回归教材重难点06二次函数与几何的综合(原卷版+解析)

回归教材重难点06二次函数与几何的综合本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年辽宁省朝阳市中考数学试卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，PQ最大＝；（3）如图1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y轴于D，∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t，当BM＝PM时，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如图2，当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，∴BM＝2BE，可得四边形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如图3，当PB＝MB时，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．点评：本题考察了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形。二次函数与几何图形的综合不仅是中考数学中的重点，而且还是常见的压轴题题型，难度一般较大，需要考生的逻辑思维能力也更强。本考点是中考五星高频考点，难度较大，多数还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。技法：二次函数的存在性问题经常考察等腰三角形、直角三角形、等要直角三角形、平形四边形、特殊平行四边形、相似三角形、角等，这些问题中，特殊图形的存在性问题多需要分类讨论，重点注意二次函数所结合图形的性质的判定。【中考真题练】1．(2023•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④2．(2023•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．3．(2023•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．(2023•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．(2023•无锡）如图，二次函数y＝的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），点C（0，3），点E在对称轴上．（1）求A、B两点坐标；（2）设直线AC与抛物线的另一个交点为D，求点D坐标；（3）设E关于直线BD、CD的对称点分别为F、G，求以GF为直径的圆面积的最小值．6．(2023•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．7．(2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．8．(2023•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为，，．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【中考模拟练】1．（2023•高新区模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（点C'不与点A重合）．2．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝90°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．3．（2023•南沙区一模）抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）点B，与y轴交于点C（0，﹣3）抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求b、c的值；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形BDCF的面积取得最大值，求此时点E的坐标；（3）点P在的抛物线上，点Q在的抛物线的对称轴上，若直线BC垂直平分线段PQ时，求点P的坐标．4．（2023•常州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（9，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB＝∠BCO，求点P的坐标；（3）若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，∠MBO＝45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．5．（2023•雁塔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：y＝x2+bx+c过点（1，﹣4）和（﹣2，5）与x轴交于点A，C两点（A在C左侧），与y轴交于点B．（1）求抛物线M的解析式及A，C两点的坐标；（2）将抛物线M平移后得到抛物线M1，已知抛物线M1的对称轴为直线x＝5，直线x＝5交x轴于点N，点P为抛物线M1的顶点，在x轴下方是否存在点P，使得△PNC与△AOB相似？若存在，请求出抛物线M1的表达式；若不存在，说明理由．6．（2023•新乡二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1经过原点．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．（2）将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，W与W'组成一个新的函数图象，记作G．①点M，N为图象G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为图象G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围；②若点（m，y1），（m+1，y2）在图象G上，且y1＜y2，请直接写出m的取值范围．7．（2023•高新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+8与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E．（i）当时，求点C的坐标；（ⅱ）点M为线段DE中点，当点C，M，O三点在同一直线上时，求的值．8．（2023•济南二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C，当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当点E、F重合时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0），问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形，若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．