专题18【五年中考+一年模拟】几何压轴题-备战2023年宁波中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题18几何压轴题1．(2023•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．2．(2023•宁波）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点在上，．求证：平分．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连结交于点．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，．若，，，求的长．3．(2023•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，为上一点，为延长线上一点，．若，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，求菱形的边长．4．(2023•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．5．(2023•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；（2）如图1，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值．6．(2023•镇海区一模）【基础巩固】（1）如图1，为等腰直角三角形，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，在中，，分别在直角边，上，，，求．7．(2023•宁波模拟）【证明体验】（1）如图①，在和中，，，，连接，．求证：；【思考探究】（2）如图②，在①的条件下，若，，，，求的长；【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，，，求的值．8．(2023•北仑区一模）【根底巩固】（1）如图，在中，为上一点，．求证：．【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，分别为，上的点，且，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点．若，，．求：①的长；②的长．【拓展进步】（3）如图3，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值．9．(2023•宁波模拟）【证明体验】（1）如图，中，，是延长线上一点，连结，为的中点，为的中点，连结．求证：．【思考探究】（2）如图（2），在（1）的条件下，设交干点．若为的中点，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图③，在菱形中，对角线，相交于点，是边的中点，在上，，连结交于点．是的中点，连结并延长交边于点，若，求菱形的周长．10．(2023•宁波一模）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点、的坐标分别为、，求直线的解析式；（2）如图2，直线与双曲线交于点、，点是双曲线上的一个动点，点、的横坐标分别为、，直线、分别与轴于点、；①求证：直线与直线为“等腰三角线”；②过点作轴的垂线，在直线上存在一点，连结，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）．11．(2023•北仑区二模）如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补．那么这两个三角形叫做互补三角形，如图1．是的中线，则和就是互补三角形．（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”①互补三角形一定不全等．命题②互补三角形的面积相等．命题（2）如图2，和为互补三角形，，，是的中线．求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，，三点共线，连结，，四边形为圆内接四边形，当时，求的值．12．(2023•鄞州区模拟）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．①求证：；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．13．(2023•海曙区一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．（1）若，是的倍余角，则的度数为；若，是的倍余角，则的度数为；（用的代数式表示）（2）如图1，在中，，在上截取，在上截取．求证：是的倍余角；（3）如图2，在（2）的情况下，作交于点，将沿折叠得到，交于点，若，设，求的度数．14．(2023•宁波模拟）证明体验（1）如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：．思考探究（2）如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长．拓展延伸（3）如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．15．(2023•海曙区校级一模）【证明体验】（1）如图1，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，．求证：．【思考探究】（2）如图2，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．16．(2023•鄞州区校级一模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是（填序号）；①矩形②菱形③正方形（2）如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，，且．①当时，求的长度；②当的长度最小时，请直接写出的值．17．(2023•江北区一模）项目化学习：车轮的形状．【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理？【合作探究】（1）探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为．（2）探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心最高点与最低点的高度差．（3）探究组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．