八年级数学教案：变量

八年级数学教案：变量

变量

学习目标：

1.理解变量与函数的概念以及相互之间的关系

2.增强对变量的理解

3.渗透事物是运动的，运动是有规律的辨证思想

重难点：

变量与常量，对变量的判断，找变量之间的简单关系，试列

简单关系式

学习过程：

（一）学习准备：

信息1：当你坐在摩天轮上时，想一想，随着时间的变化，

你离开地面的高度是如何变化的？

信息2：汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为skm,

行驶的时间为由，先填写下面的表格，在试用含t的式子表

示s.

t/m12345

s/km

（二）探究新知：

问题：

⑴每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日

场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入

各多少元?设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用

含x的式子表示y?

(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量,

观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm,每

1kg重物使弹簧伸长0.5cm,怎样用含重物质量m(单位：kg)

的式子表示受力后弹簧长度1(单位：cm)?

(3)要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少?圆的面

积为20cm2呢?怎样用含圆面积S的式子表示圆的半径r?

(4)用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察

长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算

相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的

长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S?

归纳：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量

(variable).数值始终不变的量为常量。

指出上述问题中的变量和常量。

(三)运用新知：

写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，

哪些量是变量，哪些量是常量？

(1)用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S(m2)

与一边长x(m)之间的关系式；

(2)购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的

数量n(支)的关系；

⑶运动员在4000m一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间

t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；

(4)银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元

本金与所得的本息和y(元)之间的关系。

(四)反馈练习：

1.分别指出下列各式中的常量与变量.

(1)圆的面积公式S二

(2)正方形的l=4a;

⑶大米的单价为2.50元/千克，则购买的大米的数量x(kg)

与金额与金额y的关系为y=2.5x.

2.写出下列问题的关系式，并指出不、常量和变量.

⑴某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国

家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种

活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之

间的关系式.

(2)如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边(包

括两个顶点)有n盆花，每个图案的花盆总数是S,求S与n

之间的关系式.

(五)尝试小结:

怎样列变量之间的关系式？

(六)作业布置：

阅读教材5页，11.1.2函数

14.1.2函数

学习目标：

(1)理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函

数

⑵会用变化的量描述事物

(3)会用运动的观点观察事物，分析事物

重难点：函数的概念

学习过程：

一、学习准备：

问题一：在各个信息中，是否有两个变量？

问题二：当一个变量取定一个值时，另一个变量有没有唯一

确定的对应值？

二、探究新知：

信息1：

汽车以60千米/小时的速度匀速前进，行驶里程为s千米，

行驶的时间为t小时，先填写下面的表格，再试用含t的式

子表示s.

t/时12345

s/千米

关系式：s=60t

本信息有两个变量，一个是行驶时间3—个是行驶里程s;

当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s就随之确定一个值;

那么，行驶时间t就是自变量，行驶里程s就是行驶时间t

的函数。

当匚9时，s=540,那么540叫做当自变量的值为9时的函数

值。

当行驶里程s取定一个值时，行驶时间t就随之确定一个值。

那么，行驶里程s就是自变量，行驶时间t就是行驶里程s

的函数。

当s=600时，仁10,那么10叫做当自变量的值为600时的函

数值。

信息2:

每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场

售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各

多少元?设一场电影售出票x张，票房收入为y元，怎样用含

x的式子表示y?

关系式：y=10x

本信息有两个变量，一个是()，一个是()；

当()取定一个值时，()就随之确定一个值；

那么，()就是自变量，()就是()的函数。

当()二()时，()=()，那么()叫做当自变量的值为()时的函数

值。

当()取定一个值时，()就随之确定一个值。

那么，()就是自变量，()就是()的函数。

当()二()时,()=()，那么()叫做当自变量的值为()时的函数

值。

归纳：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,

并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对

应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a

时，y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

小试牛刀：

判断下列变量之间是不是函数关系：

(1)长方形的宽一定时，其长与面积；

(2)等腰三角形的底边长与面积；

⑶某人的年龄与身高；

三、运用新知：

活动一：一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油，

那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶里程x(单位：千米)的增

加而减少，平均耗油量为0.1L/千米。

(1)写出表示y与x的函数关系式.

