广东省东莞第四某中学2023届高三年级下册2月模拟数学试题（含答案解析）

广东省东莞第四高级中学2023届高三下学期2月模拟数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x|14x43},B={x|2<x<4},则Au3=()

A.(1,4)B.[1,4)C.[2,3]D.(2,3]

2.若(z-l)2+l=0,贝ljz=()

A.0B.1C.-l±iD.l±z

3.设为数列{4}的前〃项和.若S"="2-〃+a,则“a=O”是“2%=%+%”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数了=1。8“(》-1)+4(。>0且。/1)的图象恒过定点尸，点「在黑函数丫=/(幻

的图象上，则lg/(2)+lg/(5)=()

A.-2B.2C.-1D.1

5.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年〜前222年)，其中沙漏就

是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的

连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，

某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8cm,细沙全部在

上部时，其高度为圆锥高度的!(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆

成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为()

3327

6.中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美“，太极图是由黑白两个鱼形纹组

成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义图象能够将圆

。(。为坐标原点)的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆。的一个“太极函数”,

给出下列命题：

①对于任意一个圆0,其“太极函数”有无数个；

②函数/(x)=ln(^/7W-q可以是某个圆。的“太极函数”；

-2

③函数/")=/可以同时是无数个圆。的“太极函数”；

④函数y=f(x)是“太极函数”的充要条件为y=/(x)的图象是中心对称图形.

其中正确结论的序号是()

A.①②B.①②④C.①③D.①④

7.已知2sin2e_3sine_2=0,'则cos。的值为()

A.3B.在C.—D.y

3222

8.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：

①f(x)+f(—x)=0；②f(x)—f(—x)=2f(x)；

③f(x)-f(—x)<0；④风一"?.其中一定正确的有

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、多选题

9.若直线y=gx+伙6eR)是曲线y=f(x)的切线，则曲线y=/(处的方程可以是()

A./(X)=X3+2X24-8B./(x)=tanx

C・/(幻=&D,

10.已知椭圆E:二+£=I的左、右焦点分别为月,E,定点41,4),若点P是椭圆E

3620

上的动点，则|B4|+|P用的值可能为()

A.7B.10C.17D.19

11.已知三棱锥A-8CD的棱长均为3,其内有"个小球，球。।与三棱锥A-8CO的四

试卷第2页，共4页

个面都相切，球。2与三棱锥A-88的三个面和球。|都相切，如此类推，…，球。“与

三棱锥A-38的三个面和球QT都相切（”22,且〃eN*）,球的表面积为5“，体

积为匕，则（）

...76c_3兀

A.V=--itB13.S3—~~

1816

C.数列｛S,,｝为等差数列D.数列｛匕｝为等比数列

12.函数f（x）在（a,b）上有定义,若对任意的卜,x,€（«,/?）,有

甘卜则称“X）在（。力）上具有性质p,则下列说法正确的是（）

A.〃X）=log2X在（0,+8）上具有性质产；

B.”力=犬在其定义域上具有性质P；

C.f（x）在33上单调递增;

D.对任意X\,x2,X3,X4G（a,h）,有f；"+习<

；［/（七）+/（々）+"七）+"匕）］

三、填空题

,>2

13.椭圆C?+W=l（4>Z>>0）的右焦点为产（c,0）,直线工-20=0与C相交于A、

8两点.若A.8F=0，则椭圆C的离心率为.

14.在三棱锥A-8C。中，AB=BC=BD=2,AC=AD=20，CD=2^>则三棱

锥A-BCD的外接球的半径为.

15.抛物线y?=4x的焦点为F,经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点4,

与准线/交于点B,且AK，/于K,如果|AF|=|M|,那么的面积是.

16.函数y=Jlogo.5x的定义域为

四、解答题

17.已知数列｛为｝满足：对V“eN+,都有0向=3+1+1.

⑴设勿=。“-〃，〃€乂，求证：数列也,｝是等比数列;

(2)设数列｛《,｝的前〃项和为5“，求S”

18.如图：四锥P—438中，PAYAD,AB=AC=2P4=2,PC=后,ZABC=3(f.

(1)证明：PAL平面ABC£>；

(2)求点B到平面PAC的距离.

19.设一43C的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且满足：

2asinA=(2/7-c)sinB+(2c-b)sinC.

(1)求角4的大小；

(2)若a=2石=2,求.ABC的面积.

