2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习-5 . 3 用频率估计概率

5.3用频率估计概率

基础过关练

题组一频率与概率

1.某人将一枚质地均匀的硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次，若用力表

示“正面朝上”这一事件,则/的（）

A.概率为gB.频率为g

C.频率为8D.概率接近于8

2.（2022山东淄博期末）“某彩票的中奖概率为三”意味着（）

100

A.买100张彩票就一定能中奖

B.买100张彩票能中一次奖

C.买100张彩票一次奖也不中

D.购买彩票中奖的可能性为强

100

3.（多选）利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验,在重复试验次数分别为

20,100,500时各做5组试验,得到事件“一枚正面朝上,一枚反面朝上”发生的

频数和频率情况如下表:

上2077=10077=500

序号

频数频率频数频率频数频率

1120.6560.562610.522

290.45500.52410.482

3130.65480.482500.5

470.35550.552580.516

5120.6520.522530.506

根据以上信息，下面说法正确的有)

A.试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性

B.试验次数较小时,频率波动较大;试验次数较大时,频率波动较小,所以试验次

数越多越好

C.随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近

D.我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验,得到事件发生的频

率即为概率

题组二用频率估计概率

4.（2020山东青岛期中）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分

为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居

民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t的生活

垃圾.经分拣以后各垃圾（单位:t）的数据统计如下表所示,根据样本估计本市生

活垃圾的投放情况,下列说法错误的是（）

“厨余垃“可回收“其他垃

圾”箱物”箱圾”箱

厨余

400100100

垃圾

可回

3024030

收物

其他

202060

垃圾

A.厨余垃圾投放正确的概率为|

B.居民生活垃圾投放错误的概率为。

10

C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的

方差为20000

5.下表为某市4月份的天气情况.

⑴在4月份任选一天,估计该市在该天不下雨的概率；

⑵若该市某学校从4月份的一个晴天开始举办连续2天的运动会，估计运动会

期间不下雨的概率.

6.某险种的基本保费为a（单位:元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保

人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表所示：

上年

度出0123425

险次数

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:

出险

01234N5

次数

频数605030302010

⑴记事件4为“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求小⑷的估计值;

(2)记事件〃为“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的

160%”，求尸㈤的估计值;

⑶求续保人本年度平均保费的估计值.

能力提升练

题组一用频率估计概率

1.（2022江西鹰潭期末）中国农历的二十四节气是中华民族的智慧与传统文化的

结晶,二十四节气歌是以春、夏、秋、冬开始的四句诗.某小学三年级共有学生

600名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人,能说

出两句及以上的有38人,据此估计该校三年级的600名学生中,对二十四节气歌

一句也说不出的有（）

A.17人B.83人

C.102人D.115人

2.某中学为了了解学生是否规范佩戴胸卡，随机抽取了部分学生，结果发现150

名学生中有60名学生规范佩戴胸卡.学校调查了该校所有学生,发现有500名学

生规范佩戴胸卡.则估计该中学共有名学生.

3.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公

园锻炼的人次,整理数据得到下表（单位:天）：

锻炼人次

空气质量等级[0,(200,(400,

200]400]600]

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的

中点值为代表）.

4.（2020北京西城月考）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、

丙、丁四种商品的情况,整理成的统计表如下，其中“表示购买，“X”表示

未购买.

人数甲乙丙T

100VXVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

⑴估计顾客同时购买乙和丙的概率；

⑵估计顾客同时购买甲、乙、丙、丁中3种商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?

题组二统计与概率的综合应用

5.一汽车厂生产A,瓦。三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种类型,某月

的产量（单位:辆）如下表：

轿车力轿车方轿车c

舒适型100150Z

标准型300450600

现按分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A类有10辆.

⑴求z的值；

⑵用分层随机抽样的方法在。类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本视

为一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；

⑶用简单随机抽样的方法从方类舒适型轿车中抽取8辆,经检测,它们的得分

（单位:分）如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.从这8个数中任取一个数,

求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

6.（2020四川宜宾期末）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分为10分

的选考题,学生可以从A,方两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参

加了本次考试,为了了解该校学生解答该选考题的得分情况,计划从900名考生

的选考题成绩中随机抽取一个容量为10的样本.现采用分层随机抽样,按照学生

选择/题目或6题目将成绩分为两层.已知该校高三学生中有540人选择力题目,

有360人选择少题目，选取的样本中,/题目成绩数据的平均数为5,方差为2,B

题目成绩数据的平均数为5.5,方差为0.25.

