知，佳木斯、哈尔滨两城之间距离是360切?；

(2)由图象可知，乙车速度为360+3=120Ckm/h),甲车速度为360+(4+1)=72(km/h),

设乙出发x小时追上甲车，

根据题意得：120x=72(x+1),

解得x=|，

答：乙车出发|小时追上甲车：

（3）设甲车出发功与乙车相距1相

①乙车出发前，

由题意得72）=18,

解得产；；

4

②乙车出发后，

由题意得：|72y-120（y-1）|=18,

解得：尸日或X=录，

综上所述，甲车在行驶过程中经过工或2人或言/1与乙车相距18Ml.

4248

【变式1-2］（2022秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知

甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定

先到A地者停止运动就地休息.若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系

如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人

在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（）

【分析】根据图象可知A、8两地相距3720米；利用速度=路程+时间可求出甲、乙的速度，由二者相

遇的时间=6+4、8两地之间的路程+二者速度和，可求出二者相遇的时间，再由A、C两地之间的距离

=甲的速度X二者相遇的时间可求出A、C两地之间的距离，由A、C两地之间的距离结合甲、乙的速度,

可求出乙到达A地时甲与A地相距的路程.

【解答】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，

甲的速度为（3720-3360）+6=60（米/分钟），

乙的速度为（3360-1260）4-（21-6）-60=80（米/分钟），故①说法正确；

甲、乙相遇的时间为6+3360+（60+80）=30（分钟），故②说法正确；

4、C两地之间的距离为60X30=180（）（米），

乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800-1800+80X60=450（米）.故③说法正确.

即正确的说法有3个.

故选：D.

【变式1-3]（2022春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560

米，先到终点的运动员原地休息.已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x

（秒）之间的关系如图所示.给出以下结论：①。=7；②6=63；③c=80.其中正确的是（）

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得小6、c的值，从而可以解答本题.

【解答】解：由图象知，甲的速度为7+1=7（米/秒），

..•乙出发70秒后到达终点，

，乙的速度为560+70=8（米/秒），

•.•乙出发a秒时乙追上甲，

A8a=7（a+1）,

解得：a=7,

故①正确；

当乙到达终点时，甲走的路程为7X（70+1）=497（米），

."=560-497=63（米），

故②正确；

当乙到达终点时，甲还需要走63+7=9（秒），

/.c=70+9=79（秒），

故③错误.

•••正确的是①②.

故选：C.

【题型2工程问题】

【例21（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为

透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱.现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映

所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：

（1）求乙队在2WxW6的时间段内，y与x的函数关系式；

（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务,

求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米.

【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出函数关系式；

（2）利用待定系数法分别求出甲队在整个改造工程中y与x的函数关系式和乙队在x26的时间内y与x

的函数关系式，再联立两函数关系式成方程组，解方程组即可求出结论.

【解答】解：（I）设乙队在2<x<6的时间段内，y与x的函数关系式为（A/0）,

将（2,30）、（6,50）代入y=fcr+。，得：

｛赳:U，解得：仁、

...乙队在2WxW6的时间段内，y与x的函数关系式为y=5x+20,

（2）设甲队在整个改造工程中，），与x的函数关系式为），="武（%W0）,

将（6,60）代入得：

60=6"?,解得：m—10,

甲队在整个改造工程中，y与x的函数关系式为y=10x；

设乙队在*26的时间内，y与x的函数关系式为y=12%+〃，

将（6,50）代入y=12x+〃，得：

50=12X6+〃，解得：〃=-22,

•••乙队在x26的时间内，y与x的函数关系式为y=l2x-22.

联立两函数关系式成方程组，得：

(y=10%X=11

解得:

[y=12%-22.y=no-

答：甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是110米.

【变式2-1］（2022春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，

由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元.

（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为力元，选择公路运输时，所需运

费为以元，请分别写出X、及与x之间的关系式；

（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选

用哪种运输方式所需用较少？

【分析】（1）由总价=单价X数量+其他费用，就可以得出y与x之间的函数关系式；

（2）将y=1500或x=1500分别代入（1）的解析式就可以求出结论；

【解答】解：（l）“=0.6x,

y2=0.3x+600.

（2）当yi=1500时,x=2500,

当〉2=1500时，x=3000,

；3000>250(),

公路运输时运送的牛奶多.

当x=1500时，»=900,），2=1050,

V1050>900,

...公司运送150（）千克牛奶，铁路运输方式便宜.