22

20.已知双曲线C：*-方=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为片，工，右顶点为P,

点。(0力)，PF11,ZF,PQ=60°.

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线/经过点鸟，且与双曲线C相交于A,8两点，若耳48的面积为6M，求直

线/的方程.

21.已知函数f(x)=-3cosx-；ar2,，(x)为f(x)的导函数.

TT

(1)若f(X)在区间0，-上单调递减，求实数a的取值范围；

jr1

(2)若xe0,y,求证：当任3时./(力+5*3+320.

22.已知函数/(x)=sin[,_2x)_2sin(x_：)cos(x+¥).

⑴求〃力的最小正周期及对称轴方程；

(2)xeH时，g(x)=4(x)+h的最大值为7,最小值为1,求。，匕的值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】利用集合的并运算求解即可.

【详解】由集合的并运算可知，AUB={x|l<x<4}.

故选：B.

2.D

【分析】根据二次方程的方法求解即可.

【详解】由(z-l)2+l=0得,(z-l)2=-l,即z-l=±Z,则z=l土i.

故选：D

【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,属于基础题.

3.A

【分析】用定义法，分充分性和必要性分别进行讨论.

【详解】因为S,,为数列{q}的前〃项和，且5“="2-〃+。，

所以当〃=]时，«,=S,=I2-1+6(=6!;

22

当“22时，a„=Sn-S„_l=n-n+a-^(n-l)-(n-l)+«]=2/z-2；

[a,n=\

所以见=。

—2,n>2

充分性：当a=0时，所以%=S?—£=22—2—(1-1)=2；

2222

4=S4-S3=4-4-(3-3)-6；«6=S6-S5=6-6-(5-5)=10.满足2%=%+6，所以

充分性满足；

[a,n—1

必要性：由可得：4=2,4=6,4=10，符合2%=+。6，但是不能

[2〃-2,鹿22

推出。=0.所以必要性不满足.

故“a=0”是“2%=%十%”的充分不必要条件.

故选：A

4.B

【分析】令对数的真数等于0,求得心)，的值，可得图象经过的定点坐标.再根据在嘉函

数y=/(x)的图象上，求出函数f(x)的解析式，从而求出lg/(2)+lg/(5)的值.

答案第1页，共16页

【详解】；已知。＞0且。声1,对于函数y=log.(x-l)+4,令X-1=1,求得x=2,y=4,

可得它的图象恒过定点P(2,4),

•.•点P在幕函数y=f(x)=xn的图象上，.•.2〃=4,二"=2,(x)=x2

则f(2)=4J(5)=25,故1g/⑵+1g/(5)=lg[/(2)/(5)]=lgl00=2

故选B.

【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题.

5.D

【分析】由题意知，求得细沙的体1积丫IfP把47r，结合体积相等，即可求解，得到

答案.

【详解】由题意知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高"=|x8=与，

底面圆的半径r=]x4=g,故细沙的体积v%产〃=?k(32*2=熠£,

33333381

当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，

1.1024乃64

设信I为77,贝I」x42~x"=———,得”=—,

38127

故此锥形沙堆的高为《64cm.

27

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆锥体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的体积公式求得

几何体的体积，利用“等积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结

合思想的应用，属于中档试题.

6.A

【分析】根据“太极函数''的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分,

所以对于任意一个圆O,其“太极函数”有无数个，①正确.

②，yjx2+\>\[x^=|x|>X,所以/(力=In(GTT-x)的定义域为R,

(y/x2+1++1-xj

/(-X)=In(J:+]+尢)=m

yjx2+\-x

,1।

=In]-----------=-In二-〃])，所以/(X)是定义在R上的奇函数,

\jx2+1-x

图象关于原点对称，

答案第2页，共16页

(+1-+1+j)

1

f(x)=ln(JX2+1-x)=ln=lny—

Vx2+1+Xyjx2+1+X

所以在R上递减，画出大致图象如下图所示,

2

③，函数/(x)=*3=YJ,/(x)的定义域为R,

〃-)=而彳=疗=〃耳，所以“X)是偶函数，图象关于y轴对称,

2,_

所以函数/(x)=?=y7不是某个圆的太极函数.

答案第3页，共16页

如图所示，所以④错误.

故选：A

7.B

答案第4页，共16页

【分析】由己知可得出sin6«—l,l),cos6>0,解方程2sin26_3sine-2=0可得出sin。的

值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos。的值.

