高中数学第一章6垂直关系同步刷题课件北师大版必修2

题型1线面垂直的判定定理的应用解析1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β

B6.1垂直关系的判定刷基础

α⊥β，且mαmβ，或m∥β，或m与β相交，故A不符合；m∥n，且n⊥βm⊥β，故B符合；α⊥β，且m∥αmβ，或m∥β，或m与β相交，故C不符合；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不符合．题型1线面垂直的判定定理的应用解析2．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线时，这条直线可能在这个平面内、也可能与这个平面斜交、也可能与这个平面垂直，所以①错误；若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线与这个平面可能相交、也可能平行、也可能在平面内，所以②错误；若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确；若两条直线垂直，在其中一条直线上取一点，过该点作另一条直线的垂线，则这两条相交直线确定的平面与另一条直线垂直，且平面唯一，所以④正确．D6.1垂直关系的判定刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析3．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：①l垂直于α内一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④l垂直于α内正六边形的三条边．其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是()A．②B．①③C．②④D．③如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平行直线，不能推出l⊥α.C6.1垂直关系的判定刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是()A．垂直B．平行C．斜交D．以上都不对连接B1D1，BD，∵几何体是正方体，底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又B1B⊥AC，∴AC⊥平面BDD1B1.∵B1H平面BDD1B1，∴AC⊥B1H.∵B1H⊥D1O，AC∩D1O＝O，∴B1H⊥平面AD1C.故选A.A6.1垂直关系的判定刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解析5．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有且只有一个，否则不存在．6.1垂直关系的判定刷基础

B题型1线面垂直的判定定理的应用解析6．[河北唐山2019高二期末]如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()A．①②B．②④C．①③D．②③对于①，易证AB与CE所成的角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易证EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.

B6.1垂直关系的判定刷基础

题型1线面垂直的判定定理的应用解7．[辽宁锦州2019高一检测]如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.(1)因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC.又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.又因为AE平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.又因为PC平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，因为AG平面AEF，所以PC⊥AG.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为CD⊥AD，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.又因为AG平面PAD，所以CD⊥AG.又因为PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD.又因为PD平面PCD，所以AG⊥PD.

6.1垂直关系的判定刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用解析8．[湖南衡阳第一中学2019高一期末]如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD.在四面体ABCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面BCD在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝BC＝1，∠A＝90°，∴BD＝，BC＝2，∠DBC＝45°.由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝2，∴BD2＋CD2＝BC2，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又由AD⊥AB，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又∵AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.故选B.

B6.1垂直关系的判定刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.

6.1垂直关系的判定刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明9．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.

6.1垂直关系的判定刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明10.[辽宁葫芦岛一中2019高一月考]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PC＝PB.(1)若F是BP的中点，求证：CF∥平面APE；(2)求证：平面APE⊥平面ABCE.(1)取AB的中点G，连接GF，GC.因为EC∥AG，EC＝AG，所以四边形AECG为平行四边形，所以AE∥GC.在△ABP中，F，G分别为PB，AB的中点，所以GF∥AP，因为GF∩GC＝G，AE∩AP＝A，所以平面APE∥平面FGC.又因为CF平面FGC，所以CF∥平面APE.(2)取AE的中点O，连接PO，又因为PA＝PE，所以PO⊥AE.取BC的中点H，连接OH，PH，所以OH∥AB，所以OH⊥BC.因为PB＝PC，所以BC⊥PH.又因为PH∩OH＝H，所以BC⊥平面POH，所以BC⊥PO.因为BC与AE相交，所以PO⊥平面ABCE.又因为PO平面APE，所以平面APE⊥平面ABCE.

6.1垂直关系的判定刷基础

题型2面面垂直的判定定理及其应用证明11．[江苏南通2018第一次调研测试]如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点，点N在棱PC上，点D是BN的中点．求证：(1)MD∥平面PAC；(2)平面ABN⊥平面PMC.(1)在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点，所以MD∥AN.又因为AN平面PAC，MD平面PAC，所以MD∥平面PAC.(2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，所以AB⊥MC.又因为AB⊥PC，PC平面PMC，MC平面PMC，PC∩MC＝C，所以AB⊥平面PMC.又因为AB平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC.