(2)指出自变量x的取值范围.

(3)汽车行驶200千米时，油箱中还有多少汽油？

活动二：练习教材99页练习

自变量的取值标准：

(一)、函数关系式的意义。

(二)、问题的实际意义。

四、课堂小结：

(1)函数概念

(2)自变量，函数值

⑶自变量的取值范围确定

五、课后作业：

P106页：1,2题

14.1.3函数图像(一)

一、学习目标：

会观察函数图象，从函数图像中获取信息，解决问题。

二、学习过程：

1、如图一,是北京春季某一天的气温T随时间t变化的图象,

看图回答：

(1)气温最高是______℃,在时，气温最低是

℃,在时；

(2)12时的气温是℃,20时的气温是______℃;

(3)气温为-2℃的是在时；

(4)气温不断下降的时间是在;

(5)气温持续不变的时间是在o

2、小明的爷爷吃过晚饭后，出门散步，再报亭看了一会儿

报纸

才回家，小明绘制了爷爷离家的路程S(米)与外出的时间t(分)

之间的关系图(图二)

(1)报亭离爷爷家米；

(2)爷爷在报亭看了分钟报纸；

(3)爷爷走去报亭的平均速度是米分。图二

3、图三反映的过程是：小明从家去菜地浇水，又去玉米地

锄地，然后回家，。其中x表示时间，y表示小明离他家的距

离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上。

根据图像回答下列问题：

(1)菜地离小明家多远?小明家到菜地用

了多少时间？

(2)小明给菜地浇水用了多少时间？

(3)菜地离玉米地多远?小明从菜地到玉米地用了多少时间？

(4)小明给玉米地除草用了多少时间？

(5)玉米地离小明家多远?小明从玉米地回家的图三

平均速度是多少？

三、巩固练习

4、一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下

列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h(厘

米)与点燃时间t之间的函数关系的是().

5、图中的折线表示一骑车人离家的距离y与时间x的关系。

骑车人9：00离家，15：00回家，请你根据这个折线图回答

下列问题：

(1)这个人什么时间离家最远?这时他离家多远？

(2)何时他开始第一次休息?休息多长时间?这时他离家多远？

(3)11：00-12：30他骑了多少千米？

(4)他再9：00-10：30和10：30-12-30的平均速度各是多少?

(5)他返家时的平均速度是多少？

(6)14：00时他离家多远?何时他距家10千米？

6、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬

山.有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷.图中两条线段

分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间

(分)的关系(从小强开始爬山时计时)，看图回答下列问题：

(1)小强让爷爷先上多少米？

(2)山顶高多少米?谁先爬上山顶？

(3)小强用多少时间追上爷爷？

(4)谁的速度大，大多少？

14.1.3函数图像(二)

一、学习目标：

1、会用描点法画出函数的图像。

2、画函数图像的步骤：(1)列表;(2)描点;(3)连线。

二、学习过程：

例1画出函数y=x2的图象.分析：要画出一个函数的图象,

关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变

量的值，并求出对应的函数值.（X的取值一定要在它的取值范

围内）

解：（1）取X的自变量一些值，例如x=-3,-2,-1,0,1,2,

3,oooo,并且计算出对应的函数值，为方便表达，我们列表

如下：

xooo-3-2-10123ooo

yooo

由此，我们得到一系列的有序实数对：。。。，（），（），（），

（2）在直角坐标系中描出这些有序实数对的对应点

⑶描完点之后，用光滑的曲线依次把这些点连起来，便可得

到这个函数的图象。

这里画函数图象的方法我们称为描点法，步骤为：列表、描

点、连线。

三、巩固练习

1、在所给的直角坐标系中画出函数产x的图象（先填写下表,

再描点、连线）.

x-3-2-10123

y

2、画出下列函数的图像

⑴⑵

3、矩形的周长是8cm,设一边长为xcm,另一边长为ycm.