【详解】因为北卜卦｝贝Ijsin8€(-l,l),cos6>0,

因为2sin?6•—3sine—2=(2sine+l)(sine_2)=0,则sin6»=-J,

因止匕，cos6=Vl-sin20=—.

2

故选：B.

8.C

【详解】试题分析：根据题意，由于f(x)为R上的奇函数，那么可知f(x)+f(-x)

=0成立，对于f(x)—f(—x)=2f(x)显然成立，对于D,只有f(x)不为零时成立，对

于③f(x)-f(-x)<0,只有x不为零时成立，故正确的选项为C.

考点：奇偶性

点评：主要是考查了函数奇偶性的概念的运用，属于基础题.

9.AC

【分析】函数的导数的几何意义是在某点处的切线斜率，对每个函数求导，判断是否有解即

可.

【详解】因为直线丁二；工+/匹/?)是曲线>=/")的切线，所以y=/(x)在某点处的导数

值为g.

对于A,/(X)=X3+2X2+8,可得尸(x)=3x?+44,

令/(工)=3f+4x=；,即6x2+8x-l=0,

因为A=82-4X6X(-1)>0,所以f'(x)=g有解，故A正确.

对于B,由/(x)=tanx,可得/(力=―^―,

cosX

令f'(x)='5一=!，可得COS2X=2,无解，故B不正确•

cosx2

1£1

对于C,/,(x)=ie5>0,故r(x)=；有解，故C正确.

对于D,f(x)=ln*的定义域为鸟收)，

令r(x=——7=1：,可得户―5，不符合1

2x+1222

答案第5页，共16页

所以r(x)=§无解，故D不正确.

故选：AC

10.ABC

【分析】右焦点为尸2,求出||尸川-1尸剧的范围，利用椭圆定义归周=*-归闾，从而可得

出|PA|+|P间的取值范围，可判断各选项.

【详解】由题意可得用(4,0),则,闾=，(4一1)2+(0-4)2=5,故||小|-|尸矶,|伍|=5.因

为点P在椭圆E上，所以|「制+|尸片=2"12,所以仍用=12-|帆|,故1PAi+俨周=12+|PA|

-陶,由于-5效［申|-归国5,所以7领jA4|+|「胤17,故IH4|+|尸制的可能取值为7,

10,17.

故选：ABC.

【点睛】本题考查椭圆的定义，在涉及到椭圆上点到一个的焦点的距离时，可利用椭圆定义

转化为到另一焦点的距离，从而得出相应范围.

11.AD

【分析】根据题意求出三棱锥A-BCD内切球。1和球O2的半径，找出半径之间的关系，进

而进行计算即可得出结论.

【详解】由题意知三棱锥4-8CD的内切球。।的球心在高AO上，如图1所示，

由正三角形中心的性质可得：8O=|x乎=6,则AO=jAB2-8O2="，

设球。的半径为4,则利用等体积法：V_=^(SS

।ABCDABc+ACD+SABD+SBCD),

即_IX41X32X"=LX4XX1X32,解得：r、=旦,所以球。的体积%J*=翅，故

3431414'3'8

答案第6页，共16页

选项A正确；

如图2所不：易知£)0=6，00t=>]=>DO、=+(6『=—~~—.

设球R与平面88切于点M,球。2的半径为4,连接。2〃，则OQD02MD,

3面瓜

4=£>。1-（4+4）

所以TZ2所以3r,=-仁，

ooT3#3n22-

444

则「《=>，所以汴如此类推，rti==人」

*2-

所以匕｝是首项为底，公比为;的等比数列,

4z

所以

所以石=土盖,则…*嬴啮故选项B错误;

由.生©一可得占著

,n>2,

所以数列｛£,｝是公比为:的等比数列，故选项C错误;

43

由dU可听奇/》"

数列｛匕｝是公比为1的等比数列，故选项D正确;

O

故选：AD.