（4）探究组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有“最高点”，“中心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是．延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．18．(2023•镇海区校级模拟）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．（1）如图1，在“对角互余四边形”中，，，，，，求四边形的面积．（2）如图2，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”；（3）在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求的值．（结果用带有，的代数式表示）19．(2023•宁波模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是；②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则（填“是”或“不是”的一条二分线．（2）如图2，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接．求证：是四边形的二分线．（3）如图3，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．20．(2023•宁波模拟）【基础巩固】（1）如图①，在中，于点，若，，求的值；【尝试应用】（2）如图②，点在的边上，满足．求证：；【拓展提高】（3）如图③，已知点为斜边上一点，过点作的垂线，交于点，点在的中垂线上，连结，若，求证：．21．(2023•鄞州区一模）如图1，平行四边形中，，，点是边上的点，连结，以为对称轴作的轴对称图形．（1）如图2，当点正好落在边上时，判断四边形的形状并说明理由；（2）如图1，当点是线段的中点且时，求的长；（3）如图3，当点，，三点共线时，恰有，求的长．22．(2023•慈溪市一模）证明体验（1）如图1，在和中，点、、在同一直线上，，求证：．（2）如图2，图3，，点线段上的点，，，连结，为中点，将线段绕点顺时针旋转至，连结．思考探究①如图2，当时，求的长．拓展延伸②如图3，点是延长线上一点，且，连结，，求的长．23．(2023•镇海区二模）基础巩固（1）如图1，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．求证：；尝试应用（2）如图2，在（1）的条件下，连结，若交于点，已知，．求线段的长；拓展提高（3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交边于点，若，，求的长．24．(2023•余姚市一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形．（1）已知是和谐三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长．（2）在中，，，为边上一点，，连结，若为和谐三角形，求的长．（3）如图，在等腰中，，为的中点，且，为上一点，满足，连结，求证：为和谐三角形．25．(2023•江北区模拟）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．（1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，求证：．（2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：；（3）在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转，点旋转到点，点旋转到点，当旋转到如图3的位置时，，，三点共线，恰好是的相似分割线，求值．26．(2023•宁波模拟）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，交于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求的值．27．(2023•宁波模拟）定义：若四边形有一组对角的差为，则称这个四边形为余角四边形．（1）判断命题：“有一个内角为的圆内接四边形是余角四边形”是真命题还是假命题？（2）在网格中，，是如图①，②所示的格点（小正方形的顶点），分别在图①，图②中各画一个互不全等的格点四边形，使它是一个余角四边形．（3）如图③，在中，，，分别是，上的点，且．①求证：四边形为余角四边形．②若，求的值．28．(2023•宁波模拟）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足，则称点为线段的点，但点不是线段的点．（1）如图1，在中，，，若点是线段的点，求的长．（2）如图2，在中，是边上一点，连结，若点分别是线段，线段的点，求证：点是线段的点．（3）如图3，在菱形中，，，点，分别是，上的点，且满足，连结．若点是线段的点，求的长．29．(2023•宁波模拟）【基础巩固】（1）如图①，在四边形中，，，求证：；【尝试应用】（2）如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，，求的长；【拓展提高】（3）如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，，求的长．30．(2023•长春一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．（1）判断：一个内角为的菱形等距四边形．（填“是”或“不是”（2）如图2，在的网格图中有、两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出、两个格点，使得以、、、为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为端点均为非等距点的对角线长为（3）如图1，已知与都是等腰直角三角形，，连接，，，若四边形是以为等距点的等距四边形，求的度数．31．(2023•鄞州区校级三模）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，为上一点，当时，与是偏等积三角形；问题探究：（2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度；问题解决：（3）如图3，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，．