6.1垂直关系的判定刷基础

题型3直线与平面所成的角解析12．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.

6.1垂直关系的判定刷基础

B题型3直线与平面所成的角13．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体OAEF中，下列结论错误的是()A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2C．四面体OAEF的内切球表面积为πD．异面直线OH与AE所成角的余弦值为

6.1垂直关系的判定刷基础

C题型3直线与平面所成的角解析

6.1垂直关系的判定刷基础

题型3直线与平面所成的角解析

6.1垂直关系的判定刷基础

题型3直线与平面所成的角解析14．若斜线段AB是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角．因为AB＝2BO，所以cos∠ABO＝所以∠ABO＝60°.

6.1垂直关系的判定刷基础

A题型3直线与平面所成的角解析15．[福建南平2019高二期末]正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与平面ABC1D1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°

6.1垂直关系的判定刷基础

A题型4二面角解析16．给出下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.

6.1垂直关系的判定刷基础

B题型3直线与平面所成的角解析17．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足．若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.

6.1垂直关系的判定刷基础

C题型3直线与平面所成的角解析18．[山西运城中学、芮城中学2019高二期中联考]三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，则二面角V－AB－C等于()A．30°B．45°C．60°D．90°

6.1垂直关系的判定刷基础

C题型3直线与平面所成的角解析19．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.

6.1垂直关系的判定刷基础

45°解析1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定由直线与平面垂直的判定定理，知已知直线与三角形所在的平面垂直．由直线与平面垂直的定义，知已知直线与三角形的第三边垂直．

6.1垂直关系的判定刷提升

B解析2．[山西芮城2019高二期末]已知三个不同的平面α，β，γ，两条不同的直线m，n，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥β，mγ，nγ则α⊥βC．若m∥α，n∥β，mγ，nγ，则α，β平行或相交D．若m∥α，n∥α，α⊥β，则m∥β，n∥β在A中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥β，mγ，nγ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥β，mγ，nγ，则α，β平行或相交，故C正确；在D中，若m∥α，n∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或mβ，n与β相交、平行或nβ，故D错误．故选C.

6.1垂直关系的判定刷提升

C解析3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.

6.1垂直关系的判定刷提升

D解析4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界)，若动点P始终满足PE⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．直线B．线段C．圆的一部分D．椭圆的一部分分别取BC，BB1的中点F，G.连接EF，FG，EG.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易证BD1⊥平面EFG.所以点P在平面EFG内，又点P在侧面BB1C1C及其边界上运动，所以点P的轨迹为平面EFG与平面BCC1B1的交线段FG.故选B.

6.1垂直关系的判定刷提升

B解析5．已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的()A．内心B．外心C．垂心D．重心连接AO并延长，交BC于D，连接BO并延长，交AC于E.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC，故PA⊥BC.因为PO⊥平面ABC，所以PO⊥BC.因为PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC.同理可得BE⊥AC，故O是△ABC的垂心．故选C.

6.1垂直关系的判定刷提升

C解析6．[辽宁沈阳东北育才学校2019高二第二次月考]边长为1的正方形ABCD，将△ABC沿对角线AC折起，使△ABD为正三角形，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°取AC的中点O，连接BO，DO.由题意得AC⊥BO，AC⊥DO，∴AC⊥平面DOB.∵正方形的边长为1，∴OB＝OD＝OC＝.∵△ABD为正三角形，AB＝AD＝DB＝1，∴OD2＋OB2＝BD2，∴OD⊥OB.又∵OB∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC.∴∠DBO是直线BD和平面ABC所成的角，为45°.故选C.

6.1垂直关系的判定刷提升

C解析7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论可能正确的有()①ED⊥平面ACD；②CD⊥平面BED；③BD⊥平面ACD；④AD⊥平面BED.A．1个B．2个C．3个D．4个∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，∴在折起过程中，D点在平面BCE上的投影为线段O1O2，如图．∵DE与AC所成角不能为直角，∴DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于O2点时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面ABCE，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，∴BD不能垂直于平面ACD，故③错误；∵AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BC，∴存在一个位置使AD⊥BE，∴在折起过程中AD⊥平面BED，故④正确．故选A.