12.BD

答案第7页，共16页

【分析】根据所给定义及基本不等式证明A、B、D,利用反例说明C;

【详解】解：对于A：“x）=log2X定义域为（0，e）,设任意的储，马«0,珂,则

〃与）=叫2再，/（々blog?%,贝!］

拉（占）+/（苍）］=^（log2X,+log,x2）=^log2（x,x2）=log,（石用，因为'；*2当且仅当

玉=》2时取等号，且/（x）=log?X在定义域上单调递增，所以log［主色）》。&（斥），即

/R/卜;［/（占）+/（%）］,故A错误；

对于B:/（x）=d定义域为R,设任意的毛，匕€/?,则/（土产）=（三产J,〃芭）=犬，

/（%）=引，则3［〃占）+/仁）］=3占2+3%2，因为X12+9222占%当且仅当％=%时取等号，

所以gk+ij］詈J,故/（后三）弓卜&）+/（三）］,故/a”/在其定义域上具有性

质尸，故B正确；

对于C：若/（X）为常数函数，如/（x）=2,显然对任意的4，七e（a,b）,都有

/（笠3=（［/（玉）+/®）］，满足性质?，但是“X）不具有单调性，故C错误；

/百+WZ、

对于。，有《…:…卜/丁

叫i_，r；*）+，（&；［/（*）+/（£）+/（'3）+/。4）］,故D正确.

故选：BD

13.史

2

【分析】设点4（2&%,%）,由AF.BF=0可得出网=M，可求得y；=京）=捺,

化简可得出关于“、。的齐次等式，即可求得椭圆C的离心率.

【详解】设A（2圆,yJ,AFBF=Q,即4户_18尸，，|。耳=|明,贝U8y：+y；=c?,即

―又孥+衿—缶②,

由©®得—泞+9八。,即8e-9=。,/=*、（舍去），解得e邛.

答案第8页，共16页

故答案为：也.

2

【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，解答的关键就是要结合题意得出关于。、b,。的

齐次等式，考查计算能力，属于中等题.

14.亚

【分析】根据A8=8C=8D=2,AC=AD=2五,由勾股定理得到AB_Z8C,ABLBD,

从而有432平面BCD,根据截面圆的性质，得到球心到平面BCD的距离/?,在△CBD中，

由余弦定理和正弦定理求得△BCD的外接圆半径r,再利用球的半径为R=尸丁求解.

【详解】如图所示：

因为AB=BC=BD=2,AC=AD=2&，

由勾股定理得ABLBD,BCBD=B

所以平面BCD,

所以球心到平面BCD的距离为1

在ACBD中，由余弦定理得cosNCBD=叱学匕-CD：=一1,

2BCBD2

27r

所以NCBO=《-

12-_c

所以△38的外接圆半径为了

sin——

3

所以球的半径为"71=不.

故答案为：旧

【点睛】本题主要考查球的外接问题，以及截面圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于

中档题.

15.46

答案第9页，共16页

【分析】计算得到|M|=|AK|，|FK|=|AF|,故凶"为正三角形，I必|=4,计算面积得到

答案.

【详解】抛物线y2=4x的焦点F(l,o),准线为/：x=-l,由抛物线的定义可得|A目=|AK|,

由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|,

即有A4XF为正三角形，由尸到/的距离为d=2,则|AK|=4,

AAXF的面积是tx16=46.

4

故答案为：4G.

【点睛】本题考查了抛物线中的面积问题，确定公行为正三角形是解题的关键.

16.(0,1]

【分析】由二次根式的有意义得不等式logosXN。，解出结果即为答案.

【详解】解：解不等式log。.5北0,得0<E

所以函数y=，logosX的定义域为xe(0,1]

故答案为(0』

【点睛】本题考查了函数的定义域问题，对数不等式的解法，属于基础题.

17.(1)证明见解析

⑵S.=T+({f+智

答案第10页，共16页

【分析】（1）利用/（+1+1变形得到%=*，从而证明出结论；（2）求出

an=。+〃=-（g）+n,分组进行求和.

【详解】（D因为"=4-〃，所以%=〃+”.

又”,用=才+5+1，所以〃用+"+1=七—+]+1，

化简得：%=/,.

因为q=g,所以4=g-l=-g，

所以数列｛2｝是首项为-；，公比为g的等比数列.

（2）由（1）可得：包=_；6『=一（£|”,

所以勺=〃,+〃=—(£)

+/7，

(£)+(£!+.“+()+(1+2+3+・+〃)

〃（1+〃）=]I（1丫I"（1+"）.

2

18.（1）证明见解析；（2）立

3

【分析】（1）通过计算证明B4LAC即可证明P4_L平面ABC。；

（2）利用等体积法求点到平面距离.