①与是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知，的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．32．(2023•鄞州区模拟）定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友谊四边形”，这条对角线称为“友谊线”．我们熟知的平行四边形就是“友谊四边形”．（1）如图1，中，，，，若存在四边形是友谊四边形，且是友谊线，请直接写出所有可能的值．（2）如图2，四边形中，平分，若，，求证：四边形是“友谊四边形”．（3）如图3，平面直角坐标系中，、分别是轴和轴上的点，且，，若点是直线在第一象限上的一点，且是四边形的“友谊线”，求四边形的面积．33．(2023•海曙区校级三模）【证明体验】（1）如图（1），在中，，平分交于，点在上，，连结，求证：．【思考探究】（2）如图（2），在（1）的条件下，过点作交于点，交于点，若，，求的长．【拓展延伸】（3）如图（3），在四边形中，，且，若，，求的长．专题18几何压轴题1．(2023•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求的值．【拓展提高】（3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交于点，交于点．若，平分，，求的长．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：，，，，，，，；（2）解：，，，，，；（3）解：延长交于，连接，过点作于，四边形为平行四边形，，，，，，，在中，，，平分，，，，，，，，，，．2．(2023•宁波）【证明体验】（1）如图1，为的角平分线，，点在上，．求证：平分．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连结交于点．若，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，．若，，，求的长．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图1，平分，，，，，，，，平分．（2）如图2，，；，，；，，，（3）如图3，在上取一点，使，连结．平分，，，，，，，，，即，，即，，，，，，；，，，（公共角），，，，，．3．(2023•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在中，为上一点，．求证：．【尝试应用】（2）如图2，在中，为上一点，为延长线上一点，．若，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，是上一点，是内一点，，，，，，求菱形的边长．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：，，，，．（2）四边形是平行四边形，，，又，，又，，，，，．（3）如图，分别延长，相交于点，四边形是菱形，，，，四边形为平行四边形，，，，，，，又，，，，又，，，又，，．4．(2023•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在中，，是的角平分线，，分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形．（2）如图2，在的方格纸中，，在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，，在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取中点，连接并延长交于点，延长交于点．若为的中点，，，求邻余线的长．答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）10【详解】（1），是的角平分线，，，，与互余，四边形是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形为所求；（3），是的角平分线，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，．5．(2023•宁波）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长；（2）如图1，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形．（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值．答案:（1）当或或时，是比例三角形；（2）见解析；（3）【详解】（1）是比例三角形，且、，①当时，得：，解得：；②当时，得：，解得：；③当时，得：，解得：（负值舍去）；所以当或或时，是比例三角形；（2），，又，，，即，，，平分，，，，，是比例三角形；（3）如图，过点作于点，，，，，，，又，，，即，，又，，．6．(2023•镇海区一模）【基础巩固】（1）如图1，为等腰直角三角形，，求证：．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，在中，，分别在直角边，上，，，求．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；（2）解：如图2中，过点作于点．，四边形是矩形，，，，，，，，，设，则，在中，，，解得或舍去），；（3）解：如图3中，过点作，在上截取使得，连接，，作的角平分线交的延长线于点．设，，．，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，整理得，（负值已经舍去），．7．(2023•宁波模拟）【证明体验】（1）如图①，在和中，，，，连接，．求证：；【思考探究】（2）如图②，在①的条件下，若，，，，求的长；【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，，，求的值．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图①中，，，在和中，，，；（2）解：如图2中，，，，，，可以假设，，，，，，解得，（负根已经舍去），，，；（3）解：如图③中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，，，，，，，，，，，，．8．(2023•北仑区一模）【根底巩固】（1）如图，在中，为上一点，．求证：．【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，分别为，上的点，且，射线交的延长线于点，射线交的延长线于点．若，，．求：①的长；②的长．【拓展进步】（3）如图3，在菱形中，，，以点为圆心作半径为3的圆，其中点是圆上的动点，请直接写出的最小值．