⑴求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑵在给出的坐标系中，作出函数图像。

4、王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数

关系式y=击球，球正好进洞.其中，y(m)是球的飞行高度，

x(m)是球飞出的水平距离.

(1)试画出高尔夫球飞行的路线；

⑵从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点

与洞之间的距离是多少？

解：(1)列表如下：

从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是m,球的起

点与洞之间的距离是mo

14.1.3函数图像(三)

一、学习目标：

1、会根据题目中题意或图表写出函数解析式；

2、根据函数解析式解决问题。

二、学习过程：

例1：一辆汽车的油箱中现有汽油50L,如果不再加油，那

么油箱中的油量y(单位：L)随行驶里程x(单位：km)的增加

而减小，平均耗油量为0.1L/km。

(1)写出表示y与x的函数关系式，这样的式子叫做函数解

析式。

(2)指出自变量x的取值范围；

(3)汽车行驶200km时，邮箱中还有多少汽油？

练习：拖拉机开始工作时，邮箱中有油30L,每小时耗油5L。

(1)写出邮箱中的余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关

系式；

(2)求出自变量t的取值范围；

(3)画出函数图象；

(4)根据图像回答拖拉机工作2小时后，邮箱余油是多少?若

余油10L,拖拉机工作了几小时？

例2：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了

这5小时的水位高度。

t/时012345

y/米1010.510.1010.1510.2010.25

⑴由记录表推出这5小时中水位高度y(单位:米)岁时间t(单

位：时)变化的函数解析式，并画出函数图像；

(2)据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再过2

小时水位高度将达到多少米？

练习：有一根弹簧最多可挂10kg重的物体，测得该弹簧的

长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有如下关系：

x(kg)012345

y(cm)121251313.51414.5

(1)写出y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

(2)画出函数图像；

(3)根据函数图像回答，当弹簧长为16.5cm时，所挂的物体

质量是多少kg?当所挂物体质量为8kg的时候，弹簧的长为

多少cm?

三、巩固练习

1、某种活期储蓄的月利率是0.06%,存入100元本金，则本

息和y（元）随所存月数x变化的函数解析式为

,当存期为4个月的时候，本息和为

元；

2、正方向边长为3,若边长增加x则面积增加y,则y随x

变化的函数解析式为,若面积增加了16,则

变成增加了；

3、甲车速度为20米/秒，乙车速度为25米/秒，现甲车在乙

车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米，则y随x

变化的函数解析式为，自变量x的取值范

围是；

4、某学校组织学生到炬力千米的博物馆无参观，小红因事

没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去博

物馆，车租车的收费标准如下：

里程收费

3千米及3千米以下7.00

3千米以上，每增加1千米2.00

（1）请写出出租车行驶的里程数x（千米）与费用y（元）之间的

函数关系式；

(2)小红同学身上仅有14元钱，乘出租车到博物馆的车费够

不够，请说明理由。

5、声音在空气中传播速度和气温间有如下关系：

气温(℃)05101520

声速(m/s)331334337340343

(1)若用t表示气温，V表示声速，请写出V随t变化的函数

解析式；

(2)当声速为361m/s的时候，气温是多少？

14.2.1正比例函数

一、学习目标：

1、理解正比例函数的概念

2、会画正比例函数的图像，理解正比例函数的性质。

二、学习过程：

(一)按下列要求写出解析式

⑴一本笔记本的单价为2元，现购买x本与付费y元的关系

式为；

(2)若正方形的周长为P,边长为a,那么边长a与周长p之

间的关系式为;

(3)一辆汽车的速度为60km/h,则行使路程s与行使时间t

之间的关系式为；

(4)圆的半径为r,则圆的周长c与半径r之间的关系式为

一般地，形如(k是常数，kO)的函数，叫做正比例函数，其

中k叫做比例系数。

※练习：1、下列函数钟，那些是正比例函数?