【详解】（1）由题：四锥P—ABCD中，PA±AD,AB=AC=2PA^2,PC=百,

即AC=2,PA=1,AC2+PA2=PC2,

所以NPAC=90°,PA1AC,由题P4_L4）,

AC,A。是平面ABC。内两条相交直线，

所以证明PAJ_平面ABCD；

（2）由（1）可得：Q4就是尸到平面ABC。的距离，设点B到平面PAC的距离为d,

答案第II页，共16页

三棱锥P-ABC的体积：ZABC=30°,AB=AC=2,ZBAC=120°

^P-AUC~^B-APC

gSMBCxPA=；SgpcX。

-x—x2x2xsinl20xl=-x—xlx2xj

3232

解得：d=B

3

【点睛】此题考查根据计算得线线垂直证明线面垂直，利用等体积法求点到平面距离.

兀

19.(1)A=§

⑵26

【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求得结

果；

(2)利用正弦定理求出角8,从而可判断三角形为直角三角形，进而可求出三角形的面积.

【详解】(1)由已知及正弦定理可得2a2=(2匕-c迫+(2c-b)c,

整理得b?+<?—a?=bc，

h2+c2-a2he1

所以cosA=

2hc2bc~2

又Aw（0,兀），故A=-TT.

3

b

(2)由正弦定理可知一；

sinAsin3

又。=2>/3,b=2,A=y,

所以sinB=—<s\nA=.

22

故8=g

6

所以C=5，

故一ABC为直角三角形，

于是SABC=.

2

20.(l)x2-^-=l

3

答案第12页，共16页

(2)5x+厉y-l()=()或5x-厉y-l()=O或3x+y-6=0或3x-y-6=0

c-a=1

【分析】(1)由题意得b=，求解即可；

a2+b，~2=c2

\x=my+l,一一一

(2)设A8：x=tny+2,联立|3炉_：=3,由根与系数的关系结合三角形面积求解即可

c-a=\

【详解】(1)由题意，得6=吗，

a2+/=c2

解得。=1,b—>/3>c=2,

2

所以双曲线C的方程为炉-汇=1.

3

(2)由题意可知，直线/的斜率不为0,

设A8：x=my+2,

x=my+2/,、，

联立3X、1=3'消x，得(3病-1)V+12的+9=0,

3/-1x0

由，，解得病

△=144加2-36(疗-1)>0

12m

M+%,2]

3m-1

设A(x”x),8(9,%)，则,

9

12m丫3636"+1)

所以(m-丫2丫=(y+%『-4y丫2=-

3^2-1J3〃?2-1(3疗-1)2，

2

所以的面积5耳耳•|y-%|=；x46dm+112dm2+1

X-:-----r-=

3/一13/M2-1|

l2\lm2+\

由=6回,

|3W2-1|

化简，得45加4一32机2+3=0,

解得加2='|,=',m=±2^Z,m=±^­,

5953

答案第13页，共16页

所以直/的方程为5x+&?y-l()=0或5x-岳y-l()=O或3x+y-6=0或3x-y-6=0.

21.(1)a>3(2)证明见解析；

【解析】(1)先求/'(x)=3sinx-ax,令8(x)=3sinx-ox,再求导g'(x),原问题可转化为g'(x),,0

7Trr

在［0,］］上恒成立，即a.3cosx恒成立，于是求出y=3cosx在［0,彳］上的最大值即可；

(2)令〃(©=/(幻++3,原问题转化为证明〃(x)..O,求出力'(x),由于小3,所以

//(x)..3sinx-3x+—x2,再令p(x)=3sinx-3x+—x2,再求导p'(x),又令〃Kx)=〃'(x),又求导〃(x),

并得出加(x)=-3sinx+3..0,因此〃0)在。自上单调递增，依此，逐层往回递推直至能证明

)(x)..M0)=0即可.

【详解】解：(1)由题可知，/fW=3sinx-a¥,

令g(x)=3sinx-ov,则g'(幻=3cos%_q,

/'(X)在区间上单调递减，

・二当0蛋/一时，3cosx-",0,即a.3cosx恒成立，

2

rr

而当0领k3时，3COSXG(0,3］,

2

:.a..3.

i33

(2)证明：令力(幻=/*)+5］3+3,则"。)=尸(幻+；/=3sinx-,

3

q,3,hr(x)..3sinx-3x+—x2,