答案:（1）见解析；（2）①6；②；（3）【详解】（1）证明：如图1，，，，，．（2）①解：如图2，连接，四边形是菱形，，，，，即，，，，，，，，，，，，，，，②四边形是菱形，，，，，即，，，，，由①知：，，，即，，；（3）如图3，在上截取，，，，，，，当、、共线时，最小，此时在处，作，交的延长线于，在中，，，，，在中，，，，．9．(2023•宁波模拟）【证明体验】（1）如图，中，，是延长线上一点，连结，为的中点，为的中点，连结．求证：．【思考探究】（2）如图（2），在（1）的条件下，设交干点．若为的中点，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图③，在菱形中，对角线，相交于点，是边的中点，在上，，连结交于点．是的中点，连结并延长交边于点，若，求菱形的周长．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图①中，连接．，，，，，；（2）解：如图②中，连接．是的中点，是的中点，，，，，，，，，，，设，则，，，解得或（舍去），；（3）解：如图③中，四边形是菱形，，，，是的中点，，，，，设菱形的边长为，，，，解得，菱形的周长．10．(2023•宁波一模）对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则．（1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点、的坐标分别为、，求直线的解析式；（2）如图2，直线与双曲线交于点、，点是双曲线上的一个动点，点、的横坐标分别为、，直线、分别与轴于点、；①求证：直线与直线为“等腰三角线”；②过点作轴的垂线，在直线上存在一点，连结，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）．答案:（1）；（2）①见解析；②【详解】（1）解：过点作轴于点，，轴，，，，在中，，，是等腰三角形，，，，设直线的解析式为：，把，分别代入得，解得，直线的解析式为：．（2）①证明：把代入得，，或．经检验，或都是原方程的根，当时，，当时，，，，点在上，点的横坐标为，．设直线的解析式为：，把，分别代入得，，解得．直线的解析式为：，令，则，，，，设直线的解析式为：，把和分别代入得，，解得．直线的解析式为：．令，则，解得．．，直线和直线为“等腰三角线”．②解：过点作轴于点，过点作于点，由①可知，，，，，，，，，，，，，，在中，．，，，即，，．11．(2023•北仑区二模）如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补．那么这两个三角形叫做互补三角形，如图1．是的中线，则和就是互补三角形．（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”①互补三角形一定不全等．命题②互补三角形的面积相等．命题（2）如图2，和为互补三角形，，，是的中线．求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，若，，三点共线，连结，，四边形为圆内接四边形，当时，求的值．答案:（1）①假；②真；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：①如图1，，，，和是互补三角形，，故①答案为：假；②如图2，和是互补三角形，，，，作于，于，，，，，，，，，故②得答案为：真；（2）证明：如图3，延长至，是，连接，，，，，，，，在和中，，，，；（3）解：如图3，作于，设，，，，，，，，设，，，，，，，是等边三角形，，，，垂直平分，，，，在中，，，，．12．(2023•鄞州区模拟）（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．①求证：；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．答案:（1）①见解析；②1；（2）见解析；（3）【详解】（1）①证明：四边形是正方形，，．．，．．，．②解：结论：．理由：，，，，四边形是平行四边形，，，，．故答案为1．（2）解：结论：．理由：如图2中，作于．，，，，，，，，四边形是矩形，，．（3）解：如图2中，作交的延长线于．，，，，可以假设，，，，，，，或（舍弃），，，，，，，，，，，，，，，，，．13．(2023•海曙区一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角．（1）若，是的倍余角，则的度数为；若，是的倍余角，则的度数为；（用的代数式表示）（2）如图1，在中，，在上截取，在上截取．求证：是的倍余角；（3）如图2，在（2）的情况下，作交于点，将沿折叠得到，交于点，若，设，求的度数．答案:（1），；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：，是的倍余角，；，是的倍余角，，故答案为：，；（2）证明：，，，，，；，，是的倍余角；（3）是的倍余角，，，，，，将沿折叠得到，，，，，．14．(2023•宁波模拟）证明体验（1）如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：．思考探究（2）如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长．拓展延伸（3）如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．答案:（1）见解析；（2）2；（3）【详解】（1）证明：，，，，，，；（2）解：在（1）的条件下，有，，，，，，，，在和中，，，．即的长为2；（3）解：过点作于点，如图：，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，，．在中，由勾股定理，得，即的长为．15．(2023•海曙区校级一模）【证明体验】（1）如图1，正方形中，，分别是边和对角线上的点，，．求证：．【思考探究】（2）如图2，矩形中，，，，分别是边和对角线上的点，，，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点，，分别是线段和上的点，，，求的长．答案:（1）见解析；（2）3；（3）【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，又，；（2）解：如图2，连接，交于点，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，；（3）解：如图3，设与交于点，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．16．