9．（2023•铜梁区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P是线段BC上方抛物线上一动点，过P作PM∥AB交BC于M，PN∥OC交BC于N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）向左平移4个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，E为直线BC上一动点，F是坐标平面上一点，P为（2）中PM+PN取最大值时的点，当以D，P，E，F为顶点的四边形是菱形时，直接写出所有符合条件的点F的坐标．10．（2023•新都区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，点P为线段BC上方的抛物线上的一点，过点P作垂直于x轴的直线l交线段BC于点F．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；（3）连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使∠CDE＝∠PCF？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．​回归教材重难点06二次函数与几何的综合本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年辽宁省朝阳市中考数学试卷第25题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，PQ最大＝；（3）如图1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y轴于D，∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t，当BM＝PM时，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如图2，当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，∴BM＝2BE，可得四边形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如图3，当PB＝MB时，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．点评：本题考察了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形。二次函数与几何图形的综合不仅是中考数学中的重点，而且还是常见的压轴题题型，难度一般较大，需要考生的逻辑思维能力也更强。本考点是中考五星高频考点，难度较大，多数还会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。技法：二次函数的存在性问题经常考察等腰三角形、直角三角形、等要直角三角形、平形四边形、特殊平行四边形、相似三角形、角等，这些问题中，特殊图形的存在性问题多需要分类讨论，重点注意二次函数所结合图形的性质的判定。【中考真题练】1．(2023•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④分析：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．2．(2023•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P的坐标．分析：（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，C（0，﹣4），可得△BOC是等腰直角三角形，根据△PMN和△OBC相似，可得PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），即有|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，解出m的值，再由点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，即得P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．3．(2023•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．分析：（1）根据题意知，二次函数顶点为（1，﹣1），设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，将点B（0，0）代入得，a﹣1＝0，即可得出答案；（2）连接OP，根据题意得点A的坐标，则S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP，代入化简即可；（3）设N（n，n2﹣2n），分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n＝的值，进而得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为（1，﹣1），设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，将点O（0，0）代入得，a﹣1＝0，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；（2）连接OP，当y＝0时，x2﹣2x＝0，∴x＝0或2，∴A（2，0），∵点P在抛物线y＝x2﹣2x上，∴点P的纵坐标为t2﹣2t，∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP＝+（﹣t2+2t）﹣t＝﹣t2++1；（3）设N（n，n2﹣2n），当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0＝1+n，∴n＝1，∴N（1，﹣1），当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1＝n+0，∴n＝3，∴N（3，3），当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n＝0+1，∴n＝﹣1，∴N（﹣1，3），综上：N（3，3）或（﹣1，3）或（1，﹣1）．4．(2023•巴中）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．分析：（1）由当y≥0时，﹣1≤x≤3，可知x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，代入方程可得a，c，从而得解；（2）①把x＝2代入抛物线解析式可得D点坐标，再将x＝0代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段CD∥x轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x＝1得yM，yN，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值8．