【变式2-2］（2022春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理

后铺设路面.乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作.在整个工作过程中，甲

队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA,乙队铺设完的路面长y（米）与时间x

（时）的函数图象为折线BC--CD--DE,如图所示，从甲队开始工作时计时.

（1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式；

（2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？

【分析】(1)先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系

数法就可以求出结论.

(2)由(1)的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论.

【解答】解：(1)设线段8c所在直线对应的函数关系式为丫=心为+也.

,图象经过(3,0)、(5,50),

解得：

ffci=25

匕=-75'

线段BC所在宜线对应的函数关系式为y=25x-75.

设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+bz.

•.•乙队按停工前的工作效率为：50+(5-3)=25,

乙队剩下的需要的时间为：(160-50)+25=当，

：.E(10.9,160),

.,50=6.5/C2+

,*(160=10.9公+。2'

解得忐二12S

，线段OE所在直线对应的函数关系式为y=25x-112.5.

乙队铺设完的路面长y(米)与时间x(时)的函数关系式为

y=25x—75(3<x<5)

'y=50(5<%<6.5)；

、y=25x-112.5(6,5<%<10.9)

(2)由题意，得

甲队每小时清理路面的长为100+5=20,

甲队清理完路面的时间，x=160+20=8.

把x=8代入y=25x-112.5,得y=25X8-112.5=87.5.

当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米，

160-87.5=72.5米，

答：当甲队清理完路面时，乙队还有72.5米的路面没有铺设完.

【变式2-3］（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300个零件的加工任务，甲比乙每小时加工的数

量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续按原速加工，直到他们完成任务.如

图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列问题:

（1）其中一人因故障，停止加工1小时,C点表示的实际意义是甲工作6小时完成任务.甲每

小时加工的零件数量为60个:

（2）求线段8c对应的函数关系式和。点坐标；

（3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75个零件？

（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成.丙每小时能加工80个零件，并把丙

加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x

之间的函数关系的图象.

【分析】（I）根据函数图象可以解答本题；

（2）根据题意和函数图象可以求得点C的坐标，从而可以求得线段8c对应的函数解析式；

（3）根据题意和图象可知它们相差75个零件在BC段和C£＞段，从而可以解答本题；

（4）根据题意和图象可以求得丙应在第多少小时时开始帮助乙，并在图中用虚线画出丙帮助后），与x之

间的函数关系的图象.

【解答】解：（I）由题意可得，

其中一人因故障，停止加工2-1=1小时，C点表示的实际意义是甲工作6小时完成任务，甲每小时加

工的零件数量为：300+（6-1）=60个，

故答案为：1、甲工作6小时完成任务、60；

(2)设线段8c对应的函数关系式y=^+6,

点C的纵坐标是：300-60+2X6=120,

...点C的坐标是(6,120)

(2k+b=0；iif/c-30

l6k+b=120'何5=-60)

即线段BC对应的函数关系式y=30r-60,

点。的横坐标为：3004-(604-2)=10,

故点。的坐标为(10,0)；

(3)当y=75时,75=30%-60,得*=4.5,

当在CO段时，当乙比甲少加工75个零件时的时间为：(300-75)+30=7.5(小时)，

即当在4.5小时或7.5小时时，乙在加工的过程中，比甲少加工75个零件；

(4)由题意可得，

当x=6时，y=30X6-60=120,

1204-80=1.5,

.•.丙应在第4.5小时时开始帮助乙，图象如右图所示.

[例3](2022春•遵义期末)钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300-600

元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓(回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主)，如果

鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润.欢乐鱼塘的门票为450元5小时，回鱼标准为56斤以内为

12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤.(斤是重

量单位，1斤0.5千克)，设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤.

(1)求在两家鱼塘钓鱼时》欢乐、)。口与X之间的函数关系式；

(2)如图，在平面直角坐标系中，M,N为图象的交点，相，〃分别为点M,N的横坐标，写出图中〃?,

n的值分别为32.5、150；

(3)钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家鱼

塘钓鱼更划算？

【分析】(1)根据利润=回鱼金额-门票，结合鱼塘的不同回鱼方式列式即可：

(2)联立函数解析式求出点M、N的坐标即可；

(3)根据点例、N的坐标，结合函数图象判断即可.