(2023•鄞州区校级一模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是（填序号）；①矩形②菱形③正方形（2）如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“婆氏四边形”；（3）在（2）的条件下，，且．①当时，求的长度；②当的长度最小时，请直接写出的值．答案:（1）③；（2）见解析；（3）①；②【详解】（1）解：若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是正方形．理由：四边形是平行四边形，．四边形是圆内接四边形，．．平行四边形是矩形．四边形是“婆氏四边形”，．矩形是正方形．故答案为：③；（2）证明：连接，交于点，交于点，如图，，且，．．，．即：．．．，．，．．．四边形内接于圆，四边形为“婆氏四边形”；（3）解：①由（2）知：与点，设，，，．．，．，．，．解得：．当时，，不合题意，舍去．．．．，．．；②设的长度为，，，，．．，．，．，．．△，．，，有最小值2．即的长度最小值为2．．解得：．．．．．．由（2）知：，．在中，．17．(2023•江北区一模）项目化学习：车轮的形状．【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理？【合作探究】（1）探究组：如图1，圆形车轮半径为，其车轮轴心到地面的距离始终为．（2）探究组：如图2，正方形车轮的轴心为，若正方形的边长为，求车轮轴心最高点与最低点的高度差．（3）探究组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为，其车轮轴心为，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点经过的路程．探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点，，为圆心，以正三角形的边长为半径作圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．（4）探究组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有“最高点”，“中心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是．延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心并不稳定．答案:（1）4；（2）；（3）见解析；（4）【详解】（1）圆形车轮与地面始终相切，车轮轴心到地面的距离始终等于圆的半径．车轮轴心到地面的距离始终等于．故答案为：4；（2）如图所示，为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹，点为车轮轴心的最高点，点，为车轮轴心的最低点．由题意：车轮轴心距离地面的最低高度为，车轮轴心距离地面的最大高度为，车轮轴心最高点与最低点的高度差为；（3）如图所示：从图1运动到图2，点绕点旋转了，点的运动距离为；从图2运动到图3，点绕点旋转了，点的运动距离为；从图3运动到图4，点移动的距离为圆心角为，半径为的弧长．综上，让车轮在地上无滑动地滚动一周，点经过的路程为：；（4）由题意：当“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其“最高点”与水平面的距离不变，其“中心点”到水平面的距离开始先升高再下降，再升高再下降，不断循环，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是：．故答案为：．18．(2023•镇海区校级模拟）定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．（1）如图1，在“对角互余四边形”中，，，，，，求四边形的面积．（2）如图2，在四边形中，连接，，点是外接圆的圆心，连接，．求证：四边形是“对角互余四边形”；（3）在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求的值．（结果用带有，的代数式表示）答案:（1）9；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：如图1，作，使点，且点、在直线异侧，连接、，则，，，，，，，，，，，作于点，则，，，，四边形的面积是9．（2）证明：如图2，连接，则，，，，，，，，四边形是“对角互余四边形”．（3）解：如图3，在下方作，作于点，连接，则，，，，，，，，，，，，，，且，，，，，，的值为．19．(2023•宁波模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是；②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则（填“是”或“不是”的一条二分线．（2）如图2，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接．求证：是四边形的二分线．（3）如图3，在中，，，，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．答案:（1）①三角形的中线；②是；（2）见解析；（3）【详解】（1）三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②是边上的中线，，，，是的一条二分线故答案为：是（2）的中点，，，，是的中点，，在和中，，，，，是四边形的二分线．（3）如图，延长使，连接，，，，，分别是线段，上的点，且，，，且，，，，，，，且，、，，，是四边形的一条二分线，，20．(2023•宁波模拟）【基础巩固】（1）如图①，在中，于点，若，，求的值；【尝试应用】（2）如图②，点在的边上，满足．求证：；【拓展提高】（3）如图③，已知点为斜边上一点，过点作的垂线，交于点，点在的中垂线上，连结，若，求证：．答案:（1）8；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）解：如图①中，，，，，；（2）证明：如图②中，过点作于点．，，，由（1）可知，；（3）证明：如图③中，连接．点在的垂直平分线上，，由（2）可知，，，，，，，，，．21．(2023•鄞州区一模）如图1，平行四边形中，，，点是边上的点，连结，以为对称轴作的轴对称图形．（1）如图2，当点正好落在边上时，判断四边形的形状并说明理由；（2）如图1，当点是线段的中点且时，求的长；（3）如图3，当点，，三点共线时，恰有，求的长．答案:（1）（2）（3）【详解】（1）四边形是菱形，理由如下：由折叠可得，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形；（2）如图，作于，作于，，，，，，，，，，，设，，，在中，，，，，，（舍去），，，；（3），，即：，四边形是平行四边形，，由折叠可得，，，，，，，，，，同理可得，，，，．