新九年级数学（人教版）第02讲 一元二次方程的解法（配方法和因式分解法）（人教版）（解析版）

第02讲一元二次方程的解法（配方法和因式分解法）【人教版】·模块一配方法解一元二次方程·模块二因式分解法解一元二次方程·模块三课后作业模块一模块一配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。【考点1二次三项式的配方】【例1.1】方程4x2−mx+1=0A．−4 B．−4或4 C．−2或−2 D．4【答案】B【分析】根据完全平方式a2±2ab+b【详解】解：根据题意得：−m=±2×2×1，解得m=±4，故选：B．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【例1.2】把方程x2−12x−3=0化成配方式x−ℎ2A．x−62=33 B．x−62=39 C．【答案】B【分析】先把−3移到方程的右边，然后方程两边都加36，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【详解】解：∵x2∴x2∴x2∴x−62故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成(x+m)2【例1.3】将代数式x2−10x+5配方后，发现它的最小值为（A．−20 B．−10 C．−5 D．0【答案】A【分析】原式利用完全平方公式配方后，即可确定最小值．【详解】解：x2当x=5时，代数式有最小值为−20，故选：A．【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．【变式1.1】用配方法解方程x2【答案】16【分析】根据一元二次方程的配方法可直接进行求解．【详解】解：用配方法解方程x2−8x=3时，方程的两边同时加上一个实数16，使得方程左边配成一个完全平方式，即为故答案为：16．【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．【变式1.2】已知x2－8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（

）A．x2－8x+（－4）2=31 B．x2－8x+（－4）2=1C．x2+8x+42=1 D．x2－4x+4=－11【答案】B【详解】x2-8x+15=0，变形得：x2-8x=-15，配方得：x2-8x+42=1，故选B．【变式1.3】填上适当的数使下面各等式成立：①x2−5x+____=(x−____)2；

②x2+4x+③x2+23x+_____=(x+____)2；

④【答案】25452421913【分析】（1）加上5的一半的平方；（2）加上4的一半的平方；（3）加上23（4）加上ba【详解】解：（1）x2（2）x2（3）x2（4）x2故答案为：254，52；4，2；19，13；【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是灵活运用完全平方公式，若二次项系数为1，则加上一次项系数一半的平方即可得到完全平方式．【考点2配方法解一元二次方程】【例2.1】用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是()A．x2﹣4x+2=0 B．2x2﹣8x+3=0 C．x2﹣8x=2 D．x2+4x=2【答案】C【详解】A选项移项，得x2﹣4x=－2，配方，得x2﹣4x+22=－2+22，即（x－2）2=2；B选项移项，得2x2﹣8x=－3，二次项系数化为1，得x2－4x=－32，配方，得x2－4x+22=－32+22，即（x－2）2=C选项配方，得x2﹣8x+42=2+42，即（x－4）2=18；D选项配方，得x2+4x+22=2+22，即（x+2）2=6.故选C.点睛：配方的时候先移项，再将二次项系数化为1，然后方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【例2.2】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根据解一元二次方程配方法即可得出结果．【详解】解：对于甲的化简结果，应要两边同时除以2，∴乙的化简结果应为：x故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程一配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．【例2.3】用配方法将方程3x2−4x−2=0写成形如ax+m2A．m=23，n=103C．m=2,n=6 D．m=2,n=−2【答案】B【分析】利用配方法计算判断即可．【详解】因为3x所以3(x所以3x−所以3x−因为写成形如ax+m所以3x+所以m=−2故选B．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．【变式2.1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2−4x−117=0化为x−22=121 C．2t2−9t+7=0化为t−94【答案】B【分析】利用配方法对各选项进行判断．【详解】解：A．x2−4x−117=0化为B．x2−6x+7=0化为C．2t2−9t+7=0先化为tD．5x2−4x−1=0先化为x故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成x+m2【变式2.2】把方程x2−4x−5=0化成x+a2=b的形式，则a、A．2，9 B．2，7 C．【答案】C【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可确定出a与b的值．【详解】解：方程x2移项得：x2配方得：x2−4x+4=5+4，即∵一元二次方程x2−4x−5=0化成∴a=−2，故选：C．