【解答】解：(1)由题意得：当00W56时，y«=12r-450,

当x>56时，y欢乐=12X56+7(x-56)-450=7x770,

(12x-450(0<x<56)

=(7x-170(x>56)

yz；n=8.r-320；

(2)^f^=12x-450(0<x<56)

联」(y云〃=8%—320(x20)'

解得」;二噫

联立卜新坏=7%_170(X>56),

Y云门=8%—320(%>0)'

解得："黑

(y—oou

：.M(32.5,-60),N(150,880),

，m=32.5,〃=15(),

故答案为：32.5,150；

(3)"M(32.5,-60),N(150,880),

，由函数图象可得：当0Wx<32.5时，即在云门门鱼塘垂钓更划算:

当x=32.5时,y-=ym,即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；

当32.5<x<150时，y欢乐>），,汕，即在欢乐鱼塘垂钓更划算；

当x=150时，y*,*=y,：n,即在欢乐鱼塘和云门鱼塘垂钓一样划算；

当x>150,y欢乐<），*“，即在云门鱼塘垂钓更划算；

综上，当OWxV32.5,x>150时，在云门鱼塘垂钓更划算；当x=325,x=150时，在欢乐鱼塘和云门鱼

塘垂钓一样划算；当32.5<x<150时，在欢乐鱼塘垂钓更划算.

【变式3-1］（2022春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人

员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象.

图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段OE表示的函数关系

中，时间每增加1天，日销量减少5件.

（1）第25天的日销量是325件,这天销售利润是650元:

（2）求），与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）II销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？

【分析】（1）由时间每增加1天日销售量减少5件结合第22天的日销售量为340件，即可求出第24天

的日销售量，再根据日销售利润=每件的利润X日销售量，即可求出第24天的日销售利润；

（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线DE的函数关系式，联立两函数关系式成方程组

可求出点。的坐标，结合点E的横坐标，即可找出y与x之间的函数关系式；

（3）根据日销售量=日销售利润小每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入CE的函数关系

式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于640元的天数，再根据点。的坐标结合日销售

利润=每件的利润X日销售量，即可求出日销售最大利润.

【解答】解：（1）340-（25-22）X5=325（件），

(8-6)X325=650(元)，

故答案为：325；650.

(2)设直线0。的函数关系式为

将(17,340)代入

得：340=17*,

解得：-20.

「・直线OD的函数关系式为y=20x.

设直线DE的函数关系式为y=wtr+〃，

将(22,340)、(25,325)代入y=mr+小

(22m+n=340

(25巾4-n=325'

解得：1=总，

5=450

・,・直线DE的函数关系式为y=-5x+450.

联立两函数解析式成方程组，

(y=2Ox

[y=-5%+450'

解得:];羽

.•.点。的坐标为(18,360).

f20x(0<x<18)

•••y与x之间的函数关系式为)=々an；

1—5%+450(18<x<30)

(3)6404-(8-6)=320(件)，

当y=320时，有20x=320或-5x+450=320,

解得：x=16或x=26,

A26-16+1=11(天)，

日销售利润不低于640元的天数共有11天.

•折线OOE的最高点。的坐标为(18,360).360X2=720(元).

当x=18时，H销售利润最大，最大利润为720元.

【变式3-2](2022•济宁二模)某商店购进了A,B两种家用电器，相关信息如下表:

家用电器进价(元/件)售价(元/件)

A机+2001800

Bm1700

已知用6000元购进的4种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同.

(1)求表中的值.

(2)由于A,8两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进4,8两种电器总件数

共20件，且获利不少于13300元.请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润是

多少？

【分析】(1)根据“用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同”列分式方

程求解可得；

(2)设计划购进A种电器件数为达根据购进总钱数不超过23000元及获利不少于13300元求得x的范

围，依据题意列出总利润y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解可得.

【解答】解：(1)由题意可得：

6000=5000,

m+200m

解得：w=1000,

经检验得："7=1000是原方程的根，

答："7的值为1000；

(2)设计划购进A种电器件数为x,则

(1200x+1000(20-%)<23000

(600x4-700(20-x)>13300'

解得：x&7,

则无可取的整数有0、1、2、3、4、5、6、7这8种，

故购进方案有8种，

设所获利润为y,

则y=600x+700(20-x)=-10Qx+14000,

Vy随x的增大而减小，

...当x=0时，y取得最大值，最大值为14000元，

即进货方案为4种电器0台，8种电器20台时，利润最大，最大利润为14000元.

【变式3-3](2022•长垣市模拟)某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元,

销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元.