22．(2023•慈溪市一模）证明体验（1）如图1，在和中，点、、在同一直线上，，求证：．（2）如图2，图3，，点线段上的点，，，连结，为中点，将线段绕点顺时针旋转至，连结．思考探究①如图2，当时，求的长．拓展延伸②如图3，点是延长线上一点，且，连结，，求的长．答案:（1）见解析；（2）①16；②【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：①绕点顺时针旋转至，为的中点，为等腰直角三角形，，，又，，如图，过点作，垂足为，则，，由（1）得，，，，；②如图，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，过点作，过点作，交的延长线于，为的中点，，，，，，由（1）得：，，，，，设，则，，，，，，，由（1）得，，即，解得或（舍去），，．23．(2023•镇海区二模）基础巩固（1）如图1，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结．求证：；尝试应用（2）如图2，在（1）的条件下，连结，若交于点，已知，．求线段的长；拓展提高（3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交边于点，若，，求的长．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，，，在和中，．（2）解：，，，，，，，，，，，设，，，，，；（3）解：延长至点，使得，由（1）得，，，，连接交于点，，，，，，设，则，，，，解得，，，又，，，，．24．(2023•余姚市一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形．（1）已知是和谐三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长．（2）在中，，，为边上一点，，连结，若为和谐三角形，求的长．（3）如图，在等腰中，，为的中点，且，为上一点，满足，连结，求证：为和谐三角形．答案:（1）2或或5；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得，，是和谐三角形，①当时，，②当时，，③当时，，即满足条件的的长为2或或5；（2）解：在中，，，，在中，，，，根据三角形的三边关系得，，为和谐三角形，①当时，，不符合题意；②当时，，如图，过点作于，在中，，在中，，，，，在中，，根据勾股定理得，，即的长为6；③当时，，不符合题意；（3）证明：，设，则，，，，点为的中点，，，，，，，，如图，过点作于，则，根据勾股定理得，，过点作于，，，是的中位线，，，，过点作于，，，，，，，，，在中，根据勾股定理得，，，，，为和谐三角形．25．(2023•江北区模拟）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．（1）如图1，在中，为钝角，相似分割线是边上的中线，求证：．（2）如图2，在中，是的全相似分割线，求证：；（3）在中，是的全相似分割线，将绕点顺时针旋转，点旋转到点，点旋转到点，当旋转到如图3的位置时，，，三点共线，恰好是的相似分割线，求值．答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：在中，为相似分割线，是比大，与不相似，与相似，与的三个角分别对应相等，与的一个角重合，，，，，，，是边上的中线，，，，，；（2）证明：在中，为的全相似分割线，与与都相似，与的一个角重合，，，，，与的一个角重合，，，，，，，点，，共线，，，，是直角三角形，，，，，，，，；（3）解：在中，为的全相似分割线，由（2）知，是绕点旋转得到的，，，，是的相似分割线，由（1）知，，，，，，，，四边形为平行四边形，，四边形为矩形，，设，，，，，在中，，，在中，，，在中，，，，，，，，，，整理得，两边同时除以得：，设，则，，，，，，．26．(2023•宁波模拟）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连结，交于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）求的值．答案:（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：四边形为菱形，，，又，，四边形为平行四边形．（2）解：四边形为菱形，四边形为平行四边形，，即，，又，，，，四边形为菱形，，．27．(2023•宁波模拟）定义：若四边形有一组对角的差为，则称这个四边形为余角四边形．（1）判断命题：“有一个内角为的圆内接四边形是余角四边形”是真命题还是假命题？（2）在网格中，，是如图①，②所示的格点（小正方形的顶点），分别在图①，图②中各画一个互不全等的格点四边形，使它是一个余角四边形．（3）如图③，在中，，，分别是，上的点，且．①求证：四边形为余角四边形．②若，求的值．答案:见解析【详解】（1）解：圆的内接四边形对角互补，一个内角为的对角为，，有一个内角为的圆内接四边形是余角四边形，有一个内角为的圆内接四边形是余角四边形是真命题；（2）解：如图所示：（3）①证明：设，，，，，，四边形是余角四边形；②如图，延长到，使，作于，连接，，，，，，设，则，，，，，，．28．(2023•宁波模拟）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足，则称点为线段的点，但点不是线段的点．（1）如图1，在中，，，若点是线段的点，求的长．（2）如图2，在中，是边上一点，连结，若点分别是线段，线段的点，求证：点是线段的点．（3）如图3，在菱形中，，，点，分别是，上的点，且满足，连结．若点是线段的点，求的长．答案:（1）；（2）见解析；（3）5【详解】（1）解：点是线段的点，，设，则，，，，，，，；（2）证明：点分别是线段，线段的点，，，设，则，，，，，，，，点是线段的点．（3）解：如图3中，在上截取，使得．四边形是菱形，，，，，，，是等边三角形，，，，点是线段的点，，，，，，，，，，，，．29．(2023•宁波模拟）【基础巩固】（1）如图①，在四边形中，，，求证：；【尝试应用】（2）如图②，在平行四边形中，点在上，与互补，，，求的长；【拓展提高】（3）如图③，在菱形中，为其内部一点，与互补，点在上，，且，，，求的长．答案:（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：，，又，；（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：延长交于，四边形是菱形，，，，四边形是平行四边形，，，，，由（2）可得．，，，，，，，，．30．(2023•长春一模）