【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，∴D（2，3）．又当x＝0，y＝3，∴C（0，3），∴线段CD∥x轴．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴F（1，4），；②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，因此可得：或，解得：或，∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，∴NE+ME＝8．5．(2023•无锡）如图，二次函数y＝的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），点C（0，3），点E在对称轴上．（1）求A、B两点坐标；（2）设直线AC与抛物线的另一个交点为D，求点D坐标；（3）设E关于直线BD、CD的对称点分别为F、G，求以GF为直径的圆面积的最小值．分析：（1）在y＝中，令y＝0可解得A（﹣3，0），B（1，0）；（2）用待定系数法求出直线AC对应的函数表达式为y＝x+3，再联立解析式可得D（5，8）；（3）设EF交BD于点P，抛物线y＝的对称轴交x轴于点Q，直线AD交EQ于N，连接NG，EG，过D作DH⊥x轴于H，过F作FM⊥EQ于M，求出N（﹣1，2），由E，G关于AD对称，可得∠ENG＝90°，△ENG是等腰直角三角形，设EM＝a，EQ＝b，则E（﹣1，b），G（b﹣3，2），证明△DBH∽△FEM，即得＝＝，故F（2a﹣1，b﹣a），P（a﹣1，b﹣），把P（a﹣1，b﹣）代入y＝2x﹣2可得a＝，从而F（，），得FG2＝（b﹣3﹣）2+（2﹣）2＝（b﹣8）2+，再由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）在y＝中，令y＝0得：＝0，解得x＝1或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）设直线AC对应的函数表达式为y＝kx+t，把A（﹣3，0），C（（0，3）代入得：，解得∴直线AC对应的函数表达式为y＝x+3，联立，解得或，∴D（5，8）；（3）设EF交BD于点P，抛物线y＝的对称轴交x轴于点Q，直线AD交EQ于N，连接NG，EG，过D作DH⊥x轴于H，过F作FM⊥EQ于M，如图：由y＝得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，在y＝x+3中，令x＝﹣1得y＝2，∴N（﹣1，2），∵OA＝OC＝3，∴∠CAO＝45°＝∠ANQ＝END，∵E，G关于AD对称，∴∠END＝∠GND＝45°，EN＝GN，∴∠ENG＝90°，△ENG是等腰直角三角形，设EM＝a，EQ＝b，则E（﹣1，b），∴EN＝b﹣2＝EG，∴G（b﹣3，2），∵E，F关于BD对称，∴∠KPF＝90°，P为EF的中点，∴∠DBH＝∠PKF＝90°﹣∠PFK＝∠MEF，∵∠DHB＝90°＝∠EMF，∴△DBH∽△FEM，∴＝，∵B（1，0），D（5，8），∴BH＝4，DH＝8，∴＝＝，∴FM＝2EM＝2a，∴F（2a﹣1，b﹣a），∵P为EF的中点，∴P（a﹣1，b﹣），由B（1，0），D（5，8）可得直线BD解析式为y＝2x﹣2，把P（a﹣1，b﹣）代入y＝2x﹣2得：2（a﹣1）﹣2＝b﹣，∴a＝，∴F（，），∴FG2＝（b﹣3﹣）2+（2﹣）2＝b2﹣b+40＝（b﹣8）2+，∵＞0，∴FG2的最小值为，∴以GF为直径的圆面积最小为π（）2＝FG2＝π，答：以GF为直径的圆面积最小为π．6．(2023•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．分析：（1）利用顶点式求解，可得结论；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），推出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；（3）四边形AFBG的面积不变．如图，设P（m，﹣m2+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，∴4＝+t，∴t＝，∴直线DT的解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝﹣2，∴T（﹣2，0），∴OT＝2，∵B（3，0），∴OB＝3，∴BT＝5，∵DT＝＝5，∴TD＝TB，∵PM⊥BT，PN⊥DT，∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，∵D（1，4），B（3，0），∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，∴J（m，﹣2m+6），∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积＝×5×4+×（﹣m2+4m﹣3）×2＝﹣m2+4m+7＝﹣（m﹣2）2+11∵﹣1＜0，∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，∴PM+PN的最大值＝×11＝；解法二：延长MP交直线l与点H，易得直线l：y＝x+，∴H（m，m+）设直线l交x轴于点C，交y轴于点L，∴C（﹣2，0），L（0，），∴CL＝，∴sin∠CLO＝，由LO∥HM，∴∠NHM＝∠CLO，∴sin∠NHM＝，∴PH＝m++m2﹣2m﹣3＝m2﹣m﹣，∴PN＝PH，∴PM+PN＝﹣m2+2m+3+（m2﹣m﹣）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴m＝2时，PM+PN的值最大，最大值为；（3）四边形AFBG的面积不变．理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，∴E（1，﹣2m+6），∵E，G关于x轴对称，∴G（1，2m﹣6），∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），∴F（1，2m+2），∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，∴四边形AFBG的面积＝×AB×FG＝×4×8＝16．∴四边形AFBG的面积是定值．7．(2023•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．分析：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1﹣，2）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．8．(2023•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）A，B，C三点的坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，4）．（2）连接AP，交线段BC于点D，①当CP与x轴平行时，求的值；②当CP与x轴不平行时，求的最大值；（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．分析：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；（2）①由题意可知，P（1，4），所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知，＝＝．