新课标2025版高考数学一轮总复习课时质量评价60条件概率与全概率公式

PAGEPAGE7课时质量评价(六十)A组全考点巩固练1．(2024·宜宾期末)某地气象局统计，当地某日刮风的概率为eq\f(4,5)，既刮风又下雨的概率为eq\f(1,2)，则该地在刮风天里，下雨的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(5,8)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)B解析：由题意，记“该地区刮风”为事务A，“该地区下雨”为事务B，则P(A)＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(1,2)，所以该地在刮风天里，下雨的概率为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,2),\f(4,5))＝eq\f(5,8)．2．某乒乓球训练馆运用的球是A，B，C三种不同品牌标准竞赛球，依据以往运用的记录数据：品牌名称合格率购买球占比A98%0.2B99%0.6C97%0.2若这些球在盒子中是匀称混合的，且无区分的标记，现从盒子中随机地取一只球用于训练，则它是合格品的概率为()A．0.986 B．0.984C．0.982 D．0.980B解析：将A，B，C分别记为第1，第2，第3个品牌，设事务Mi表示“取到的球是第i个品牌(i＝1,2,3)，事务N表示“取到的是一个合格品”，其中M1，M2，M3两两互斥，所以P(N)＝P(M1N)＋P(M2N)＋P(M3N)＝P(M1)P(N|M1)＋P(M2)P(N|M2)＋P(M3)P(N|M3)＝0.98×0.2＋0.99×0.6＋0.97×0.2＝0.984，所以它是合格品的概率为0.984．故选B．3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为()A．0.625 B．0.75C．0.5 D．0A解析：用A表示事务“考生答对了”，用B表示事务“考生知道正确答案”，用eq\x\to(B)表示事务“考生不知道正确答案”，则P(B)＝0.5，P(eq\x\to(B))＝0.5，P(A|B)＝1，P(A|eq\x\to(B))＝0.25，则P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))·P(eq\x\to(B))＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625．4．为适应人民币流通运用的发展改变，提升人民币整体防伪实力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2024年版第五套人民币50元、20元、10元、1元纸币和1元、5角、1角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有4张假钞的10张50元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,5)B解析：设事务A表示“两张都是假钞”，事务B表示“两张中至少有一张是假钞”，则P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(2,3)，所以P(Aeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(B)))＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(\f(2,15),\f(2,3))＝eq\f(1,5)，所以所求概率为eq\f(1,5)．5．甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，其次个路口遇到红灯的概率为________．0.6解析：设第一个路口遇到红灯为事务A，其次个路口遇到红灯为事务B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.3，所以P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(0.3,0.5)＝0.6，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，其次个路口遇到红灯的概率为0.6．6．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是．eq\f(11,27)解析：设A＝“从2号箱中取出的是红球”，B＝“从1号箱中取出的是红球”，则P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)，P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝P(AB∪Aeq\x\to(B))＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27)．7．甲、乙两班进行消防平安学问竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮竞赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，乙队每人答对的概率都是eq\f(2,3)．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．解：(1)P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(11,24)．(2)P(ξ＝1)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)．设“甲队和乙队得分之和为4”为事务A，“甲队比乙队得分高”为事务B，则P(A)＝eq\f(1,4)×Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\UP12(3)＋eq\f(11,24)×Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\UP12(2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\UP12(2)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,4)×Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\UP12(2)＝eq\f(1,18)，所以P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,18),\f(1,3))＝eq\f(1,6)．8．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，其次台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比其次台加工的零件多一倍．(1)求随意取出的零件是合格品的概率；(2)假如随意取出的零件是废品，求它是其次台车床加工的概率．解：设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．(1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)＝eq\f(2,3)×(1－0.03)＋eq\f(1,3)×(1－0.02)≈0.973．(2)P(A2|B)＝eq\f(P(A2B),P(B))＝eq\f(P(A2)P(B|A2),P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2))＝eq\f(\f(1,3)×0.02,\f(2,3)×0.03＋\f(1,3)×0.02)＝0.25．B组新高考培优练9．学校有A，B两个餐厅，假如王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是eq\f(3,4)，假如他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是eq\f(1,4)．若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是eq\f(3,4)，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是()A．eq\f(3,8) B．eq\f(5,8)C．eq\f(7,16) D．eq\f(9,16)B解析：设A1表示早餐去A餐厅用餐，B1表示早餐去B餐厅用餐，A2表示午餐去A餐厅用餐，且P(A1)＋P(B1)＝1，依据题意得P(A1)＝eq\f(3,4)，P(B1)＝eq\f(1,4)，P(A2|A1)＝eq\f(3,4)，P(A2|B1)＝eq\f(1,4)，由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)·P(A2|B1)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,8)．故选B．10．(多选题)(2024·滨州二模)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现宏大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史学问的了解，某单位组织开展党史学问竞赛活动，以支部为单位参与竞赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事务A为“第1次抽到选择题”，事务B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(AB)＝eq\f(3,10)C．P(B|A)＝eq\f(1,2) D．P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)ABC解析：对于A，P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，故选项A正确．对于B，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，故选项B正确．对于C，P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2)．故选项C正确．对于D，P(eq\x\to(A))＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)，所以P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(P(\x\to(A)B),P(\x\to(A)))＝eq\f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq\f(3,4)，故选项D错误．11．(2024·肇庆期末)从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这10个数中不放回地依次取2个数，事务A为“第一次取到的数是偶数”，事务B为“其次次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2,5)D解析：依据题意，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这10个数中，有5个偶数，则P(A)＝eq\f(1,2)，事务A∩B为“第一次取到的数是偶数且其次次取到的数是3的整数倍”，若第一次取到的数为6或12，则其次次有3种状况；若第一次取到的数为4,8,10，则其次次有4种状况，则事务A∩B共有2×3＋3×4＝18种状况．所以P(A∩B)＝eq\f(18,10×9)＝eq\f(1,5)，故P(B|A)＝eq\f(P(A∩B),P(A))＝eq\f(2,5)．12．(多选题)甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事务；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事务，则下列结论正确的是()A．A1，A2两两互斥B．P(B|A2)＝eq\f(2,3)C．事务B与事务A2相互独立D．P(B)＝eq\f(9,14)AD解析：因为每次取一球，所以A1，A2是两两互斥的事务，故A项正确；因为P(A1)＝P(A2)＝eq\f(1,2)，P(B|A2)＝eq\f(P(BA2),P(A2))＝eq\f(5,7)，故B项错误；又P(B|A1)＝eq\f(P(BA1),P(A1))＝eq\f(4,7)，所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝eq\f(1,2)×eq\f(4,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(5,7)＝eq\f(9,14)，故D项正确．从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生改变，所以事务B与事务A2不相互独立，故C项错误．13．有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中随意摸出一球，取得红球的概率为________．eq\f(8,15)解析：记Ai＝“球取自i号箱”，B＝”取得红球”，B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，即B＝A1B＋A2B＋A3B，且A1B，A2B，A3B两两互斥，则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)两两互斥，即P(B)＝P(B|Ai)，代入数据计算得P(B)＝eq\f(8,15)．14．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，选择2人参与学校举办的文艺汇演活动．(1)求男生甲被选中的概率；(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；(3)在要求被选中的两人中必需一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．解：(1)从6名成员中选择2名成员，共有15种状况，记“男生甲被选中”为事务A，事务A所包含的样本点数为5个，故P(A)＝eq\f(1,3)．(2)记“男生甲被选中”为事务A，“女生乙