2020-2021学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）下列四个图分别是山东航空、重庆航空、海南航空和春秋航空公司的标志，其中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）若a＞b，则下列式子正确的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a＜b C．a﹣4＞b﹣4 D．5﹣a＞5﹣b3．（4分）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，﹣1），平移线段AB，使点B落在点B1（﹣1，﹣2）处，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0）5．（4分）方程x2﹣5x+a＝0的一个根是x＝2，则a的值是（）A．6 B．﹣6 C．8 D．146．（4分）下列说法判断错误的是（）A．对角线相互平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相互垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形7．（4分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的内角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1260°8．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边的中点，若△ADC的周长为16，则△COE的周长是（）A．4 B．6 C．8 D．109．（4分）如图，已知P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（）A．2021 B．2 C．1 D．011．（4分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．12．（4分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），AC＝4，BO与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣2，0） D．（1，）二、填空题（本大题共6个小题）13．（4分）因式分解：4a2﹣1＝．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是．15．（4分）方程的解是．16．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则菱形ABCD的面积为．17．（4分）若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，则α+β的值是．18．（4分）如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有．三、解答题（本大题共8题）19．（6分）解不等式组：20．（6分）化简：（1+）÷．21．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点DC．求证：DE＝BF．22．（8分）（1）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy；（2）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．23．（8分）“脱贫攻坚，交通先行”，某内陆贫困县，为了促进经济发展，把距离港口城市360km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．24．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F．（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）试判断DF与AB的关系，并说明理由．25．（10分）开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，CD＝28cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当四边形PBCQ是平行四边形时，求t的值；（2）当t＝时，四边形APQD是矩形；若AD＝16cm且点Q的移动速度不变，要使四边形APQD能够成为正方形，则P点移动速度是cm/s；（3）在点P、Q运动过程中，若四边形PBQD能够成为菱形，求AD的长度．27．（12分）【操作发现】（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C′；②连接BB′，此时∠ABB′＝°；【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；【学以致用】（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB；【思维拓展】（4）注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝4，则AP+BP+CP的最小值＝；②如图4，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝，PC＝，求∠APB的度数．附加题（本大题共3个题，得分单独评价）28．已知点D与点A（0，6）、B（0，﹣4）、C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x、y满足3x﹣4y+12＝0，则CD的最小值为．29．若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：．30．已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°，连接MN．若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想该三角形的形状，并证明你的结论．

2020-2021学年山东省济南市历下区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（4分）下列四个图分别是山东航空、重庆航空、海南航空和春秋航空公司的标志，其中属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．（4分）若a＞b，则下列式子正确的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a＜b C．a﹣4＞b﹣4 D．5﹣a＞5﹣b【解答】解：A、不等式a＞b的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；B、不等式a＞b的两边都除以3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；C、不等式a＞b的两边都减去4，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；D、不等式a＞b的两边都乘以﹣1，再加上5，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：C．3．（4分）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是最简分式，符合题意；B、＝，不是最简分式，不合题意；C、＝，不是最简分式，不合题意；D、＝，不是最简分式，不合题意；故选：A．4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，﹣1），平移线段AB，使点B落在点B1（﹣1，﹣2）处，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0）【解答】解：∵B（3，﹣1），平移线段AB，使点B落在点B1（﹣1，﹣2）处，∴线段向左平移4个单位，向下平移1个单位，∵A（2，1），∴点A的对应点A1的坐标为（2﹣4，1﹣1），即A1的坐标为（﹣2，0），故选：B．5．（4分）方程x2﹣5x+a＝0的一个根是x＝2，则a的值是（）A．6 B．﹣6 C．8 D．14【解答】解：∵方程x2﹣5x+a＝0的一个根是x＝2，∴22﹣5×2+a＝0，解得：a＝6，故选：A．6．（4分）下列说法判断错误的是（）A．对角线相互平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相互垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形【解答】解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，不符合题意；D、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；故选：B．7．（4分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的内角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1260°【解答】解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40°，解得n＝9，（9﹣2）×180°＝1260°，即这个正多边形的内角和为1260°．故选：D．8．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC边的中点，若△ADC的周长为16，则△COE的周长是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又△ADC的周长为16，∴△ABC的周长＝16．∵E是BC中点，∴OE是△ABC的中位线，BE＝CE，∴OE＝AB，∴△OEC的周长＝△ABC的周长＝×16＝8故选：C．9．（4分）如图，已知P是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（）A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm【解答】解：作PC⊥OB于C，则此时PC最小，∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB，∴PD＝PC＝3cm，∠AOP＝30°，∴OP＝2PD＝6cm，∵PD⊥OA，M是OP的中点，∴DM＝OP＝3（cm），故选：A．10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值有可能是（）A．2021 B．2 C．1 D．0【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4m＞0，解得m＜．故选：D．11．（4分）如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据图象得，当x＜﹣1时，x+m＜kx﹣1．故选：D．12．