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式2.3】将方程x2−mx+8=0用配方法化为（x−3【答案】7【分析】将方程（x−3)2=n化成一般式得x2-6x+9-n=0，根据两方程对应项系数相等求出【详解】解：∵（x−3∴x2-6x+9-n=0，∵x2∴-m=-6，9-n=8，则m=6，n=1．∴m+n=6+1=7故答案为：7．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够把完全平方式化成一般式是解此题的关键．【变式2.4】用配方法解下列方程(1)3x(2)6x(3)2x(4)x−32x+1【答案】(1)x1=2(2)x1=1+(3)x1=1，(4)x1=2，【分析】（1）根据配方法的步骤求解即可；（2）根据配方法的步骤求解即可；（3）根据配方法的步骤求解即可；（4）根据配方法的步骤求解即可．【详解】（1）解：原方程可化为x2∴x2−4∴x−2∴x1=2（2）解：原方程可化为x2∴x2−1∴x−1∴x1=1+（3）解：原方程可化为x2∴x2−3∴x−3∴x1=1，（4）解：原方程可化为x2∴x2−5∴x−5∴x1=2，【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程：把原方程化为一般形式，方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，方程两边再同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，进一步通过直接开平方法求出方程的解．模块二模块二因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程：①移项，将所有得项都移到左边，右边化为0；②把方程得左边分解成两个因式得积，可用得方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一次方程。【考点1提公因式法解一元二次方程】【例1.1】方程2xA．x=2 B．x=0.5 C．x=0 D．x=0或x=0.5【答案】D【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵2x∴2x∴x2x−1∴x=0或2x−1=0，∴x=0或x=0.5，故选D．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．【例1.2】方程2x【答案】x1=0【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：2分解因式得：x2x+5∴x=0或2x+5=0，解得：x1=0，故答案为：x1=0，【点睛】本题主要考查的知识点是解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程．【例1.3】方程x2【答案】x1=−1【分析】方程移项后运用因式分解法求解即可．【详解】解：xxx+1x+1x−2∴x+1=0或x−2=0，解得：x1=−1，故答案为：x1=−1，【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式1.1】关于x的一元二次方程m−2x2−2x+m2A．0或1 B．1 C．0 D．0或−1【答案】A【分析】根据方程解的定义，将x=0代入求解，再结合一元二次方程定义确定m−2≠0即可得出结论．【详解】解：∵m−2x2−2x+∴m−2≠0，解得m≠2，∵关于x的一元二次方程m−2x∴m2整理得mm−1解得m=0或m=1，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．【变式1.2】小丽与小霞两位同学解方程3(x−3)=(x−3)小丽：两边同除以(x−3)，得3=x−3，解得x=6．小霞：移项，得3(x−3)−(x−3)提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．所以x−3=0或3−x−3=0，解得x1=3，(1)你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．(2)请结合上述题目总结：形如ax【答案】(1)两位同学的解法都错误，解答过程见解析；(2)见解析．【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案；’（2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可得到答案．【详解】（1）解：两位同学的解法都错误，小丽：两边同除以(x−3)，得3=x−3，解得x=6．

×小霞：移项，得3(x−3)−(x−3)提取公因式，得(x−3)(3−x−3)=0．所以x−3=0或3−x−3=0，解得x1=3，x2正确解答过程：3(x−3)=移项，得：3(x−3)−(x−3)提取公因式，得：(x−3)3−去括号，得：x−3令x−3=0或6−x=0，解得：x1=3，（2）解：形如ax移项，得：ax提取公因式，得：xax−b令x=0或ax−b=0，解得：x1=0，【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的解题步骤是关键．【变式1.3】阅读解方程2x解：方程两边分解因式，得2xx−3方程变形为2xx−3方程两边都除以x−3，得2x=−5，……第三步解得x=−5(1)上述解方程的过程中从第______步开始出错；(2)请用因式分解法求出该方程的解．【答案】(1)三(2)x1=3【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤和等式的性质即可作出判断；（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【详解】（1）解：上述解方程的过程中从第三步开始出错，因为忽略x−3=0这一情况，故答案为：三；（2）解：方程两边分解因式，得2xx−3方程变形为2xx−3移项，得2xx−3∴x−32x+5则x−3=0或2x+5=0，解得x1=3，【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟知解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．