②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．所以PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，因为PQ∥AB，所以＝＝＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可得结论；（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，可得结论．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，∴C（0，4）；令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0）．故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），∴P（1，4），∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x轴，∴＝＝．②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，的最大值为．另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延长CP交x轴于点M，∵CF∥x轴，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM为等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M（8，0），∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，解得x＝或x＝0（舍），∴存在点P满足题意，此时m＝．【中考模拟练】1．（2023•高新区模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线上点C的横坐标为5，D点坐标为（3，0），连接AC，CD，点M为平面内任意一点，将△ACD绕点M旋转180°得到对应的△A′C′D′（点A，C，D的对应点分别为点A′，C′，D′），若△A′C′D′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C'的坐标为（2，3）或（﹣，﹣）（点C'不与点A重合）．分析：（1）当点A′、D′在抛物线上时，求出点D′的坐标（﹣，﹣），再由中点坐标公式得到C′的坐标为：（﹣，﹣）；（2）当C′D′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2﹣m﹣2），得到点D′（m+2，m2﹣m﹣2+3），进而求解；（3）当A′、C′在抛物线上时，同理可解．【解答】解：令＝0，解得：x＝﹣1或4，则函数的对称轴为x＝，当x＝5时，则＝3，即点C（5，3）；（1）当点A′、D′在抛物线上时，如图，由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x＝，则点D′的横坐标为﹣2＝﹣，当x＝﹣时，＝﹣，则点D′（﹣，﹣），设点C′为（x，y），由中点坐标公式得：﹣＝5+x且﹣＝3+y，解得：x＝﹣，y＝﹣，即点C′的坐标为：（﹣，﹣）；（2）当C′D′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2﹣m﹣2），由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C，则点D′（m+2，m2﹣m﹣2+3），将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2﹣m﹣2+3＝（m+2）2﹣（m+2）﹣2，解得：m＝2，则点C′的坐标为：（2，﹣2）；（3）当A′、C′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2﹣m﹣2），由点A向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C，则点A′（m+6，m2﹣m﹣2+3），将点A′的坐标代入抛物线的表达式得：m2﹣m﹣2+3＝（m+6）2﹣（m+6）﹣2，解得：m＝﹣1，则点C′的坐标为：（﹣1，0），该点和点A重合，故舍去；综上，点C′的坐标为：（2，﹣2）或（﹣，﹣），故答案为：（2，﹣2）或（﹣，﹣）．2．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝90°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为5﹣或．分析：由y＝x2﹣x﹣4可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），即得AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，故AB2＝AC2+BC2，从而∠ACB＝90°；当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，可证△AHN≌△ACN（AAS），即得AH＝AC＝＝2，NC＝HN，有BH＝AB﹣AH＝10﹣2，由△BHN∽△BCA，得＝，求出HN＝5﹣，故NC＝5﹣；当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，可证△AOK∽△COA，得＝，OK＝1，CK＝OC﹣OK＝3，AK＝＝，求出TK＝CT＝CK＝，由△AOK∽△NTK，可得＝，求得NK＝，故NC＝．【解答】解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），∴AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°；当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，如图：∴∠QMN＝∠QNM＝∠ANC，∵QM∥y轴，∴∠QMN＝∠NKC＝∠AKO，∴∠ANC＝∠AKO，∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠ANC＝∠CAN，∵∠AHN＝90°＝∠ACN，AN＝AN，∴△AHN≌△ACN（AAS），∴AH＝AC＝＝2，NC＝HN，∴BH＝AB﹣AH＝10﹣2，∵∠HBN＝∠CBA，∠NHB＝90°＝∠ACB，∴△BHN∽△BCA，∴＝，即＝，∴HN＝5﹣，∴NC＝5﹣；当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，如图：∴∠NQM＝∠NMQ，∵QM∥y轴，∴∠NKC＝∠NCK，∴NK＝NC，∵∠AKO＝∠NKC，∴∠AKO＝∠NCK，∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠NCK＝∠ACO，∵∠AOK＝90°＝∠COA，∴△AOK∽△COA，∴＝，即＝，∴OK＝1，∴CK＝OC﹣OK＝4﹣1＝3，AK＝＝＝，∴TK＝CT＝CK＝，∵∠AKO＝∠TKN，∠AOK＝90°＝∠NTK，∴△AOK∽△NTK，∴＝即＝，∴NK＝，∴NC＝，∴线段NC的长为5﹣或．