（4分）如图，矩形OABC的顶点O（0，0），AC＝4，BO与x轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A．（﹣1，） B．（﹣1，﹣） C．（﹣2，0） D．（1，）【解答】解：如图，∵四边形ABCO是矩形，∴AC＝OB＝4，AD＝CD，OD＝BD，∴OD＝2，∵每秒旋转60°，6次应该循环，2021÷6＝336•••5，∴点D在X轴的负半轴上，D（﹣2，0）．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题）13．（4分）因式分解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．故答案为：（2a+1）（2a﹣1）．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是16．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠DEC＝∠CDE，∴CD＝CE＝BC﹣BE＝AD﹣BE＝5﹣2＝3，∴平行四边形ABCD的周长是2AD+2DC＝10+6＝16．故答案为：16．15．（4分）方程的解是3．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣4），得2﹣（x﹣1）＝0，解得x＝3．检验：把x＝3代入（x﹣4）＝﹣1≠0．∴原方程的解为：x＝3．16．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则菱形ABCD的面积为24．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD，在Rt△AOB中，OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∴菱形ABCD的面积＝＝24，故答案为24．17．（4分）若α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，则α+β的值是3．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣3x＝0的两个实数根，∴α+β＝3，故答案为3．18．（4分）如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有①②③．【解答】解：①如图，连接PC，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝PC，∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴AP＝EF，故①正确；②延长AP交BC于点G，由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，∵PE∥AB，∴∠EPG＝∠BAP，∴∠EPG＝∠PFE，∵∠EPF＝90°，∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，∴AP⊥EF，故②正确；③当AP⊥BD时，AP有最小值为，此时P为BD的中点，由①可知EF＝AP，∴EF的最短长度为，故③正确；④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，∴EF＝AP≤2，∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，即EF的长度不可能为2，故④不正确；综上可知正确的结论为①②③，故答案为：①②③．三、解答题（本大题共8题）19．（6分）解不等式组：【解答】解：原不等式组为∵解不等式①，得x≥2，解不等式②得，得x＜4，∴原不等式组的解集是2≤x＜4．20．（6分）化简：（1+）÷．【解答】解：原式＝＝＝＝＝a+2．21．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点DC．求证：DE＝BF．【解答】证明：如图，连接DF、BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝OC，∵E，F分别为AO，OC的中点，∴，，∴EO＝FO，∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE＝BF．22．（8分）（1）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy；（2）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．【解答】解：（1）x3y﹣6x2y+9xy＝xy（x2﹣6x+9）＝xy（x﹣3）2；（2）∵x2﹣4x﹣12＝0．∴（x﹣6）（x+2）＝0，∴x﹣6＝0或x+2＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2．23．（8分）“脱贫攻坚，交通先行”，某内陆贫困县，为了促进经济发展，把距离港口城市360km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．【解答】解：设汽车原来的平均速度是xkm/h，依题意得：，解得：x＝60．经检验：x＝60是原方程的解，且符合题意．答：汽车原来的平均速度60km/h．24．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．连接DE交AC于点F．（1）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由；（2）试判断DF与AB的关系，并说明理由．【解答】解：（1）四边形ADCE为矩形，理由：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴，，∴，在△ABC中，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴∠DAE＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）DF∥AB，，理由：∵四边形ADCE是矩形，∴AF＝CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，∴DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，．25．（10分）开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，20000（1﹣x）2＝16200，解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%；（2）20000（1﹣5%）（1﹣15%）＝16150＜16200∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．26．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝18cm，CD＝28cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当四边形PBCQ是平行四边形时，求t的值；（2）当t＝7时，四边形APQD是矩形；若AD＝16cm且点Q的移动速度不变，要使四边形APQD能够成为正方形，则P点移动速度是4cm/s；（3）在点P、Q运动过程中，若四边形PBQD能够成为菱形，求AD的长度．【解答】解：（1）当四边形PBCQ是平行四边形时，PB＝CQ，∴18﹣t＝3t，解得t＝4.5．（2）∵在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，∴当AP＝DQ时，四边形APQD是矩形，∴t＝28﹣3t，解得：t＝7，∴当t＝7时，四边形APQD是矩形；∵四边形APQD是正方形，∴AD＝DQ，AP＝DQ，∵AD＝16cm，∴16＝28﹣3t，解得：t＝4，∴P点移动速度是＝4（cm/s），故答案为7，4；（3）如图，若四边形PBQD是菱形，则BP＝DQ＝DP，∴18﹣t＝28﹣3t，解得t＝5．∴AP＝5cm，BP＝DQ＝13cm，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴∠A＝90°，在Rt△DAP中，．27．（12分）【操作发现】（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C′；②连接BB′，此时∠ABB′＝45°；【问题解决】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；【学以致用】（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PC＝2，∠BPC＝135°，求PB；【思维拓展】（4）注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝4，则AP+BP+CP的最小值＝2+2；②如图4，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝，PC＝，求∠APB的度数．【解答】（1）解：①如图1所示，△AB'C'即为所求；②连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，如图1所示：∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；【问题解决】（2）如图2，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP'B，∴AP'＝AP＝3，∠P'AP＝60°，P'B＝PC＝4，∴△APP'是等边三角形，∴PP'＝3，∠AP'P＝60°，∵∠AP'B＝∠APC＝150°，∴∠BP'P＝∠AP'B﹣∠AP'P＝90°，∴．【学以致用】（3）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△ACP'，连接PP'，则∠PCP'＝90°，，AP'＝BP，∠AP'C＝∠BPC＝135°，∴△CPP'是等腰直角三角形，∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，，∴∠AP'P＝∠AP'C﹣∠CP'P＝135°﹣45°＝90°，∴．【思维拓展】（4）①如图4，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B＝AB＝BC＝4，PA＝P1A1，PB＝P1B＝P1P，∴PA+PB+PC＝P1A1+P1P+PC．∵当A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，∴A1C＝PA+PB+PC，∴A1C长度即为所求．过A1作A1D⊥CB延长线于D．∵∠A1BA＝60°（由旋转可知），∴∠A1BD＝30°．∵A1B＝4，∴A1D＝2，BD＝2，∴CD＝4+2；在Rt△A1DC中，A1C＝＝＝2+2．故答案为．②将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，∴∠PBP'＝90°，，，∴△BPP'是等腰直角