(1)用样本估计该校这900名考生选考题成绩数据的平均数与方差；

⑵已知选考题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,4题目成绩数据的中位数和

占题目成绩数据的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数

据做进一步调查,求取到的两个成绩来自不同题目的概率.

答案全解全析

基础过关练

1.B事件A的概率为*频率为g,故A、C、D错误,B正确.故选B.

2.D概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，

“某彩票的中奖概率为焉”意味着购买彩票中奖的可能性为焉.故选D.

3.ABC我们要想得到某事件发生的概率,需要进行多次重复试验才能得到概率

的估计值,故D错误.

4.C对于A,厨余垃圾投放正确的概率为.黑故A中说法正确；

对于B,居民生活垃圾投放错误的有100+100+30+30+20+20=300(t),故居民生活

垃圾投放错误的概率为之白故B中说法正确；

100010

对于C,“厨余垃圾”箱投放正确的概率为“可回收物”箱投放正确

的概率为赤三V“其他垃圾”箱投放正确的概率为应言项二M因为

?|＞得,所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾”箱，故c中

说法不正确；

对于D,厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放

口一芈、]

量的£4平VT7均LA数4为.-4°-°-+-10--°-+-10-°=2c0c0c,

方差为1X[(400-200)2+(100-200)2+(100-200)2]=20000,故D中说法正确.故选

C.

5.解析⑴由题表可知,在4月份30天的天气中，不下雨的天数是26,则从中任

选一天,该天不下雨的频率为静嚏,用频率估计概率,则在4月份任选一天，估计

该市在该天不下雨的概率为［

15

⑵在4月份中，前一天为晴天的相邻两天有16个,其中后一天不下雨的有14个,

所以晴天的次日不下雨的频率为£4,用频率估计概率,则估计运动会期间不下雨

168

的概率为］

8

6.解析（1）当且仅当一年内出险次数小于2时,事件A发生.

由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为甯=0.55,

故P（A）的估计值为0.55.

⑵当且仅当一年内出险次数大于1且小于4时,事件少发生.

由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为暇=0.3,故P⑵的估

计值为0.3.

⑶由所给数据得频率分布表：

保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

频率0.300.250.150.150.100.05

所以调查的200名续保人的平均保费为

0.85aX0.30+aXO.25+1.25aX0.15+1.5aX0.15+1.75aX0.10+2aX0.05=1.192

5a（元）.

因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a元.

能力提升练

1.C一句也说不出的学生频率为10°一45-38=0.17,

100

所以估计该校三年级的600名学生中，对二十四节气歌一句也说不出的有

600X017=102（人）.故选C.

2.答案1250

解析设该中学共有〃名学生，依题意得黑，解得炉1250.

150n

所以估计该中学共有1250名学生.

3.解析（1）由所给数据,得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计

值如下表:

空气质量等级1234

概率的估计值0.430.270.210.09

⑵一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为

磊X（100X20+300X35+500X45）=350.

4.解析（1）从题中统计表可以看此在这1000位顾客中，有200位顾客同时购

买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为黑;0.2.

1000

⑵从题中统计表可以看出，在这I000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、

丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,

所以估计顾客同时购买甲、乙、丙、丁中3种商品的概率为衅镇=0.3.

（3）估计顾客同时购买甲和乙的概率为潦意=0.2,

估计顾客同时购买甲和丙的概率为

估计顾客同时购买甲和丁的概率为黑=0.1,

所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.

5.解析（1）依题意知,从每层抽取的比率为从而生产的轿车总共有

100+30040

50X40=2000（辆），所以交2000-100-150-300-450-600=400.

⑵由⑴知。类轿车共生产了1000辆,又样本容量为5,所以抽取的比率为

焉=心,故抽取的5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型,从中任取2辆,一共有

10种不同的取法,记事件M为“至少有1辆舒适型轿车”，则事件祈表示“抽取

到2辆标准型轿车”，易知事件而共包含3个样本点,从而事件必包含的样本点

个数为7,所以〃的=5=0.7.

10

(3)样本平均数为三义(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0,记事件N为

8

“从这8个数中任取一个数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5",则事

件/V包含的样本点有6个，所以尸(心=1=0.75.

8

6.解析(1)由题意知,按照分层随机抽样的方法，抽出的样本中/题目的成绩数

据有6个,按分值降序排分别记为小,曲…,廊；方题目的成绩数据有4个,按分值

降序排分别记为Ji,/2,

记样本的平均数为匕样本的方差为s）由题意可知,

与人一_"（%1+%2+…+%6）+（31+少2+丫3+丫4）

10

=-5x-6-4---5-.5-x-4=5l.2c,

10

66

£i=i（期一5.2）2=%=1[（々-5）-