(1)求每部A型号手机和B型号手机的售价；

(2)该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中8型号手机的进货数量不超过A型号手机数

量的3倍.已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a

部，这50部手机的销售总利润为卬元.

①求W关于。的函数关系式；

②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？

【分析】(1)根据3部A型号手机和2部8型号手机营业额10800元，4部A型号手机和1部8型号

手机营业额10400元，构造二元一次方程组求解即可；

(2)①根据：每类手机利润=单部手机利润X部数，总利润=4型手机利润+8型手机利润，得函数关

系式.注意。的取值范围.

②根据①的关系式，利用一元函数的性质得出结论.

【解答】解：(1)设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元.

由题意,得修卓瑟需

解成;：歌

(2)①由题意，得卬=(2000-1500)a+(2400-1800)(50-a),

即w=30000-100a,

又•.•50-aW3a,

关于a的函数关系式为w=30000-100“(«>g)；

②w关于a的函数关系式为w=30000-100a,

,:k=-l(K)<0,

Aw随a的增大而减小，

又：a只能取正整数，

当a=13时，总利润w最大，最大利润w=3()000-100X13=28700

50-a=37

答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元

【题型4费用最低问题】

【例4】(2022春•前郭县期末)共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3〜10也2的出行市场现

有4、8品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y”B

品牌的收费方式对应

(1)请求出两个函数关系式.

(2)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，己知两种品牌共享电动车

的平均行驶速度均为20A"〃z,小明家到工厂的距离为6km,那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱

呢？

(3)直接写出第几分钟，两种收费相差1.5元.

【分析】(1)根据图象设出函数解析式，再根据待定系数法求函数解析式即可；

(2)先求出小明从家到工厂所用时间为18疝〃,再通过图象可知小于18疝”时选择A品牌电动车更省钱;

(3)分两种情况讨论，6-刈=1.5,分别解方程即可.

【解答】解:(1)设力=加,

把点(20,4)代入y尸kix,

得：ki=0.2,

.*.yi=0.2x(JCNO)；

由图象可知,当OVJTWIO时,以=3,

当x>10时,，设y2=k2x+b,

把点(10,3)和点(20,4)代入中，

俎(10k2+/?=3

付：120k2+8=4'

解得；｛彳；2°」，

•'•y2=0.lx+2,

但f3(0<x<10)

综上所述：y2=[01x+2(x>10)：

(2)64-20=0.3(h)，0.30=186加，

V18<20,

由图象可知，当骑行时间不足20〃,山时，即骑行A品牌的共享电动车更省钱.

...小明选择A品牌的共享电动车更省钱；

(3)•..当x=20"?i〃时两种收费相同，

.,.两种收费相差1.5元分2Qmin前和20min后两种情况,

①当x<20时，离20m/n越近收费相差的越少，

当x=10时，yi=0.2X10=2,刃=3,

72-)1=3-2=1,

.•.要使两种收费相差1.5元，x应小于10,

・'•"-'=3-0.2x=1.5,

解得：x=7.5；

②当x>20时，，0.2x-(O.lx+2)=1.5,

解得：*=35.

...在7.5分钟或35分钟，两种收费相差1.5元.

【变式4-1](2022春•碑林区校级期末)某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙

两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一

张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠.”则：

(1)设学生数为x(人)，甲旅行社收费为y甲(元)，乙旅行社收费为y乙(元)，两家旅行社的收费

各是多少？

(2)哪家旅行社收费较为优惠？

【分析】⑴设我校区级“三好学生”的人数为x人.则选甲旅行社时总费用=400+40()X50%x,选乙

旅行社时总费用=400X60%(x+1)；

(2)当400+400X50%x<400X60%(x+1)时，甲旅行社较为优惠.反之，乙旅行社优惠，相等时，两

旅行社一样.

【解答】解：(1)根据题意得，

甲旅行社时总费用：y甲=400+400X50%x=200X+400,

乙旅行社时总费用：*=400X60%(x+1)=240x+240；

(2)设我校区级“三好学生”的人数为x人，根据题意得：

400+400X50%x<400X60%(x+1),

解得：x>4,

当学生人数超过4人，甲旅行社比较优惠，当学生人数4人之内，乙旅行社比较优惠，刚好4人，两个

旅行社一样.