故答案为：90，5﹣或．3．（2023•南沙区一模）抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）点B，与y轴交于点C（0，﹣3）抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求b、c的值；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形BDCF的面积取得最大值，求此时点E的坐标；（3）点P在的抛物线上，点Q在的抛物线的对称轴上，若直线BC垂直平分线段PQ时，求点P的坐标．分析：（1）用待定系数法即可求解；（2）由四边形BDCF的面积＝S△BCF+S△BCD即可求解；（3）当直线BC垂直平分线段PQ时，则PQ⊥BC且点H是PQ的中点，则直线PQ的表达式为y＝﹣（x﹣1）+t，将点H的坐标代入上式得：m﹣3＝﹣（m﹣1）+t，则t＝2m﹣4，即点Q（1，2m﹣4），进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，即b＝﹣2，c＝﹣3；（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，点B的坐标为：（3，0），则点D（1，0），则BD＝2，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，设点E（m，m﹣3），则点F（m，m2﹣2m﹣3），则四边形BDCF的面积＝S△BCF+S△BCD＝BD×CO+OB×EF＝+（m﹣3﹣m2+2m+3）×3＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，点E的坐标为：（，）；（3）设PQ交BC于点H，设点Q（1，t），点H（m，m﹣3），由BC的表达式知，∠ABC＝45°，当直线BC垂直平分线段PQ时，则PQ⊥BC且点H是PQ的中点，则直线PQ表达式的k值为﹣1，则直线PQ的表达式为y＝﹣（x﹣1）+t，将点H的坐标代入上式得：m﹣3＝﹣（m﹣1）+t，则t＝2m﹣4，即点Q（1，2m﹣4），由中点坐标公式得，点P的坐标为：（2m﹣1，﹣2），当y＝﹣2时，即x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得：x＝1±，即点P的坐标为：（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）．4．（2023•常州二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（9，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB＝∠BCO，求点P的坐标；（3）若点Q在第四象限内，且，点M在y轴正半轴，∠MBO＝45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．分析：（1）将点B（9，0）代入解析式计算即可；（2）分点P在x轴的上方和下方两种情况计算即可；（3）作线段AB的垂直平分线GR交x轴于点R，过点C作CG∥x轴，交GR于点G，从而得到点Q在以AB垂直平分线上G点为圆心，且半径为5的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q三点一线时，MQ取得最大值．【解答】解：（1）将点B（9，0）代入，∴﹣27+9b﹣3＝0，∴，∴．（2）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，则，∴x＝1或x＝9，∴A（1，0），∵∠PCB+∠ACB＝∠BCO＝∠ACB+∠OCA，∴∠PCB＝∠OCA，如图1，当P点在x轴上方时，设PC与x轴的交点为点G，∵OA＝1，OC＝3，OB＝9，∴，，∴∠OCA＝∠OBC，∴∠PCB＝∠OBC，∴CG＝BG，∵OB＝9，∴OG＝9﹣CG，在Rt△OCG中，CG2＝OC2+OG2，∴（9﹣OG）2＝32+OG2，∴OG＝4，∴G（4，0），设直线CG的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴，联立方程组，∴（舍）或，∴；如图2，当P点在x轴下方时，∵∠OBC＝∠PCB，C（0，﹣3），∴OB∥CP，Py＝﹣3，∴，解得x＝10，x＝0（舍去），∴P（10，﹣3）；综上所述：P点坐标为或（10，﹣3）．（3）线段MQ存在最大值，且为18．理由如下：作线段AB的垂直平分线GR交x轴于点R，过点C作CG∥x轴，交GR于点G，则四边形OCGR是矩形，∴OC＝GR＝3，∵AB＝9﹣1＝8，∴AR＝4，连接AG，则，以G点为圆心，半径为5作⊙G，点G（5，﹣3），当点Q位于⊙G上时，作直径AT，连接TB，QB，QA，则∠AQB＝∠ATB，∵AB＝9﹣1＝8，AT＝10，∴，∴，∴点Q位于⊙G的第四象限部分的弧上运动，故当M，G，Q三点一线时，MQ取得最大值．∵∠MBO＝45°，∴OB＝OM＝9，∴MC＝9﹣（﹣3）＝12，GC＝5，∴，∴MQ＝13+5＝18．5．（2023•雁塔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线M：y＝x2+bx+c过点（1，﹣4）和（﹣2，5）与x轴交于点A，C两点（A在C左侧），与y轴交于点B．（1）求抛物线M的解析式及A，C两点的坐标；（2）将抛物线M平移后得到抛物线M1，已知抛物线M1的对称轴为直线x＝5，直线x＝5交x轴于点N，点P为抛物线M1的顶点，在x轴下方是否存在点P，使得△PNC与△AOB相似？若存在，请求出抛物线M1的表达式；若不存在，说明理由．分析：（1）用待定系数法可得y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0即可得A（﹣1，0），C（3，0）；（2）由y＝x2﹣2x﹣3得B（0，﹣3），根据将抛物线M：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4平移后得到抛物线M1，抛物线M1的对称轴为直线x＝5，直线x＝5交x轴于点N，可得N（5，0），CN＝5﹣3＝2，设抛物线M1的解析式为y＝（x﹣5）2+m，则P（5，m），分两种情况：①当△AOB∽△CNP时，可得＝，解方程可求得抛物线M1的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6＝x2﹣10x+19；②当△AOB∽△PNC时，同理可得抛物线M1的解析式为y＝（x﹣5）2﹣＝x2﹣10x+．