2025版新教材高中数学第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象课时作业新人教A版必修第一册

PAGEPAGE15．4.3正切函数的性质与图象必备学问基础练1．y＝tanx()A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个开区间(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上为增函数D．在每一个闭区间[－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ](k∈Z)上为增函数2．函数f(x)＝eq\f(1,tanx)的定义域是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)，k∈Z))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))D．{x|x≠eq\f(π,2)＋kπ且x≠eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}3．已知函数f(x)＝3tan(ωx－eq\f(π,4))的最小正周期为eq\f(π,2)，则正数ω＝()A．4B．3C．2D．14．函数f(x)＝2tan(－x)是()A．奇函数B．偶函数C．奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数5．函数y＝tanx(－eq\f(π,4)<x<eq\f(π,3))的值域是()A．(－1，1)B．(－1，eq\f(\r(3),3))C．(－1，eq\r(3))D．[－1，eq\r(3)]6．(多选)与函数y＝tan(2x＋eq\f(π,4))的图象相交的直线是()A．x＝eq\f(π,2)B．y＝eq\f(π,2)C．x＝eq\f(π,4)D．x＝eq\f(π,8)7．函数y＝tanπx的周期是________．8．比较大小：tan135°________tan138°(填“＞”或“＜”).关键实力综合练1．函数y＝tan(2x＋eq\f(π,3))的递增区间是()A．(－eq\f(5π,12)＋kπ，eq\f(π,12)＋kπ)(k∈Z)B．(－eq\f(5π,12)＋eq\f(kπ,2)，eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2))(k∈Z)C．(eq\f(π,12)＋kπ，eq\f(7π,12)＋kπ)(k∈Z)D．(－eq\f(2π,3)＋eq\f(kπ,2)，－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2))(k∈Z)2．函数f(x)＝3tanx＋eq\f(1,tanx)(－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)且x≠0)的图象可能是()3．下列各式中正确的是()A．taneq\f(4,7)π>taneq\f(3,7)πB．tan(－eq\f(13,4)π)<tan(－eq\f(17,5)π)C．tan4>tan3D．tan281°>tan665°4．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝eq\f(π,4)所得的线段长为eq\f(π,4)，则f(eq\f(π,4))的值是()A．0B．1C．－1D．eq\f(π,4)5．使得不等式－1≤tanx<eq\r(3)成立的x的取值范围是()A．[－eq\f(π,4)，eq\f(π,3))B．[－eq\f(π,4)，eq\f(4π,3))C．[kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,3))，k∈ZD．[2kπ－eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(π,3))，k∈Z6．[2024·福建宁德高一期末](多选)若函数f(x)＝tan(2x＋eq\f(π,3))，则下列选项正确的是()A．最小正周期是πB．图象关于点(eq\f(π,3)，0)对称C．在区间(eq\f(π,12)，eq\f(7π,12))上单调递增D．图象关于直线x＝eq\f(π,12)对称7．若“∀x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]，tanx≥m”是真命题，则实数m的最大值为________．8．函数f(x)＝tan(eq\f(π,4)－x)的单调减区间为________.9．作出函数y＝|tanx|的图象，并依据图象求其最小正周期和单调区间．10．已知函数f(x)＝3tan(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)探讨f(x)的周期和单调区间．核心素养升级练1．已知函数y＝tanωx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内是减函数，则()A．0<ω≤1B．－1≤ω<0C．ω≥1D．ω≤－12．[2024·海南嘉积中学高一期末]函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]的值域为________．3．是否存在实数a，且a∈Z，使得函数y＝tan(eq\f(π,4)－ax)在x∈(eq\f(π,8)，eq\f(5π,8))上是单调递增的？若存在，求出a的一个值；若不存在，请说明理由．5．4.3正切函数的性质与图象必备学问基础练1．答案：C解析：函数y＝tanx(x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)是周期函数，在每一个开区间(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上为增函数，但在整个定义域上不是单调函数．2．答案：A解析：由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ,tanx≠0))，解得x≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴函数f(x)＝eq\f(1,tanx)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).3．答案：C解析：∵ω>0，∴T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,2)，∴ω＝2.4．答案：A解析：因为f(－x)＝2tanx＝－2tan(－x)＝－f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)＝2tan(－x)是奇函数．5．答案：C解析：因为函数y＝tanx在(－eq\f(π,4)，eq\f(π,3))单调递增，且taneq\f(π,3)＝eq\r(3)；tan(－eq\f(π,4))＝－1，则所求的函数的值域是(－1，eq\r(3)).6．答案：ABC解析：对于A，当x＝eq\f(π,2)时，y＝tan(2×eq\f(π,2)＋eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)＝1，所以直线x＝eq\f(π,2)与函数y＝tan(2x＋eq\f(π,4))交于点(eq\f(π,2)，1)；对于B，由正切函数的图象可知直线y＝eq\f(π,2)与函数y＝tan(2x＋eq\f(π,4))的图象相交；对于C，当x＝eq\f(π,4)时，y＝tan(2×eq\f(π,4)＋eq\f(π,4))＝taneq\f(3π,4)＝－1，所以直线x＝eq\f(π,4)与函数y＝tan(2x＋eq\f(π,4))交于点(eq\f(π,4)，－1)；对于D，当x＝eq\f(π,8)时，y＝tan(2×eq\f(π,8)＋eq\f(π,4))＝taneq\f(π,2)无意义，所以直线x＝eq\f(π,8)与函数y＝tan(2x＋eq\f(π,4))的图象无交点．7．