【变式4-2](2022春•滦南县期末)某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙

复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信

息解答下列问题：

(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是18元;甲复印社每张收费是0.2元:

(2)求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；

(3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；

(4)如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？

【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以直接写出乙复印社要求客户每月支付的承包费是多少元和甲

复印社每张收费：

(2)先设出乙复印社一次函数解析式，用待定系数法可以求得，再说明一次项系数的实际意义；

(3)先求得甲复印社对应的函数关系式，然后令两个解析式的函数值相等，即可求得当复印多少页时，

两复印社实际收费相同；

(4)将x=200代入(2)(3)中的函数解析式，然后比较它们的大小，即可解答本题.

【解答】解：(i)由图可知，

乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；

甲复印社每张收费是104-50=0.2(元).

故答案为：18；0.2；

(2)设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y=kx+b,

把(0,18)和(50,22)代入解析式得：

(h=18

(50/c+b=22)

(k=0.08

lb=18

乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y=0.08x+18,

一次项系数的实际意义为每张收费0.08元；

(3)由(1)知，甲复印社收费情况)，关于复印页数x的函数解析式为y=0.2r,

令0.2x=0.08x+18,

解得,x=150,

答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；

(4)当x=200时，

甲复印社的费用为:0.2X200=40(元)，

乙复印社的费用为：0.08X200+18=34(元)，

V40>34,

...当x=200时，选择乙复印社.

【变式4-3](2022春•石河子期末)某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出

售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售.

(1)分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y(元)和重量x(克)之间的函数关系，并写

出定义域；

(2)李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由.

【分析】(1))根据等量关系“去甲商店购买所需费用=标价又重量”“去乙商店购买所需费用=标价

X3+标价X0.8X超出3克的重量(x>3)；当xW3时，y/=530x,”列出函数关系式；

(2)通过比较甲乙两商店费用的大小，得到购买一定重量的黄金饰品去最合算的商店.

【解答】解：(1)到甲商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系为：y，i，=280x,(xNO),

到乙商店购买所需费用y和重量x之间的函数关系：

当0WxW3时，yz.=300x,

当x>3时，y乙=300X3+300X0.8X(%-3)=240x+180；

(2)当0<xW3时，显然"故此时到甲商店购买合算；

①当y,p=y乙时，即：280x=240x+180,解得：x=4.5,

...当x=4.5时，到甲、乙两商店购买一样：

②当乙时,gp.280x<240x+180,解得：x<4.5,

...当x<4.5时，到甲商店购买合算；

③当匕时，即：280X>240X+180,解得：x>4,5,

.•.当x>4.5时，到乙商店购买合算；

综上，当0<x<4.5时，到甲商店购买合算；当x=4.5时，到两商店购买一样合算；当4.5VxW10时，

到乙商店购买合算.

【题型5调运问题】

【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资260吨从该市区运往该县甲、

乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资.已知这两种货车的载重量分别为

16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：

车型甲地（元/辆）乙地（元/辆）

运往地

大货车720800

小货车500650

（1）求这两种货车各用多少辆？

（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为。辆，前往甲、乙两地的

总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，

并求出最少总运费.

【分析】（1）首先设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，利用所运物资为260吨得出等式方程求

出即可；

（2）根据安排9辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为〃辆，得出小货车的辆数，进而得出卬与〃的

函数关系；

（3）根据运往甲地的物资不少于132吨，则16a+10（9-a）N132即可得出a的取值范围，进而得出最

佳方案.

【解答】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得

16A-+10（20-x）=260,

解得：x=10,

则20-x=10.

答：大货车用10辆，小货车用10辆.

（2）由题意得出:

卬=720a+800(10-a)+500(9-a)+650L10-(9-a)]=70a+13150,

则w=70a+13150(0WaW9且为整数).

(3)由16a+10(9-a)2132,

解得a27.

又；0WaW9,

；.7WaW9且为整数.

Vw=70a+13150,A=70>0,w随a的增大而增大,

.•.当a=7时，w最小,最小值为W=70X7+13150=13640.

答：使总运费最少的调配方案是：7辆大货车、2辆小货车前往甲地；3辆大货车、8辆小货车前往乙地.最

少运费为13640元.

【变式5-1](2022春•扎鲁特旗期末)某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现

将这50台联合收割机派往A,8两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往8地区，两地区与

该农机公司商定的每天租赁价格如表：

每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金

A地区1800元1600元

B地区1600元1200元

(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为)，元，求)，关

于x的函数关系式；

(2)试问有无可能一天获得总租金是80050元？若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明

理由.