【解答】解：（1）把（1，﹣4）和（﹣2，5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3，在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0得：0＝x2﹣2x﹣3，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），C（3，0）；∴抛物线M的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，A的坐标为（﹣1，0），C的坐标为（3，0）；（2）在x轴下方存在点P，使得△PNC与△AOB相似，理由如下：在y＝x2﹣2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴B（0，﹣3），∵将抛物线M：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4平移后得到抛物线M1，抛物线M1的对称轴为直线x＝5，直线x＝5交x轴于点N，∴N（5，0），∴CN＝5﹣3＝2，设抛物线M1的解析式为y＝（x﹣5）2+m，则P（5，m），①当△AOB∽△CNP时，如图：∴＝，即＝，∴m＝﹣6，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣5）2﹣6＝x2﹣10x+19；②当△AOB∽△PNC时，如图：∴＝，即＝，∴m＝﹣，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣5）2﹣＝x2﹣10x+；综上所述，抛物线M1的解析式为y＝x2﹣10x+19或y＝x2﹣10x+．6．（2023•新乡二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1经过原点．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标．（2）将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，W与W'组成一个新的函数图象，记作G．①点M，N为图象G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为图象G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围；②若点（m，y1），（m+1，y2）在图象G上，且y1＜y2，请直接写出m的取值范围．分析：（1）先根据抛物线经过原点，可求得a，进而求得抛物线解析式；然后再化成顶点式即可确定顶点坐标；（2）①先画出函数图象，再根据点M的位置解答即可；②分点在抛物线当点在抛物线W和W'两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣1经过原点，∴0＝a﹣1，即a＝1．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）．（2）①根据题意，画出图象G，如图所示：∵点M，N为图象G上两点，且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，∴点M的坐标为（﹣2，0）或（2，0），点N的坐标为（3，3）或（﹣3，﹣3）．又∵点M在点N的左侧，∴点M的坐标为（﹣2，0）或（2，0），点N的坐标为（3，3）．∴当点M的坐标为（﹣2，0），点N的坐标为（3，3）时，点Q的纵坐标yQ的取值范围为﹣1≤yQ≤3．当点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（3，3）时，点Q的纵坐标yQ的取值范围为0≤yQ≤3．②当两点均在y轴右侧时，即点在抛物线y＝x2﹣2x上，∵点（m，y1），（m+1，y2）在图象G上，且y1＜y2，∴（m+1）2﹣2（m+1）＞m2﹣2m，解得：，当两点均在y轴左侧时，∵将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，∴抛物线W'的解析式为y＝﹣x2﹣2x，∵点（m，y1），（m+1，y2）在图象G上，且y1＜y2，∴﹣（m+1）2﹣2（m+1）＞﹣m2﹣2m，解得：．综上，出m的取值范围或．7．（2023•高新区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+8与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E．（i）当时，求点C的坐标；（ⅱ）点M为线段DE中点，当点C，M，O三点在同一直线上时，求的值．分析：（1）解方程求得B（4，0），A（0，8），将B（4，0），A（0，8）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c表达式解方程组即可得到结论；（2）（i）根据相似三角形的判定和性质得到，设点C（t，﹣t2+2t+8），（0＜t＜4），得到E（t，﹣2t+8），解方程即可得到结论；（ⅱ）由（i）知：∠DCE＝90°，根据平行线的性质得到∠MCE＝∠MOA，∠MEC＝∠MAO，∠MDC＝∠MBO，∠MCD＝∠MOB，求得AM＝BM，求得M（2，4），解方程组得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+8与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上，∴令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝4，∴B（4，0），A（0，8），将B（4，0），A（0，8）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c表达式得，，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）（i）∵点C是直线AB上方抛物线上一点，且CD∥x轴，CE∥y轴．∴△CDE∽△OBA，∴，设点C（t，﹣t2+2t+8），（0＜t＜4），则E（t，﹣2t+8），∴CE＝﹣t2+2t+8﹣（﹣2t+8）＝﹣t2+4t，∵A（0，8），∴OA＝8，∵，，∴，解得t＝1，h＝3．∴C（1，9）或C（3，5）；（ⅱ）由（i）知：∠DCE＝90°，又∵点M为线段DE中点，点C，M，O三点在同一直线上，∴DM＝CM＝EM，∴∠MDC＝∠MCD，∠MCE＝∠MEC，∵CE∥y轴、CD∥x轴，∴∠MCE＝∠MOA，∠MEC＝∠MAO，∠MDC＝∠MBO，∠MCD＝∠MOB，∴∠MOA＝∠MAO，∠MBO＝∠MOB，∴AM＝OM，BM＝OM，∴AM＝BM，∴点M是AB的中点，∴M（2，4），∴直线OM的函数表达式y＝2x，∴，解得，∵0＜t＜4，∴，∴，∵CE∥y轴，∴△CEM∽△OAM，∴，故的值为．8．（2023•济南二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C，当矩形ABCD为正方形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当点E、F重合时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0），问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形，若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）由待定系数法即可求解；（2）设点A的坐标为：（x，﹣x2+x），则点B（8﹣x，﹣x2+x），由矩形ABCD为正方形，则AB＝CD，得到8﹣x﹣x＝﹣x2+x，即可求解；（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形，则EF＝AQ，进而求解．【解答】解：（1）由题意得，c＝0，将点（8，0）的坐标代入y＝﹣x2+bx得：0＝﹣82+8b，解得：b＝，则二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x①；（2）设点A的坐标为：（x，﹣x2+x），则点B（8﹣x，﹣x2+x