【考点2乘法公式解一元二次方程】【例2.1】一元二次方程x2【答案】x【分析】利用因式分解法即可求解．【详解】xx+1即：x+1=0，解为：x1故答案为：x1【点睛】本题考查了采用因式分解法解一元二次方程的知识，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．【例2.2】x+22【答案】x【分析】将x+2看作一个整体，利用因式分解法，解一元二次方程即可．【详解】解：x+22∴x+2−5∴x+2−5=0解得：x1【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．【例2.3】对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=a+b2−【答案】−2或3【分析】利用新定义得到m+1+m−22【详解】根据题意得：m+1+∴2m−12m−1+52m−1−52m−1+5=0或2m−1−6=0所以m1=−2，故填：−2或3．【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式2.1】用因式分解法解一元二次方程x−12−4=0时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x−1+2=0，则另一个方程是____________，一元二次方程【答案】x−1−2=0x1=−1【分析】根据x−12−4=x−1+2x−1−2，方程x−12【详解】解：∵x−12∴x−12−4=0要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x−1+2=0，则另一个方程是由x−1+2=0得x1=−1，由x−1−2=0得故一元二次方程x−12−4=0的解是x1故答案为：x−1−2=0；x1=−1【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．【变式2.2】三角形两边长分别是3和4，第三边长是x2【答案】2【分析】先解一元二次方程得到三角形的第三边长，再构建图形，如图，过A作AG⊥BC于G,利用勾股定理求解三角形的高即可得到答案.【详解】解：∵∴(x−3)∴x如图，△ABC中，AB=AC=3,BC=4,过A作AG⊥BC于G,∴BG=CG=2,∴AG=A∴S故答案为：2【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握构建直角三角形求解三角形的高是解题的关键.【考点3十字相乘法解一元二次方程】【例3.1】以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，cA．(x−2)(6x+5)=0 B．(2x+2)(3x−5)=0C．(x−5)(6x+2)=0 D．(2x−5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x【详解】∵∴6x故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．【例3.2】方程x2−3x+2=0的解是（A．x1=1,xC．x1=1,x【答案】A【分析】方程运用因式分解法求出方程的解即可．【详解】解：x(x−1)(x−2)=0∴x−1=0,x−2=0∴x1故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【例3.3】已知y1=−x2+5,y2【答案】−5或3【分析】由y1=y【详解】解：由y1=y即x2x+5x−3x+5=0或x−3=0，解得：x1=−5，∴当x=-5或3时，y1与y故答案为：-5或3．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键．【变式3.1】若关于x的方程x2+mx+n=0的根是3和−2，则代数式x2A．(x−2)(x−3) B．(x+2)(x+3) C．(x+2)(x−3) D．(x−2)(x+3)【答案】C【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法得到(x+2)(x−3)=0，进而可求解．【详解】解：∵关于x的方程x2+mx+n=0的根是3和∴原方程为(x+2)(x−3)=0，∴x2故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【变式3.2】用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【答案】B【分析】根据方程左边多项式的特点和已知条件可得：将左边分解后另一个因式是x－2，再根据多项式的乘法两边比较后即得答案．【详解】解：根据题意知x2+px﹣6＝（x+3）（x﹣2），则x2+px﹣6＝x2+x﹣6，∴p＝1．故选：B．【点睛】本题考查了利用分解因式法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键．【变式3.3】若关于x的一元二次方程m−1x2+5x+m2【答案】2【分析】直接利用常数项为0，得出关于m的方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程的定义进而得出答案．【详解】解：∵常数项为0，∴m2解得：m=1又∵m−1≠0，即m≠1，∴m=2【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解一元二次方程以及一元二次方程的定义，正确解方程是解题关键．模块三模块三课后作业1．将方程3x2−9x+2=0配方成x+mA．x−322=1912 B．x−3【答案】A【分析】先化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两个同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：3x∴x2∴x2∴x2∴x−3故选：A．