(1)(2)(3)(4)(5)

(6)⑺⑻

2、关于x的函数是正比例函数，则m

(二)画出下列正比例函数

(1)(2)

x-2-1012

y

x-2-1012

y

比较上面两个图像，填写你发现的规律：

(1)两个图像都是经过原点的，

(2)函数的图像经过第象限，从左到右，即

y随x的增大而;

(3)函数的图像经过第象限，从左到右，即

y随x的增大而;

总结：正比例函数的解析式为

相同点

图像所在象限

图像大致形状

增减性

三、巩固练习：

1、关于函数，下列结论中，正确的是()

A、函数图像经过点(1,3)B、函数图像经过二、四象限

C、y随x的增大而增大D、不论x为何值，总有yO

2、已知正比例函数的图像过第二、四象限，则()

A、y随x的增大而增大B、y随x的增大而减小

C、当时，y随x的增大而增大;当时，y随x的增大而减少;

D、不论x如何变化，y不变。

3、当时，函数的图像在第()象限。

A、一、三B、二、四C、二D、三

4、函数的图像经过点P(-l,3)则k的值为()

A、3B、3C、D、

5、若A(l,m)在函数的图像上，则血=，则点A

关于y轴对称点坐标是；

6、若B(m,6)在函数的图像上，则01=,则点A

关于x轴对称点坐标是；

7、y与x成正比例，当x=3时，，则y关于x的函数关系

式是___________

8、函数的图像在第象限，经过点(0,一)与点(1,

),y随x的增大而

9、一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过

点（1,-3）,求这个函数解析式。

14.2.2一次函数（一）

一、学习目标：

理解正比例函数的概念

二、学习过程：

根据题意写出下列函数的解析式

（1）有人发现，在20〜25℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t（单

位：。C）有关，即c的值约是t的7倍与35的

差;_______________

（2）一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘

米为单位量出身高值h,再减常数105,所得的差是G的

值;_______________

（3）某城市的市内电话的月收费为y（单位：元）包括：月租22

元，拨打电话x分的计时费（按0.1元/分收

取）;______________

（4）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm,宽不变,

长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化。

一般地，形如（k,b是常数，）的函数，叫做一次函数，特

别地，当时，即，即正比例函数是一种特殊的一次函数。

X练习：

1、下列函数中，是一次函数的有，是正比

例函数的有_____________

⑴⑵⑶(4)

⑸⑹⑺

2、若函数是正比例函数，则6=

3、在一次函数中，k=,b=

4、若函数是一次函数，则m

5、在一次函数中，当时，;当时，。

6、下列说法正确的是()

A、是一次函数B、一次函数是正比例函数

C、正比例函数是一次函数D、不是正比例函数就一定不是

一次函数

7、仓库内原有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，则仓

库内余下的粉笔盒数Q与星期数t之间的函数关系式是

，它是函数。

8、今年植树节，同学们中的树苗高约1.80米。据介绍，这

种树苗在10年内平均每年长高0.35米，则树高y与年数x

之间的函数关系式是____________，它是函数，同

学们在3年之后毕业，则这些树高米。

9、随着海拔高度的升高，大气压下降，空气的含氧量也随

之下降，已知含氧量y与大气压强x成正比例，当x=36时,

y=108,请写出y与x的函数解析式,这个函数

图像在第象限，同时经过点(0,)与点(1,)