6.1垂直关系的判定刷提升

A解析8．[山东淄博一中2019高一月考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，则下列结论错误的是()A．AC1与平面ABC所成的角为60°B．AC1∥平面CDB1C．AC1与BB1所成的角为45°D．AC1∥OD

6.1垂直关系的判定刷提升

A解析9．四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD.在平面PAB，平面PBC，平面PCD，平面PDA和平面ABCD中，互相垂直的平面一共有________对．互相垂直的平面有平面PAB和平面ABCD，平面PBC和平面PAB，平面PCD和平面PDA，平面PDA和平面ABCD，平面PAB和平面PDA，共5对．寻找时以线面垂直为途径．

6.1垂直关系的判定刷提升

5解析10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________．

6.1垂直关系的判定刷提升

解析11．如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是________．在α内过点M作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，MO＝NO.∴∠MON为二面角α－AB－β的平面角．连接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又∵MO＝NO＝a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.

6.1垂直关系的判定刷提升

90°解析12．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于________．

6.1垂直关系的判定刷提升

易错点对线面、面面垂直的判定定理理解不到位致误解析13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AC1与直线B1C所成的角是90°.其中正确结论的序号是________．①②③6.1垂直关系的判定刷易错

易错点对线面、面面垂直的判定定理理解不到位致误解析14.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确结论的序号)①②④

6.1垂直关系的判定刷易错

易错点对线面、面面垂直的判定定理理解不到位致误解析14.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确结论的序号)①②④6.1垂直关系的判定刷易错

题型1线面垂直性质定理的应用解析1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则()A．b⊥αB．bαC．b∥αD．b∥α或bα若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则b∥α或bα，故选D.D6.2垂直关系的性质刷基础

题型1线面垂直性质定理的应用解析2．[安徽黄山2019高一期中]如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是()

ABCD连接BD交AC于O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，取CD中点F，连接EF，则AC⊥EF，又∵AC⊥BD，SO⊥AC，SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SOB，∴AC⊥SB.取SC中点Q，连接EQ，FQ，∴EQ∥SB，∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，EQ∩EF＝E，∴AC⊥平面EQF，∴点P在FQ上移动时，总有AC⊥EP.故选A.A6.2垂直关系的性质刷基础

题型1线面垂直性质定理的应用解析3．[内蒙古包头2018第一次模拟考试]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，有下列四个结论：①A1E⊥DC；②A1E⊥AC；③A1E⊥BD；④A1E⊥BC1.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

④6.2垂直关系的性质刷基础

题型1线面垂直性质定理的应用解析4．若a，b表示两条不同的直线，α表示平面，下列结论中正确的个数为________．①a⊥α，b∥αa⊥b；②a⊥α，a⊥bb∥α；③a∥α，a⊥bb⊥α；④a⊥α，b⊥αa∥b.由线面垂直的性质知①④正确．26.2垂直关系的性质刷基础

题型2面面垂直性质定理的应用解析5．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥nC6.2垂直关系的性质刷基础

题型2面面垂直性质定理的应用解析6．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α

B6.2垂直关系的性质刷基础

题型2面面垂直性质定理的应用解析7．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直C6.2垂直关系的性质刷基础

题型2面面垂直性质定理的应用解析8．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD6.2垂直关系的性质刷基础

题型2面面垂直性质定理的应用解析9．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则()A．ME⊥平面ABCDB．ME平面ABCDC．ME∥平面ABCDD．以上都有可能A6.2垂直关系的性质刷基础

题型2面面垂直性质定理的应用解析10．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A6.2垂直关系的性质刷基础

题型3平行、垂直关系的综合问题解析11．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，mα，m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ和l⊥mB．α∥γ和m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β和α⊥γA6.2垂直关系的性质刷基础

题型3平行、垂直关系的综合问题解析12．设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得aα，且b∥αD．存在唯一平面α，使得aα，且b⊥α过直线a上任意一点P，作b的平行线c，由a，c相交确定一个平面α.直线l只需垂直于平面α，就会与b垂直，这样的直线有无数条，故A错误．根据两条直线所成角的定义知不存这样的直线l，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C.C6.2垂直关系的性质刷基础

