2025版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课时作业新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第1课时基本不等式必备学问基础练1．下列不等式的最小值是4的是()A．y＝t＋eq\f(4,t)B．y＝2t＋eq\f(1,t)C．y＝4t＋eq\f(1,t)(t>0)D．y＝t＋eq\f(1,t)2．设函数y＝4x＋eq\f(1,x)＋3，当x>0时，则y()A．有最大值7B．有最小值7C．有最小值－1D．有最大值－13．[2024·湖南长沙高一期末]函数y＝x＋eq\f(2,x)(x>0)取得最小值时的自变量x等于()A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．1D．34．[2024·广东茂名高一期末]若a，b都为正实数且a＋b＝1，则2ab的最大值是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,2)5．下列不等式中，正确的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4B．a2＋b2≥4abC．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)D．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)6．[2024·辽宁大连高一期末](多选)若ab>0，则下列不等式中恒成立的有()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．(a＋eq\f(1,b))(b＋eq\f(1,a))≥4D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥27．下列条件中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的条件是________．①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.8．若a>0，b>0，且a＋2b＝4，则ab的最大值是________.关键实力综合练1．f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x>0)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1B．eq\f(9,2)C．3D．92．[2024·广东深圳高一期末]已知x>0，则4－2x－eq\f(2,x)的最大值为()A．－2B．－1C．0D．23．若实数a，b满意0<a<b，且a＋b＝1.则下列四个数中最大的是()A．eq\f(1,2)B．a2＋b2C．2abD．a4．[2024·江苏连云港高一期末]函数y＝1－2x2－eq\f(8,x2)的最大值是()A．7B．－7C．9D．－95．若a＞0，b＞0，且a≠b，则()A．eq\f(a＋b,2)<eq\r(ab)<eq\r(\f(a2＋b2,2))B．eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<eq\r(\f(a2＋b2,2))C．eq\r(ab)<eq\r(\f(a2＋b2,2))<eq\f(a＋b,2)D.eq\r(\f(a2＋b2,2))<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)6．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝4.则下列不等式恒成立的是()A．a2＋b2≥8B．eq\r(ab)≥2C．eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)D．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤17．已知正数a、b，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，则ab的最小值为______．8．[2024·广东湛江高一期末]已知a，b均为正数，且2a＋b＝4，则ab的最大值为________，a2＋b2的最小值为________．9．已知y＝x＋eq\f(1,x).(1)已知x＞0，求y的最小值；(2)已知x＜0，求y的最大值．10．已知a、b、c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.核心素养升级练1．[2024·河南开封高一期末]中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满意a＋b＝14，c＝6，则此三角形面积的最大值为()A．6B．6eq\r(10)C．12D．12eq\r(10)2．若a>0，b>0，ab＝a＋b＋15，则ab的最小值为________.3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8.第1课时基本不等式必备学问基础练1．答案：C解析：A.当t>0时，y＝t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4，当且仅当t＝2时，等号成立；当t<0时，y＝t＋eq\f(4,t)＝－(－t＋eq\f(4,－t))≤－2eq\r(（－t）·\f(4,－t))＝－4，当且仅当t＝－2时，等号成立，故A错误；B．当t>0时，y＝2t＋eq\f(1,t)≥2eq\r(2t·\f(1,t))＝2eq\r(2)，当且仅当t＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立；当t<0时，y＝2t＋eq\f(1,t)＝－(－2t＋eq\f(1,－t))≤－2eq\r(（－2t）·（－\f(1,t)）)＝－2eq\r(2)，当且仅当t＝－eq\f(\r(2),2)时，等号成立，故B错误；C．因为t>0，所以y＝4t＋eq\f(1,t)≥2eq\r(4t·\f(1,t))＝4，当且仅当t＝eq\f(1,2)时，等号成立；故C正确；D．当t>0时，y＝t＋eq\f(1,t)≥2eq\r(t·\f(1,t))＝2，当且仅当t＝1时，等号成立；当t<0时，y＝t＋eq\f(1,t)＝－(－t＋eq\f(1,－t))≤－2eq\r(（－t）·\f(1,－t))＝－2，当且仅当t＝－1时，等号成立，故D错误．2．答案：B解析：利用基本不等式，因为x>0，所以y＝4x＋eq\f(1,x)＋3≥2eq\r(4x·\f(1,x))＋3＝7，y≥7.当且仅当x＝0.5时等号成立，故最小值为7.3．答案：A解析：函数f(x)＝x＋eq\f(2,x)，且x>0，可得f(x)＝x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(x·\f(2,x))＝2eq\r(2)，当且仅当x＝eq\f(2,x)，即x＝eq\r(2)时，取得最小值2eq\r(2).4．答案：D解析：因为a，b都为正实数，a＋b＝1，所以2ab≤2×(eq\f(a＋b,2))2＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b，即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)时，2ab取最大值eq\f(1,2).5．