14.2.2一次函数（二）

一、学习目标：

1、懂得画一次函数的图像，清楚知道一次函数之间的关系

2、理解一次函数图像的性质，了解中的k,b对函数图像

的影响

二、学习过程：

例1：在同一个直角坐标系中画出函数，，的图像

-2-1012

y=2x

y=2x+3

y=2x-3

X观察这三个图像，这三个函数图像形状都是________，

并且倾斜度o函数

的图像经过原点，函数与y轴交于点，即它可以

看作由直

线向平移个单位长度得到;同样的，函数与y轴

交于点

，即它可以看作由直线向平移个单位

长度得到。

派猜想：一次函数的图像是一条，当时，它是

由

向平移个单位长度得到;当时，它是由向

平移个单

位长度得到。

X练习：

1、在同一个直角坐标系中，把直线向平移

个单位就得到的图像;若向平移个单位就得到

的图像。

2、(1)将直线向下平移2个单位，可得直线;

⑵将直线向平移个单位可得直线。

例2：分别画出下列函数的图像

⑴⑵⑶(4)

分析：由于一次函数的图像是直线，所以只要确定两个点就

能画出它，一般选取直线与x轴，y轴的交点。

⑴⑵⑶(4)

x0

yo

X观察上面四个图像，(1)经过________象限;y随x的增

大而，函数的图像从左到右;(2)经过

象限;y随x的增大而,函数的图像从左到

右;(3)经过________象限;y随x的增大而

，函数的图像从左到右;(4)经过_________

象限;y随x的增大而,函数的图像从左到右

1、由此可以得到直线中，k,b的取值决定直线的位置：

（1）直线经过___________象限；

（2）直线经过___________象限；

（3）直线经过___________象限；

（4）直线经过___________象限；

2、一次函数的性质：

⑴当时，y随x的增大而,这时函数的图像从左到

右；

⑵当时，y随x的增大而,这时函数的图像从左到

右；

三、巩固练习：

1、一次函数的图像不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三想象限D、第四象限

2、已知直线不经过第三象限，也不经过原点，则下列结论

正确的是（）

A、B、C、D、

3、下列函数中，y随x的增大而增大的是（）

A、B、C、D、

4、对于一次函数,函数值y随x的增大而减小，则k的取

值范围是（）

A、B、C、D、

5、一次函数的图像一定经过（）

A、(3,5)B、(-2,3)C、(2,7)D、(4、10)

6、已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次

函数的图像大致是()

7、一次函数的图像如图所示，则k,

b,y随x的增大而

8、一次函数的图像经过__________象限，

y随x的增大而(第6题)

9、已知点Gl，a)、(2,b)在直线上,则a,b的大小关系是

10、直线与x轴交点坐标为;与丫轴交点坐标

;图像经过_________象限，y随x的增大而

，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是

11、已知一次函数的图像经过点(0,1),且y随x的增大而

增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式

12、已知一次函数图像⑴不经过第二象限，(2)经过点(2,-5),

请写出一个同时满足(1)和(2)这两个条件的函数关系式：

14.2.2一次函数(三)

一、学习目标：

学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式

二、学习过程：

例1：已知一次函数的图像经过点(3,5)与(2,3),求这个一

次函数的解析式。

分析：求一次函数的解析式，关键是求出k,b的值，从已

知条件可以列出关于k,b的二元一次方程组，并求出k,bo

解：•・•一次函数经过点(3,5)与(2,3)

解得

一次函数的解析式为

像例1这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未

知的系数，从而具体写出这个

式子的方法，叫做待定系数法。

练习：

1、已知一次函数，当x=5时，y=4,

⑴求这个一次函数。(2)求当时，函数y的值。

2、已知直线经过点(9,0)和点(24,20),求这条直线的函数

解析式。

3、已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量

x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘

米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米.求这个

一次函数的关系式.

例2：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式

练习：已知一次函数的图象如图所示，求出它的函数关系式

例3：地表以下岩层的温度t(℃)随着所处的深度h(千米)的变

化而变化，t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系。

深度(千米)。。。246ooo

温度(℃)。。。90160300ooo

(1)根据上表，求t(℃)与h(千米)之间的函数关系式；

(2)求当岩层温度达到1700C时，岩层所处的深度为多少千

米？

练习：为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一

定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批课桌、凳进行

观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度.于是，他测

量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：

⑴小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数,

请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出x的取值范围);

(2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度

为77cm,凳子的高度为43.5cm,请你判断它们是否配套?说

明理由.