答案：1解析：因为正切函数的最小正周期为π，所以y＝tanπx的周期为T＝eq\f(π,|ω|)＝eq\f(π,π)＝1.8．答案：<解析：因为函数y＝tanx在(eq\f(π,2)，π)上为递增函数，且135°<138°，所以tan135°<tan138°.关键实力综合练1．答案：B解析：由－eq\f(π,2)＋kπ<2x＋eq\f(π,3)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得－eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＋kπ<2x<eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,12)＋eq\f(kπ,2)<x<eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以函数的递增区间为(－eq\f(5π,12)＋eq\f(kπ,2)，eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2))(k∈Z).2．答案：D解析：因为y＝tanx是奇函数，所以f(x)＝3tanx＋eq\f(1,tanx)(－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2)且x≠0)是奇函数，因此B，C不正确，又因为f(x)＝3tanx＋eq\f(1,tanx)(0<x<eq\f(π,2))时函数值为正，所以A不正确．3．答案：C解析：已知正切函数y＝tanx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))和(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))上单调递增，∵taneq\f(4,7)π＝tan(π－eq\f(3,7)π)＝tan(－eq\f(3,7)π)，且－eq\f(3,7)π<eq\f(3,7)π，∴taneq\f(4,7)π<taneq\f(3,7)π，故A错；∵tan(－eq\f(13,4)π)＝tan(－eq\f(π,4)－3π)＝tan(－eq\f(π,4))，tan(－eq\f(17,5)π)＝tan(－eq\f(2π,5)－3π)＝tan(－eq\f(2π,5))，且－eq\f(π,4)>－eq\f(2π,5)，∴tan(－eq\f(13,4)π)>tan(－eq\f(17,5)π)，故B错；∵eq\f(π,2)<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴tan4>0>tan3，故C对；∵tan281°＝tan(360°－79°)＝tan(－79°)，tan665°＝tan(720°－55°)＝tan(－55°)，且－90°<－79°<－55°<0°，∴tan281°<tan665°，故D错．4．答案：A解析：由题意，得T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝4.∴f(x)＝tan4x，f(eq\f(π,4))＝tanπ＝0.5．答案：C解析：由不等式－1≤tanx<eq\r(3)，依据正切函数的图象与性质，可得kπ－eq\f(π,4)≤x<kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即实数x的取值范围是[kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(π,3))，k∈Z.6．答案：BC解析：函数y＝tan(2x＋eq\f(π,3))，函数的最小正周期为eq\f(π,2)，A错误；令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)⇒x＝eq\f(kπ,4)－eq\f(π,6)，k∈Z，当k＝2时，x＝eq\f(π,3)，图象关于点(eq\f(π,3)，0)对称，B正确；因为kπ－eq\f(π,2)<2x＋eq\f(π,3)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x∈(eq\f(kπ,2)－eq\f(5π,12)，eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12))，当k＝1时，x∈(eq\f(π,12)，eq\f(7π,12))，所以在区间(eq\f(π,12)，eq\f(7π,12))上单调递增，C正确；又正切函数不具有对称轴，所以D错误．7．答案：－eq\r(3)解析：若“∀x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]，tanx≥m”是真命题，则实数m小于等于函数y＝tanx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]的最小值，因为函数y＝tanx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]上为增函数，所以函数y＝tanx在[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]上的最小值为－eq\r(3)，所以m≤－eq\r(3)，即实数m的最大值为－eq\r(3).8．答案：(kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3π,4))，k∈Z解析：因为f(x)＝tan(eq\f(π,4)－x)＝－tan(x－eq\f(π,4))，所以原题即求函数y＝tan(x－eq\f(π,4))的单调增区间．由kπ－eq\f(π,2)<x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z得kπ－eq\f(π,4)<x<kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z，即函数f(x)＝tan(eq\f(π,4)－x)的单调减区间为(kπ－eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3π,4))，k∈Z.9．解析：y＝|tanx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanx，x∈[kπ，kπ＋\f(π,2)），k∈Z,－tanx，x∈（kπ－\f(π,2)，kπ），k∈Z))，其图象如图所示．由图象可知，函数y＝|tanx|的最小正周期T＝π，单调增区间为[kπ，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)；单调减区间为(kπ－eq\f(π,2)，kπ](k∈Z).10．解析：(1)∵函数f(x)＝3tan(eq\f(1,2)x－eq\f(π,3))，∴eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x≠2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z；∴f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z}，值域为R.(2)∵T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π，∴f(x)的最小正周期是2π；又令－eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(1,2)x－eq\f(π,3)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴－eq\f(π,3)＋2kπ<x<eq\f(5π,3)＋2kπ，k∈Z，∴f(x)的单调增区间为(－eq\f(π,3)＋2kπ，eq\f(5π,3)＋2kπ)，k∈Z.核心素养升级练1．答案：B解析：由x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，可得ωx∈(－eq\f(|ω|π,2)，eq\f(|ω|π,2))，由题意函数y＝tanωx在(－e