答案：C解析：A.当a<0时，a＋eq\f(4,a)<4，故错误；B．因为a2＋b2≥2ab，故错误；C．由基本不等式得x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)，当且仅当x2＝eq\r(3)时，取等号，故正确；D．当a＝1，b＝2时，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，故错误．6．答案：ACD解析：A：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab恒成立，B：当a<0，b<0时，明显ab>0成立，但是a＋b≥2eq\r(ab)不成立，C：因为ab>0，所以(a＋eq\f(1,b))(b＋eq\f(1,a))＝ab＋eq\f(1,ab)＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(ab·\f(1,ab))＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4(当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(a,b),ab＝\f(1,ab)))时取等号)，所以本选项符合题意；D：因为ab>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2(当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)时取等号，即a＝b>0或a＝b<0时取等号)，所以本选项符合题意．7．答案：①③④解析：要使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立，只需eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0即可，此时eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)等号成立，若eq\f(b,a)<0，则不等式不成立，即只需a，b同号即可，故选项①③④满意．8．答案：2解析：∵a>0，b>0，a＋2b＝4，∴4＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，∴ab≤2，当且仅当a＝2b时取等号，即a＝2，b＝1时取等号．关键实力综合练1．答案：C解析：∵x>0，∴由基本不等式得：f(x)＝x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6，当且仅当x＝eq\f(9,x)，即x＝3时，等号成立．2．答案：C解析：x>0时，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2(当且仅当x＝1时等号成立)则4－2x－eq\f(2,x)＝4－2(x＋eq\f(1,x))≤0，即4－2x－eq\f(2,x)的最大值为0.3．答案：B解析：由题知：0<a<b，且a＋b＝1，所以0<a<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)<b<1，故解除D.因为a2＋b2>eq\f(（a＋b）2,2)＝eq\f(1,2)，故解除A.因为a2＋b2>2ab，故解除C.4．答案：B解析：由题意可得函数的定义域为{x|x≠0}，则x2>0，所以y＝1－2x2－eq\f(8,x2)＝1－(2x2＋eq\f(8,x2))≤1－2eq\r(2x2·\f(8,x2))＝－7，当且仅当2x2＝eq\f(8,x2)，即x＝±eq\r(2)时，取等号，所以函数y＝1－2x2－eq\f(8,x2)的最大值是－7.5．答案：B解析：∵a，b∈R＋，且a≠b，∴a＋b＞2eq\r(ab)，∴eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，而eq\f(a2＋b2,2)－eq\f(（a＋b）2,4)＝eq\f(（a－b）2,4)>0，∴eq\f(a＋b,2)<eq\r(\f(a2＋b2,2)).6．答案：AC解析：当a＝1，b＝3时，eq\r(ab)<2，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>1，所以BD选项错误．A，a2＋b2≥eq\f(（a＋b）2,2)＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，A正确．C，0<ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝4，eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，C正确．7．答案：8解析：因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1≥2eq\r(\f(2,ab))，所以ab≥8(当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即a＝2，b＝4时取等号)，故ab的最小值为8.8．答案：2eq\f(16,5)解析：由题意，得4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时等号成立，所以0<ab≤2，所以ab的最大值为2，a2＋b2＝a2＋(4－2a)2＝5a2－16a＋16＝5(a－eq\f(8,5))2＋eq\f(16,5)≥eq\f(16,5)，当a＝eq\f(8,5)，b＝eq\f(4,5)时取等号．9．解析：(1)因为x＞0，所以y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以y＝－[(－x)＋eq\f(1,－x)]≤2eq\r(（－x）·\f(1,－x))＝－2，当且仅当－x＝eq\f(1,－x)，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.10．证明：因为a、b、c都是正数，由基本不等式可得a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，c＋a≥2eq\r(ca)，由不等式的性质可得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2eq\r(ab)×2eq\r(bc)×2eq\r(ca)＝8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，故(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.核心素养升级练1．答案：B解析：由题意得：p＝10，S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)＝eq\r(10（10－a）（10－b）（10－c）)＝eq\r(40（10－a）（10－b）)≤eq\r(40)·eq\f(10－a＋10－b,2)＝3×2eq\r(10)＝6eq\r(10)，当且仅当10－a＝10－b，即a＝b＝7时取等号．2．答案：25解析：因为a>0，b>0，由基本不等式可得ab＝a＋b＋15≥2eq\r(ab)＋15，即ab－2eq\r(ab)－15≥0，解得eq\r(ab)≥5，即ab≥25，当且仅当a＝b时，等号成立，因此，ab的最小值为25.3．证明：∵a