【分析】(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往8地区x台乙型联合收割机为(30-x)台，

派往4、8地区的甲型联合收割机分别为(30-%)台和10)台，然后根据价格表列出y与x之间的

函数关系式即可；

(2)将y=8OO5O代入(1)中所得的函数关系式求得x的值，然后进行判断即可.

【解答】解：(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往8地区乙型联合收割机为(30-x)台，

派往A、8地区的甲型联合收割机分别为(30-x)台和(%-10)台，

Ay=1600x+1200(30-x)+1800(30-%)+1600(%-10)=200x+74000；

(2)当y=80050时,

80050=200.r+74000,解得：x=3().32＞30,不符合题意，

...不可能使一天获得总租金是80050元.

【变式5-2](2022春•海淀区校级期末)某市A,8两个蔬菜基地得知四川C,。两个灾民安置点分别急

需蔬菜240f和260f的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200r,B蔬菜基地有蔬菜

300/,现将这些蔬菜全部调运C,。两个灾民安置点从A地运往C,。两处的费用分别为每吨20元和25

元，从B地运往C,。两处的费用分别为每吨15元和18元.设从8地运往C处的蔬菜为x吨.

(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时X的值：

CD总计〃

A(240-%)(尸40)200

BX(300-X)300

总计〃240260500

(2)设A,B两个蔬菜基地的总运费为卬元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方

案；

(3)经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少〃[元(根＞0),

其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案.

【分析】(1)根据题意，用240减x可得需要从4处调运的数量；用200减去(240-x)可得从A调研

往D处的数量；300减去x即为从B调运往D处的数量；

(2)根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解;

(3本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0＜小＜2时；当〃?=2时；当2＜胆＜15

时.

【解答】解：(1)填表如下：

CD总计〃

A(240-x)(x-40)200

BX(300-x)300

总计〃240260500

依题意得：20(240-%)+25(%-40)=15x+18(300-%)

解得：x=2(M)

两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200.

(2)w与x之间的函数关系为：w=20(240-x)+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200

240—x>0

由题意得:x-40>0

x>0

300-x0

.•.40&W240

;在卬=2x+9200中，2>0

随x的增大而增大

...当x=40时，总运费最小

此时调运方案为：

CD

A200跖。吨

B4。吨260吨

(3)由题意得卬=(2-m)x+9200

：.0<m<2,(2)中调运方案总费用最小；

m=2时，在404W240的前提下调运方案的总费用不变;

2<加<15时，x=240总费用最小，其调运方案如下：

CD

AQ吨200两

B240跖6W

【变式5-3](2022春•巴南区月考)某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县

10辆，调往8县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：

县名

费用AB

仓库

甲4080

乙3050

(1)设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式.

(2)若要求总运费不超过900元.共有哪几种调运方案？

(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？

【分析】（1）若乙仓库调往A县农用车x辆，那么乙仓库调往8县农用车、甲给A县调农用车、以及

甲县给8县调车数量都可表示出来，然后依据各自运费，把总运费表示即可；

（2）若要求总运费不超过900元，则可根据（1）列不等式求解；

（3）在（2）的基础上，求出最低运费即可.

【解答】解：（1）若乙仓库调往A县农用车x辆（xW6）,则乙仓库调往8县农用车6-x辆，A县需

10辆车，故甲给A县调农用车10-x辆，那么甲仓库给B县调车8-（6-x）=x+2辆，根据各个调用

方式的运费可以列出方程如下：y=40（10-x）+80（x+2）+30x+50（6-x）,

化简得：y=20x+860（0WxW6）；

（2）总运费不超过900,即yW900,代入函数关系式得20x+860W900,

解得xW2,所以x=0,1,2,

即如下三种方案：

1、甲往A：10辆；乙往A：0辆甲往8：2辆：乙往8：6辆，

2、甲往4：9；乙往A：1甲往8：3；乙往B：5,

3、甲往4：8；乙往4：2甲往8：4；乙往8：4；

（3）要使得总运费最低，由y=20x+860（O0W6）知，x=0时y值最小为860,

即上面（2）的第一种方案：甲往410辆；乙往40辆；甲往8：2辆；乙往8：6辆，

总运费最少为860元.

【题型6体积问题】

[例6]（2022秋•祁江区月考）某水池的容积为90,/,水池中已有水IO,小,现按8向h的流量向水池注

水.

（1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间，⑺