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．2．一元二次方程x2A．x1=−2+7，x2=−2−C．x1=−2+7，x2=2−【答案】B【分析】根据已知的方程选择配方法解方程，求出方程的解即可．【详解】解：x2x2x−22x−2=±7∴x1=2+7故选：B．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法是解题的关键．本题运用的是配方法．3．实数x满足方程(x2+x)2+(A．−2 B．1 C．−2或1 D．2或−1【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设x2+x=M，则原式变形得因式分解法解一元二次方程得，M2∴M1=−2，当M=−2时，x2+x=−2，变形得，x2当M=1时，x2+x=1，变形得，x2∴x2故选：B．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．4．方程x2A．12 B．15 C．12或15 D．9或15或18【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：x2(x−3)(x−6)=0，x−3=0，x−6=0，x1=3，有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为3+6+6=15，故选：B．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．5．在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b=a+b2，则方程A．x=4或x=1 B．x=2 C．x=1或x=−4 D．x=1【答案】D【分析】根据规则可得：x+x+1【详解】解：根据题意得：x※x+1得x2得x+4x−1故x+4=0或x−1=0，解得x1=−4（舍去），所以，原方程的解为x=1，故选：D．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．6．若分式2−aa2【答案】−2【分析】由题意直接根据分式的值为零的条件即分子等于零且分母不等于零进行分析即可．【详解】解：∵分式2−a∴2−a=0且∴2−a=0或2+a=0，且a−2a+1∴2+a=0，解得a=−2，故答案为：−2．【点睛】本题考查分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件即分子为0和分母不为0．这两个条件缺一不可．7．方程xx+4【答案】x1=0【分析】直接利用因式分解法求解即可得到答案；【详解】解：∵xx+4∴x+4=0或x=0，即x1=0，故答案为：x1=0，【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．8．当m=________时，函数y=m+2【答案】−1【分析】根据正比例函数的定义可得m+2≠0且m2+3m+2=0，然后求得【详解】解：由题意可得：m+2≠0且m2解m+2≠0得：m≠−2，解m2+3m+2=0得：∴m=−1故答案为：−1．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握正比例函数的解析式y=kxk≠09．已知x=−2是关于x的一元二次方程ax【答案】x=3【分析】将x=−2代入方程，求出a的值，再解方程求出另一个根即可．【详解】解：由题意，得：−22解得：a=1，∴一元二次方程为x2解得：x=3或x=−2，∴该方程另一个根是：x=3．故答案为：x=3．【点睛】本题考查一元二次方程的根以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．10．某天，张老师带领同学们利用棋子构图研究数字规律．将一些棋子按如图所示的规律摆放，若第n个图中共有115个棋子，则n的值是__________．【答案】10【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第4个图有25个棋子，第5个图有35个棋子，……第n个图有n(n+1)+5=(n依题意，n2解得：n1故答案为：10．【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律，列出方程是解题的关键．11．已知a2−4b=1，【答案】0【分析】把已知条件式相加得到a−32+b−22+c+52【详解】解：∵a2∴a2∴a2∴a−32∴a−3=0，∴a=3，∴a+b+c=3+2−5=0，故答案为：0．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出a−3212．若定义如果存在一个数i，使(±i)2=−1，那么当x2=−1时，有x=±i，从而x=±i是方程x2【答案】x1=1+2i【分析】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．【详解】解：方程整理，得x2配方得x2−2x+1=−5+1，即开方，得x−1=±2i，解得x1=1+2i，故答案为：x1=1+2i，【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，以及新定义的运算，读懂新定义并熟练掌握配方法解一元二次方程是解本题的关键．13．已知实数x满足4x2−4x+1=0【答案】2【分析】先解一元二次方程，再整体代入求解即可．【详解】∵4x∴(2x−1)2∴2x=∴2x+【点睛】此题考查一元二次方程的解法，以及整体代入，解题关键是配方法解方程最为简单，然后直接代入求值．14．解方程：(1)xx+1(2)x2【答案】(1)x1=2(2)x1=−1【分析】（1）直接利用因式分解法解方程得出答案；（2）直接利用因式分解法解方程得出答案．【详解】（1）解：xx+1∴x−2x+1故x−2=0或x+1=0，解得：x1=2，（2）x2∴x+1x−3故x+