题型3平行、垂直关系的综合问题解析13．[湖北沙市中学2019高二期末]已知两条不同的直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：①若lα，mα，l∥β，m∥β，则α∥β；②若lα，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则lα.其中正确的命题个数为()A．0B．1C．2D．3

B6.2垂直关系的性质刷基础

题型3平行、垂直关系的综合问题解析14．[河南洛阳2019高一期末]给出以下命题(其中a，b，l是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面)：①若a∥b，bα，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，则a∥α；③若α⊥β，lα，则l⊥β；④若l⊥a，l⊥b，aα，bα，则l⊥α.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3对于①，若a∥b，bα，则有可能aα，故①不正确；对于②，若a⊥b，b⊥α，则可能aα，故②不正确；对于③，若α⊥β，lα，则l可能与β平行、相交或垂直，故③不正确；对于④，缺少a，b相交的条件，故不能得到l⊥α，故④不正确．故正确命题的个数为0，故选A.A6.2垂直关系的性质刷基础

解析1．[福建宁德高中2019高一质检]设平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，且A，B，C均不在直线l上，给出四个命题：其中正确的命题是()A．①②B．②③C．①③D．②④①不正确，∵l⊥AB，l⊥AC时，平面α与平面β的夹角不一定为90°；②正确，∵l⊥AC，l⊥BC，AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，∴α⊥平面ABC；③不正确，当AB∥l时，l不垂直于平面ABC；④正确，∵AB∥l，且A，B，C均不在直线l上，∴l∥平面ABC.故选D.D6.2垂直关系的性质刷提升

解析2．[北京丰台区2019高一月考]如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两都垂直C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，∵AD⊥AB，AB∩PA＝A，∴AD⊥平面PAB，∵AD平面PAD，∴平面PAB⊥平面PAD.故选A.A6.2垂直关系的性质刷提升

解析3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小∵直线l⊥平面ABC，∴l⊥BC.又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AP∩AC＝A，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB为直角，与点P的位置无关，故选C.C6.2垂直关系的性质刷提升

解析4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．∠BAC＝90°C．CA与平面ABD所成的角为30°D．三棱锥A－BCD的体积为

B6.2垂直关系的性质刷提升

解析5．[山东潍坊2018统考]如图①所示，正三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD(如图②)，则下列结论中不正确的是()A．AB∥平面DEFB．CD⊥平面ABDC．EF⊥平面ACDD．VC－ABD＝4VC－DEF在折叠后的△ABC中，E，F分别为AC，BC的中点，故EF∥AB.因为AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB∥平面DEF，故A正确．在△ABC中，CD是AB边上的高，故折叠后，CD⊥AD，CD⊥BD.又因为AD，BD平面ABD，AD∩BD＝D，故CD⊥平面ABD，故B正确．由CD⊥平面ABD，平面ACD⊥平面BCD，D为AB边的中点，故△ADB为等腰直角三角形，∠BAD即为BA与平面ACD的夹角，故BA与平面ACD的夹角为45°.由EF∥AB，可得EF与平面ACD的夹角为45°，故C错误．VC－ABD＝VA－BCD，VC－DEF＝VE－CDF，两个棱锥的底面积和高之比均为2∶1，故体积之比为4∶1，故VC－ABD＝4VC－DEF，故D正确．故选C.C6.2垂直关系的性质刷提升

解析6．[河北衡水中学2019一模]如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA＝AB＝2，∠BPC＝θ，则当△AEF的面积为时，tanθ的值为()D6.2垂直关系的性质刷提升

解析7．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________．

6.2垂直关系的性质刷提升

解析8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．取AB的中点E，连接PE，EC.因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以CE＝5.因为PA＝PB＝13，E是AB的中点，所以PE⊥AB,PE＝12.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以PE⊥平面ABC.因为CE平面ABC，所以PE⊥CE.在Rt△PEC中，136.2垂直关系的性质刷提升

解析

6.2垂直关系的性质刷提升

①③易错点线面垂直的性质应用不当致误解析10．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线与l垂直D．α与β相交，且交线与l平行若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n,这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因为lα，lβ，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，选D.D6.2垂直关系的性质

刷易错

易错点线面垂直的性质应用不当致误证明11．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE平面PAD，AD平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.

6.2垂直关系的性质

刷易错

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