例4：某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费

标准。居民每月应交水费y(元)是用水量x(吨)的函数，其图

象如图所示：

(1)分别写出和时，y与x的函数解析式；

(2)若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？

若该月交水费9元，则用水多少吨？

练习：

1、某市推出电脑上网包月制,每月收费y(元)与上网时间x(小

时)的函数关系如图所示：

(1)当时，求y与x之间的函数关系式；

(2)若小李4月份上网20小时，他应付多少元

的上网费用？

(3)若小李5月份上网费用为75元，则他在该

月分的上网时间是多少？

2、某运输公司规定每名旅客行李托运费与所托运行李质量

之间的关系式如图所示，请根据图像回答下列问题：

(1)由图像可知，行李质量只要不超过______kg,就可以免

费携带。如果超过了规定的质量，则每超过10kg,要付费

______________)Lo

(2)若旅客携带的行李质量为x(kg),所付的行李费是

y(元)，请写出y(元)随x(kg)变化的关系式。

(3)若王先生携带行李50kg,他共要付行李费多少元？

三、作业

1、A(l,4),B(2,m),C(6,-1)在同一条直线上，求m的值。

2、已知一次函数的图像经过点A(2,2)和点B(-2,-4)

(1)求AB的函数解析式；

⑵求图像与x轴、y轴的交点坐标C、D,并求出直线AB

与坐标轴所围成的面积；

(3)如果点M(a,)^nN(-4,b)在直线AB上，求a,b的值。

3、大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距。

某研究表明，一般人的身高h时指距d的一次函数，下表中

是测得的指距与身高的一组数据：

指距d(cm)20212223

身高h(cm)160169178187

(1)求出h与d之间的函数关系式

(2)某人身高为196cm,则一般情况下他的指距应为多少？

11.3.1一次函数与一元一次方程

学习目标：

1.解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的

函数值为0,•求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已

知直线y=kx+b,确定它与x•轴的交点的横坐标.

2.在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0*的解为坐标的点组成

的图象就是一次函数y=kx+b的图象.

学习过程：

探究新知：

若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24,求常

数k的值是多少？

分析：(1)一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三

角形，•两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标

的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.(2)确定图象与

两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.

解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.

令y=0得x=-;令x=0得y=6.

A(-,0)、B(0,6)

OA二||、OA=|6|=6

S二OAOB=|-|6二24

|k|=k=

运用新知；

1.直线y=3x+9与x轴的交点是()

A.(0,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(0,-3)

2.直线产kx+3与x轴的交点是(1,0),则k的值是()

A.3B.2C.-2D.-3

3.已知直线y=kx+b与直线y=3x-l交于y轴同一点，则b的

值是()

A.lB.-lC.D.-

4.已知直线AB〃x轴，且点A的坐标是(-1,1),则直线y=x

与直线AB的交点是()

A.(l,1)B.(-1,-1)C.(1,-l)D.(-h1)

5.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0

的解，则a•的值是_____.

6.已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是

、.•与两条坐标轴围成的三角形的面积是

7.已知关于x的方程mx+n=O的解是x=-2,则直线y=mx+n

与x•轴的交点坐标是.

8.方程3x+2=8的解是,则函数y=3x+2在自变量

x等于・时的函数值是8.

反馈练习：

9.用作图象的方法解方程2x+3=9

10.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所

示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？

拓展延伸；

11.有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个

特征.

可心：图象与x轴交于点(6,0)o

黄瑶：图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9。

你知道这个一次函数的关系式吗？

尝试小结：

11.3.1一次函数与一元一次方程

学习目标：

1.解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的

函数值为0,•求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已

知直线y=kx+b,确定它与x•轴的交点的横坐标.

