备战2023年湖南长沙中考数学仿真卷(三)(原卷版+解析)

备战2023年湖南长沙中考数学仿真卷（三）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）实数是2022的A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确2．（3分）下列运算正确的是A． B． C． D．3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A． B． C． D．4．（3分）2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图形是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是A． B． C． D．5．（3分）如图，直线、被直线、所截，若，，则的度数为A． B． C． D．6．（3分）如图，点、、是上的三点，，则的度数是A． B． C． D．7．（3分）下列说法中，正确的是A．为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行全面调查 B．一组数据，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7 C．明天的降水概率为，则明天的时间下雨 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为3米，则自动扶梯的长约为，，A．5米 B．4.5米 C．4米 D．3.75米9．（3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为步，则可列方程为A． B． C． D．10．（3分）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间（秒变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是A． B． C． D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：．12．（3分）若关于的方程有一个解是1，则的值是．13．（3分）某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是．14．（3分）如表显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．抛掷次数300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次数1372333354415446507498529461004“正面向上”的频率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502估计此次实验硬币“正面向上”的概率是．15．（3分）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为．16．（3分）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：演员1演员2演员3演员4演员5演员6演员7演员8节目节目节目节目节目节目从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是，，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：，其中．19．（6分）已知：如图，直线，和直线外一点．求作：过点作直线，使得，作法：①在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；②连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；③作直线．直线即为所求作．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接．，．（填推理依据）．直线直线．20．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．21．（8分）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，主题口号一起向未来倡导追求团结、和平、进步、包容的共同目标，是更快、更高、更强、更团结奥林匹克精神的中国宣扬，表达了世界需要携手走向美好未来的共同愿望．某商店购进了一批冬奥商品共100件（两种商品均有购进），每件型商品的进价比每件型商品的进价多30元；5件型商品进价比6件型商品进价总额多50元．（1）求每件型冬奥商品和型冬奥商品的进价；（2）若商店出售型商品的售价为160元件，型商品的售价为120元件，为了庆祝中国奥运健儿夺金，商店决定将型商品的售价下调元，型商品的售价不变，且购进型商品的数量不少于型商品数量的三分之一，请求出该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案．22．（9分）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点垂直于的直线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）如图，，求的直径．23．（9分）在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为雅对称，其中一点叫做另一点的雅点．如点，互为雅对称，在平面直角坐标系中，点的坐标为．（1）直线上是否存在点的雅对称点？若存在，求出点的雅点，若不存在，请说明理由．（2）若点的雅点恰好落在反比例函数的图象上，且的面积为3，求的值；（3）抛物线上恰有两个点与点互为雅对称，且这两个点之间的距离不超过6，请求出的取值范围．24．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线对称，则把该函数称为“函数”，其图象上关于直线对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题：（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”①；②；③．（2）关于的函数是常数）是“函数”吗？如果是，写出距离为的一对“点”坐标；如果不是，请说明理由；（3）若关于的“函数”，，是常数，的一对“点”，、分别位于轴、轴上，求同时满足下列两个条件的“函数”的解析式：①该“函数”截轴所得的线段长为2；②该“函数”截直线所得的线段长为．25．（10分）已知中，，，，点是边上一点（点不与、重合），过点作，垂足为点，过点作交直线于点，连接，过点作，垂足为点．（1）如图1，①求的长；②设，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）如图2，延长交于点，若，求的值（用表示）．备战2023年湖南长沙中考数学仿真卷（三）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）实数是2022的A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确答案:【详解】和2022互为相反数，故选：．2．（3分）下列运算正确的是A． B． C． D．答案:【详解】，故不符合题意；，故不符合题意；，故符合题意；，故不符合题意；故选：．3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A． B． C． D．答案:【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：．4．（3分）2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，北京是唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市．下列4个图形是四届冬奥会的部分图标，属于轴对称图形的是A． B． C． D．答案:【详解】选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：．5．（3分）如图，直线、被直线、所截，若，，则的度数为A． B． C． D．答案:【详解】如图，，，，，故选：．6．（3分）如图，点、、是上的三点，，则的度数是A． B． C． D．答案:【详解】对的圆心角为，对的圆周角为，，，故选：．7．（3分）下列说法中，正确的是A．为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行全面调查 B．一组数据，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7 C．明天的降水概率为，则明天的时间下雨 D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定答案:【详解】．为了保证大家端午节吃上放心的粽子，质监部门对长沙市市场上的粽子质量实行抽样调查，原说法错误，故此选项不符合题意；．一组数据，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是5，原说法错误，故此选项不符合题意；．明天的降水概率为，则明天不一定会下雨，原说法错误，故此选项不符合题意；．