2022年北京市东城区北京第二十二中学数学高三上期末检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．2．已知，则，不可能满足的关系是（）A． B． C． D．3．已知函数，则函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．4．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了年至年国家财政性教育经费投入情况及其在中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．年以来，国家财政性教育经费的支出占比例持续年保持在以上C．从年至年，中国的总值最少增加万亿D．从年到年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是年5．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．6．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（）A． B． C． D．07．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么()A．国防大学，研究生 B．国防大学，博士C．军事科学院，学士 D．国防科技大学，研究生8．若直线经过抛物线的焦点，则（）A． B． C．2 D．9．圆心为且和轴相切的圆的方程是（）A． B．C． D．10．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点11．（）A． B． C． D．12．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．15．若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值_____16．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流．（i）求这人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．临界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63518．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的方程；（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.20．（12分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）的图象与两坐标轴的交点分别为，若三角形的面积大于，求参数的取值范围.21．（12分）在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标，直线的参数方程为（为参数），与交于，两点．（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设点；若、、成等比数列，求的值22．（10分）已知向量，函数．（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角的对边分别为，已知函数的图像经过点，成等差数列，且，求a的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.2、C【解析】

根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．【详解】∵；∴，；∴，，故正确；，故C错误；∵，故D正确故C．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题3、A【解析】

首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.【详解】当时，.当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以令，得，因为，，所以函数的零点所在区间为.故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.4、C【解析】

观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知、、项均正确，年中国为万亿元，年中国为万亿元，则从年至年，中国的总值大约增加万亿，故C项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．5、A【解析】

，从而可得，，再解不等式即可.【详解】由已知，，所以，，由，解得，.故选：A.【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.6、B【解析】

根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选：B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.7、C【解析】

根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.8、B【解析】

计算抛物线的交点为，代入计算得到答案.【详解】可化为，焦点坐标为，故.故选：.【点睛】本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.9、A【解析】

求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】圆心为且和轴相切的圆的半径为，因此，所求圆的方程为.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.10、A【解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.11、B【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12、B【解析】

根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：将选中2名女生平均分为两组：将选中2名男生平均分为两组：则选出的人分成两队混合双打的总数为：和分在一组的数目为所以所求的概率为故选：B【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.【详解】设，交圆于点，所以易知:即.故答案为：【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.14、【解析】

由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15、5.【解析】

由约束条件作出可行域，令z＝3x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故答案为：5【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16、0【解析】

利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.【详解】由，，是等差数列可知因为，所以，故答案为：0【点睛】本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列见解析．【解析】

（1）根据所给数据可完成列联表．由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这样不达标人数随之而得，然后计算可得结论；（2）由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，的可能值为0，1，2，分别计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望．【详解】（1）列出列联表，，所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关．（2）（i）在“锻炼达标”的学生中，男女生人数比为，用分层抽样方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，人中女生的人数为，则的可能值为，，，则，，，可得的分布列为：可得数学期望．【点睛】本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望．主要考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．18、（1）（2）存在；详见解析【解析】

（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．【详解】解：（1）由题易知解得，所以椭圆方程为（2）设当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得，显然所以因为化简解得即所以此时存在定点满足题意当直线斜率不存在时，显然也满足综上所述，存在定点，使成立【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．19、（1）（2）点在以为直径的圆上【解析】

（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设点，，则，，求出直线的方程，进而求出点的坐标，再利用中点坐标公式得到点的坐标，下面结合点在椭圆上证出，所以点在以为直径的圆上．【详解】（1）由题意可知，，解得，椭圆的标准方程为：.（2）设点，，则，，直线的斜率为，直线的方程为：，令得，，点的坐标为，，点的坐标为，，，，又点，在椭圆上，，，，点在以为直径的圆上．【点睛】本题主要考查了椭圆方程，考查了中点坐标公式，以及平面向量的基本知识，属于中档题．20、（1）（2）【解析】

（1）当时，不等式可化为：，再利用绝对值的意义，分，，讨论求解.（2）根据可得，得到函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，再利用三角形面积公式由求解.【详解】（1）当时，不等式可化为：①当时，不等式化为，解得：②当时，不等式化为，解得：，③当时，不等式化为解集为，综上，不等式的解集为.（2）由题得，所以函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，的面积为，由，得（舍），或，