2.在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0・的解为坐标的点组成

的图象就是一次函数y=kx+b的图象.

学习过程：

探究新知：

若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24,求常

数k的值是多少？

分析：(1)一次函数的图象与两条坐标轴围成的图形是直角三

角形，•两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标

的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.(2)确定图象与

两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.

解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.

令y=0得x=-;令x=0得y=6.

A(-,0)、B(0,6)

OA二||、OA=|6|=6

S二OAOB=|-|6二24

|k|=k=

运用新知；

1.直线y=3x+9与x轴的交点是()

A.(0,-3)B.(-3,0)C.(0,3)D.(0,-3)

2.直线产kx+3与x轴的交点是(1,0),则k的值是()

A.3B.2C.-2D.-3

3.已知直线y=kx+b与直线y=3x-l交于y轴同一点，则b的

值是()

A.lB.-lC.D.-

4.已知直线AB〃x轴，且点A的坐标是Gl,1),则直线y=x

与直线AB的交点是()

A.(l,1)B.(-1,-l)C.(h-l)D.(-b1)

5.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0

的解，则a•的值是_____.

6.已知直线y=2x+8与x轴和y轴的交点的坐标分别是

、.•与两条坐标轴围成的三角形的面积是

7.已知关于x的方程mx+n=O的解是x=-2,则直线y=mx+n

与x•轴的交点坐标是.

8.方程3x+2=8的解是,则函数y=3x+2在自变量

x等于・时的函数值是8.

反馈练习：

9.用作图象的方法解方程2x+3=9

10.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所

示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？

拓展延伸；

11.有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个

特征.

可心：图象与x轴交于点(6,0)o

黄瑶：图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9。

你知道这个一次函数的关系式吗？

尝试小结：

11.3.2一次函数与一元一次不等式

知识库

1.解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于(或小

于)0时，求自变量相应的取值范围.

2.解关于x的不等式kx+bmx+n可以转化为：

(1)当自变量x取何值时，直线y=(k-m)x+b-n上的点在x轴的

上方.

或⑵求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n

上相应的点的上方.(不等号为时是同样的道理)

魔法师

例：用画图象的方法解不等式2x+13x+4

分析：(1)可将不等式化为-x-30,作出直线y-x-3,然后观察:

自变量x取何值时，图象上的点在x轴上方？

或(2)画出直线y=2x+l与y=3x+4,然后观察：对于哪些x的

值，直线y=2x+l上的点在直线y=3x+4上相应的点的上方？

解：方法(1)原不等式为：-x-30,在直角坐标系中画出函数

y=x-3•的图象(图1).从图象可以看出，当x-3时这条直线上

的点在x轴上方，即这时y=x-30,因此不等式的解集是x-3.

方法(2)把原不等式的两边看着是两个一次函数，•在同一坐

标系中画出直线y=2x+l与y=3x+4(图2),从图象上可以看出

它们的交点的横坐标是x=-3,因此当x-3时，对于同一个x

的值，直线y=2x+l上的点在直线y=3x+4•上相应点的上方，

此时有2x+13x+4,因此不等式的解集是x-3.

(1)(2)

演兵场

1.直线y=x-l上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是()

A.xlB.xlC.xlD.xl

2.已知直线y=2x+k与x轴的交点为(-2,0),则关于x的不等

式2x+k0・的解集是()

A.x-2B.x-2C.x-2D.x-2

3已知关于x的不等式ax己0)的解集是xl,则直线y=ax+l

与x轴的交点是()

A.(0,l)B.(-h0)C.(0,-l)D.(h0)

4.当自变量x的值满足__________时，直线y=x+2上的点

在x轴下方.

5.已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点(2,0),则不等式

x-2-x+2*的解集是.

6.直线y=3x-3与x轴的交点坐标是,则不等式

-3x+912・的解集是________.

7.已知关于x的不等式kx-20)的解集是x-3,则直线y=-kx+2

与x•轴的交点是.

