高中数学第一章解三角形1-2-1解三角形的实际应用举例-距离问题同步课件新人教A版必修5

1.2应用举例第1课时解三角形的实际应用举例——距离问题主题应用举例——测量中的有关概念1.根据方向角的含义完成填空,明确方向角的表示方法.如图所示,图①的m°角描述为__________.如图②的n°角描述为__________.北偏西m°南偏东n°2.根据方位角的定义完成填空,明确方位角的表示方法如图图③的方位角为______;图④的方位角为______.130°200°结论:测量中各种角的定义:1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线_____时叫仰角,目标视线在水平视线_____时叫俯角,如图:上方下方2.方位角与方向角(1)方位角:从_____方向_______转到目标方向线的水平角叫方位角,方位角的范围是[0,2π].(2)方向角:从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角,如北偏东30°,南偏东45°.正北顺时针指定3.坡角与坡度

坡面与_______所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_________之比叫坡度,如图.水平面水平宽度3.坡角与坡度

坡面与_______所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_________之比叫坡度,如图.水平面水平宽度【对点训练】1.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为 (

)

A.10km B.kmC.10km D.10km【解析】选D.因为A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,∠ABC=120°,则AC2=AB2+CB2-2AB·BCcos∠ABC=102+202-2×10×20×=700.所以AC=10km.2.一角槽的断面如图所示,四边形ADEB是矩形,若α=50°,β=70°,AC=90mm,BC=150mm,则DE=________mm.

【解析】连接AB,则∠BAC=90°-α=40°,∠ABC=90°-β=20°,所以∠ACB=180°-40°-20°=120°,所以AB2=AC2+BC2-2×AC·BC·cos120°=902+1502-2×90×150×=902+1502+90×150=44100,所以AB=210mm,所以DE=210mm.答案:210所以AB=210mm,所以DE=210mm.答案:210类型一测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离【典例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.【解题指南】结合条件,利用正弦定理求解.【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,所以AB=即A,B两点间的距离为20m.【方法总结】求距离问题时应注意的两点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.【跟踪训练】如图所示,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?【解析】在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km,由余弦定理得cos∠BDC=所以cos∠ADC=,所以sin∠ADC=在△ACD中,由条件知CD=21km,∠BAC=20°+40°=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=由正弦定理得所以AD=故这时此车距离A城15km.类型二测量两个不可到达的点之间的距离【典例2】如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.【解题指南】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,然后在△ABD中由余弦定理求得AB.【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得:解得AD=在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40(海里).在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3200-2×20×40×=2400,解得AB=20(海里).【方法总结】测量不可到达的两点之间的距离问题的关键(1)选取的基线既易于测量,又简单恰当.(2)要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.【跟踪训练】如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠AEC=150°,则两山顶A,C之间的距离为 (

)A.2km B.3km C.4km D.3km【解析】选A.AB=1km,CD=3km,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠AEC=150°,所以AE=2AB=2km,CE=在△ACE中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2×AE×CE×cos∠AEC=4+12-2×2×所以AC=2km;即两山顶A,C之间的距离为2km.类型三航行中的距离问题【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间?【解题指南】已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.而观察CD所在的三角形,有△ADC和△BDC,确定用△BDC来求CD.【解析】由题意知AB=5(3+)海里,因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△ADB中,由正弦定理得

所以DB=又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20海里,所以在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos∠DBC=300+1200-2×10×20×=900,所以CD=30(海里),所以需要的时间t==1(小时),即救援船到达D点至少需要1小时.【延伸探究】1.若本例条件不变,求该救援船应沿东偏北多少度的方向去营救?【解析】由本例解析知在△BCD中,DB=10,BC=20,CD=30,故DB2+CD2=BC2.所以∠CDB=90°,又因为∠CBD=60°.所以∠DCB=30°.过C作AB的平行线CE,即∠BCE=∠CBA=30°,所以∠DCE=60°.故该救援船应沿东偏北60°的方向去营救.2.本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?【解析】设救援船的速度为v海里/小时,由本例解析求得CD=30海里,由得v≥45.即救援船的最小速度为45海里/小时.【方法总结】航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【方法总结】航行问题的解题技巧(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向三角形转化.2.本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到达,则救援船的最小速度为多少?2.根据方位角的定义完成填空,明确方位角的表示方法如图图③的方位角为______;图④的方位角为______.130°200°【对点训练】1.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km