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，原说法正确，故此选项符合题意；故选：．8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为3米，则自动扶梯的长约为，，A．5米 B．4.5米 C．4米 D．3.75米答案:【详解】在中，，则（米，故选：．9．（3分）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为步，则可列方程为A． B． C． D．答案:【详解】长为步，宽比长少12步，宽为步．依题意，得：．故选：．10．（3分）图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间（秒变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是A． B． C． D．答案:【详解】由图象可知：，，当时，即点运动了，此时点在线段上，，则点为的中点，又因为，所以．所以图（2）中的坐标为．故选：．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：．答案:【详解】原式．故答案为：．12．（3分）若关于的方程有一个解是1，则的值是．答案:4【详解】依题意，当时，原方程为，解得．故答案为：4．13．（3分）某圆锥的母线长是2，底面半径是1，则该圆锥的侧面积是．答案:【详解】圆锥的侧面积，故答案为：．14．（3分）如表显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．抛掷次数300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次数1372333354415446507498529461004“正面向上”的频率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502估计此次实验硬币“正面向上”的概率是．答案:0.500【详解】观察表格发现：随着试验次数的增多，“正面向上”的频率逐渐稳定在常数0.500附近，所以估计此次实验硬币“正面向上”的概率是0.500，故答案为：0.500．15．（3分）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为．答案:，【详解】以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，，点的坐标为，，即，，故答案为：，．16．（3分）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：演员1演员2演员3演员4演员5演员6演员7演员8节目节目节目节目节目节目从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是，，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．答案:【详解】由题意得，首尾两个节目分别是，，节目参演演员有1、3、5、6、8，节目参演演员有5、7，由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目，第三个节目为不含2、7的节目，即节目或，第五个节目为不含5、7的节目，即节目或，所以，可确定第四个节目为节目，综上，演出顺序为节目或．故答案为：．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．答案:见解析【详解】原式．18．（6分）先化简，再求值：，其中．答案:见解析【详解】原式，当时，原式．19．（6分）已知：如图，直线，和直线外一点．求作：过点作直线，使得，作法：①在直线上取点，以点为圆心，长为半径画圆，交直线于，两点；②连接，以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点；③作直线．直线即为所求作．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接．，．（填推理依据）．直线直线．答案:见解析【详解】（1）如图，直线即为所求作．（2）证明：连接．，，（同弧或等弧所对的圆周角相等），直线直线．故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等．20．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．答案:（1）1，2；（2）72；（3）见解析；（4）【详解】（1）本次调查的人数为：（人，读2部的学生有：（人，故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部，故答案为：1，2；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，故答案为：72；（3）由（1）知，读2部的学生有6人，补全的条形统计图如图所示；（4）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母、、、表示，树状图如下图所示：一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，故他们恰好选中同一名著的概率是，即他们恰好选中同一名著的概率是．21．（8分）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，主题口号一起向未来倡导追求团结、和平、进步、包容的共同目标，是更快、更高、更强、更团结奥林匹克精神的中国宣扬，表达了世界需要携手走向美好未来的共同愿望．某商店购进了一批冬奥商品共100件（两种商品均有购进），每件型商品的进价比每件型商品的进价多30元；5件型商品进价比6件型商品进价总额多50元．（1）求每件型冬奥商品和型冬奥商品的进价；（2）若商店出售型商品的售价为160元件，型商品的售价为120元件，为了庆祝中国奥运健儿夺金，商店决定将型商品的售价下调元，型商品的售价不变，且购进型商品的数量不少于型商品数量的三分之一，请求出该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案．答案:（1）每件型冬奥商品的进价为130元，每件型冬奥商品的进价为100元；（2）见解析【详解】（1）设每件型冬奥商品的进价为元，每件型冬奥商品的进价为元，依题意得：，解得：．答：每件型冬奥商品的进价为130元，每件型冬奥商品的进价为100元．（2）设购进型商品件，则购进型商品件，依题意得：，解得：．设该商店将100件冬奥商品全部售出后获得的利润为元，则．当，即时，随的增大而增大，此时该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进99件型商品，1件型商品；当，即时，的值与的值无关，该商店购进这批商品获得的利润不变；当，即时，随的增大而减小，此时该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进25件型商品，75件型商品．答：当时，该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进99件型商品，1件型商品；当时，该商店购进这批商品获得的利润不变；当时，该商店购进这批商品获得最大利润的进货方案为：购进25件型商品，75件型商品．22．（9分）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点垂直于的直线交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）如图，，求的直径．答案:（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，如图所示：为的平分线，，又，，，，，又，即，，则为圆的切线；（2）解：连接，如图所示，为圆的直径，，在中，，在中，，，，又，，则，即圆的直径为．23．（9分）在平面直角坐标系中，若两点的纵坐标互为相反数，横坐标不相等，则称这两点互为雅对称，其中一点叫做另一点的雅点．如点，互为雅对称，在平面直角坐标系中，点的坐标为．（1）直线上是否存在点的雅对称点？若存在，求出点的雅点，若不存在，请说明理由．（2）若点的雅点恰好落在反比例函数的图象上，且的面积为3，求的值；（3）抛物线上恰有两个点与点互为雅对称，且这两个点之间的距离不超过6，请求出的取值范围．答案:（1）见解析；（2）8或；（3）且或【详解】（1）存在，由雅对称点的定义可得，点的雅对称点的纵坐标为．将代入得，．解得，存在，点的雅点为；（2）由题意得，点的纵坐标为，设，当时，分别过点、作轴，作轴，、交于点，由题意得，，，，，，即．解得，，代入反比例函数得；当时，分别过点、作轴于，作轴于，由题意得，，．，，即，解得，，代入反比例函数得．综上，的值为8或；（3）令，则，，抛物线上恰有两个点与点关于轴纵对称，△，，设两个点的横坐标分别为、，，，，，，，①当时，，且，解得，且，；与点关于轴纵对称，这两个点不能是，将代入得，，解得，，且；②当时，，且，解得，且，；综上，的取值范围为且或．24．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线对称，则把该函数称为“函数”，其图象上关于直线对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题：（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”