8.已知不等式-x+53x-3的解集是x2,则直线y=-x+5与

y=3x-3・的交点坐标是.

9.某单位需要用车，•准备和一个体车主或一国有出租公司其

中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm,应付给个体车主

的月租费是y元，付给出租车公司的月租费是y元，y,y分

别与x之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，

•观察图象，回答下列问题：

⑴每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出

租车合算？

(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

⑶如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km,♦那么这个

单位租哪家的车合算？

10.在同一坐标系中画出一次函数yl=-x+l与y2=2x-2的图

象，并根据图象回答下列问题：

(1)写出直线yl=-x+l与y2=2x-2的交点P的坐标.

(2)直接写出：当x取何值时ylyl

探究园

12.已知函数yl=kx-2和y2=-3x+b相交于点A(2,-1)

(1)求k、b的值，在同一坐标系中画出两个函数的图象.

⑵利用图象求出：当x取何值时有：①yl

(3)利用图象求出：当x取何值时有：①ylO且y2②ylO且y20

1433一次函数与二元一次方程(组)

学习目标：

1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系。

2.会利用函数图象解二元一次方程组。

3.通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性。

重点：

探索一次函数与二元一次方程（组）的关系

难点：

综合运用方程（组）不等式和函数的知识解决实际问题。

学习过程：

学习准备：

1.已知2x-y=l,用含x的代数式表示y,则y二。

2.方程2x-y=l的解有个。

3.

4.（1,1）是否是直线y=2x-l上的一个点？

综合以上几个问题，你能得到哪些启示?通过上述问题的讨

论，你认为一次函数与二元一次方程有何关系？

探究新知：

L3x+5y=8对应的一次函数（以x为自变量）是。

2.直线y=-x+上任取一点（x,y）则（x,y）一定是方程3x+5y=8

的解吗?为什么？

3.在同一直角坐标系中画出直线y=2x-l与y=-x+的图象，

并思考：

⑴它们有交点吗？

⑵交点的坐标与方程组

(3)当自变量x取何值时，函数y=2x-l与y=-x+的值相等？

这时的函数值是多少？

问题一：一家电信公司给顾客提供上网收费方式：方式A以

每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元

外再以每分0.05元的价格按网时间计费。上网时间为多少

分，两种方式的计费相等?如何选择收费方式能使上网者更合

算。

问题二：

下面有两处移动电话计费方式

全球通神州行

月租费50元/月0

本地通话0.40元/分0.60元/分

你知道如何选择计费方式更省钱吗？

共同归纳：

1.二元一次方程(组)与一次函数的关系。

2.从数和形两个方面去看二元一次方程组。

3.方法：从函数的观点来认识问题、解决问题，图象法解二

元一次方程组。

运用新知：

1、求直线y=3x+9与直线y=2x-7的交点坐标.你有哪些

方法？

2、已知直线y=2x十与直线y=x-2的交点横坐标2,求的

值和交点纵坐标.

3、以方程的解为坐标的所有点都在一次函数的图象

上。

4、方程组的解是_______，由此可知，一次函数与的图象

必有一个交点，且交点坐标是O

5、A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分

别从A、B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，则他

们各自离A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的

一次函数.1小时后乙距离A地80千米;2小时后甲距

离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？

反馈练习：

1.在同一坐标系中画出一次函数yl=-2x+l与y2=2x-3的图

象，并根据图象回答下列问题：

(1)直线yl=2x+l、y2=2x-3与y轴分别交于点A、B,请写

出A、B两点的坐标.

(2)写出直线yl=-2x+l与y2=2x-3的交点P的坐标.

(3)求4PAB的面积.

2.(2019年河北)甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，

所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)的关系如图所示，请根

据图象所提供的信息解答下列问题：

⑴乙队开挖到30m时，用了h,开挖6h时甲队比乙队多挖

了m;

⑵请你求出：

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目

的、有计划