教学设计平面向量数系的扩充与复数的引入

【教学设计】遂宁中学罗辉内容平面向量、数系的扩充与复数的引入辅助工具多媒体课件第一节平面向量的概念及其线性运算基础盘查一向量的有关概念(一)循纲忆知1．了解向量的实际背景；2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3．理解向量的几何表示．(二)小题查验1．判断正误(1)向量与向量是相等向量()(2)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(3)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2.(人教A版教材例题改编)如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与，，相等的向量．解：＝＝；＝＝；＝＝＝.基础盘查二向量的线性运算(一)循纲忆知1．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2．掌握向量数乘的运算及其几何意义；3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的差仍是一个向量()(2)＝－()(3)向量a－b与b－a是相反向量()(4)两个向量相加就是两个向量的模相加()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材习题改编)化简：(1)(＋)＋＋＝________.(2)＋＋－＝________.答案：(1)(2)0基础盘查三共线向量定理(一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用．(二)小题查验1．判断正误(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c()(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝答案：－eq\f(1,3) eq\a\vs4\al(考点一向量的有关概念)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[题组练透]1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③ B．①②C．③④ D．④⑤解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，既使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量有关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度．(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等．(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．eq\a\vs4\al(考点二向量的线性运算)|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．向量的加法定义：求两个向量和的运算．运算法则(几何意义)：如图运算律：(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b.求两个向量差的运算叫做向量的减法．运算法则(几何意义)：如图3．向量的数乘定义：实数λ与向量a的积运算，即λa.运算法则(几何意义)：如图，λa的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ|·|a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.运算律：λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.[提醒](1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)λ＝0或a＝0⇔λa＝0.[典题例析]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝()A． B.eq\f(1,2)C． D.eq\f(1,2)解析：选A＋＝eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋)＝，故选A.2．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(＋)＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)[类题通法]1．向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．2．两个结论(1)P为线段AB的中点⇔＝eq\f(1,2)(＋)；(2)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0.[演练冲关]1．(2015·聊城二模)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析：选A如图，可知＝＋＝＋eq\f(2,3)(－)＝c＋eq\f(2,3)(b－c)＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.故选A.2．若典例2条件变为：若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，则λ＝________.解析：∵＝＋，＝＋，∴2＝＋＋＋.又∵＝2，∴2＝＋＋eq\f(1,3)＝＋＋eq\f(1,3)(－)＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,3).∴＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，即λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)eq\a\vs4\al(考点三共线向量定理的应用)|(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．[一题多变][典型母题]设两个非零向量e1和e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A，C，F三点共线，求k的值．[解]∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2，∴＝＋＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线，∴∥，从而存在实数λ，使得＝λ.∴3e1－2e2＝3λe1－λke2，又e1，e2是不共线的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝3λ，,－2＝－λk，))因此k＝2.∴实数k的值为2.[题点发散1]在本例条件下，试确定实数k，使ke1＋e2与e1＋ke2共线．解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即ke1＋e2＝λe1＋λke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,1＝λk，))解得k＝±1.[题点发散2]在本例条件下，如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线．证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，∴＝＋＝4e1＋e2，又＝－8e1－2e2，∴＝－2，∴与共线．又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若＝λ，则A，B，C三点共线．一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．a B．bC．c D．0解析：选D依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.3．(2015·福建四地六校联考)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A由题意得＝＋＝＋eq\f(1,3)，＝＋＝＋eq\f(1,3)，＝＋＝＋eq\f(1,3)，因此＋＋＝＋eq\f(1,3)(＋－)＝＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,3)，故＋＋与反向平行．5．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则eq\f(m,n)的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)解析：选A设＝a，＝b，则＝ma＋nb，＝－＝eq\f(1,2)b－a，由向量与共线可知存在实数λ，使得＝λ，即ma＋nb＝eq\f(1,2)λb－λa，又a与b不共线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－λ，,n＝\f(1,2)λ))，所以eq\f(m,n)＝－2.6．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B∵D为AB的中点，则＝eq\f(1,2)(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4.二、填空题7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________.解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝eq\f(1,2)||＝2.答案：28．(2015·江门模拟)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．解析：如图所示，由＝λ且＋＋＝0，则P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.答案：－29．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．解析：∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，BA綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝eq\f(1,2)a－b；②＝a＋eq\f(1,2)b；③＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④＋＋＝0.其中正确命题的个数为________．解析：＝a，＝b，＝eq\f(1,2)＋＝－eq\f(1,2)a－b，故①错；＝＋eq\f(1,2)＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；∴＋＋＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.∴正确命题为②③④.答案：3三、解答题11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，OE→＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解之得t＝eq\f(6,5).故存在实数t＝eq\f(6,5)使C，D，E三点在一条直线上．12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝eq\f(2,3)，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．解：(1)延长AD到G，使＝eq\f(1,2)，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以＝a＋b，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(a＋b)，＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(a＋b)，＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)b，＝－＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，＝－＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)证明：由(1)可知＝eq\f(2,3)，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础盘查一平面向量基本定理(一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义．(二)小题查验1．判断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材复习题改编)设M是▱ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则＋＋＋＝________.答案：4基础盘查二平面向量的坐标运算(一)循纲忆知1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(二)小题查验1．判断正误(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)已知点A(2,1)，B(－1,3)，则＝(－3,2)()答案：(1)×(2)√(3)√2．(人教A版教材例题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝答案：(－6,19)基础盘查三平面向量共线的坐标表示(一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(二)小题查验1．判断正误(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)()(2)已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为－4()答案：(1)×(2)√2．O是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k＝________时，A，B，C三点共线？答案：－2或11eq\a\vs4\al(考点一平面向量基本定理及其应用)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[题组练透]1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1解析：选D选项A中，设e1＋e2＝λe1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,1＝0，))无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ，))无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ，))无解；选项D中，e1＋3e2＝eq\f(1,2)(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝eq\f(1,3)BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，，.解：＝＋＋＝－eq\f(1,6)b－a＋eq\f(1,2)b＝eq\f(1,3)b－a，＝＋＝－eq\f(1,6)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－a))＝eq\f(1,6)b－a，＝＋＝－eq\f(1,2)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b－a))＝a－eq\f(2,3)b.[类题通法](1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．eq\a\vs4\al(考点二平面向量的坐标运算)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2);(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；|a|＝eq\r(x2＋y2).[题组练透]1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)解析：选Deq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，故eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(－1,2)．2．(2015·昆明一中摸底)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：选A＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5＝－3，,y＋6＝6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))选A.3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，(1)求3a＋b－3(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．[类题通法]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．eq\a\vs4\al(考点三平面向量共线的坐标表示)|(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[一题多变][典型母题]平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.[解](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).[题点发散1]在本例条件下，若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d.解：设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d＝(3，－1)或d＝(5,3)．[题点发散2]在本例条件下，若ma＋nb与a－2b共线，求eq\f(m,n)的值．解：ma＋nb＝(3m－n,2m＋2n)，a－2b＝(5，－2由题意得－2(3m－n)－5(2m＋2n∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).[题点发散3]若本例条件变为：已知A(3,2)，B(－1,2)，C(4,1)，判断A，B，C三点能否共线．解：＝(－4,0)，＝(1，－1)，∵－4×(－1)－0×1≠0，∴，不共线．∴A，B，C三点不共线．[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝()A．b－eq\f(1,2)a B．b＋eq\f(1,2)aC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b解析：选A＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a.2．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))解析：选D＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴＝eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)).∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).故选D.3．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为()A．(0，－2) B．(－4,2)C．(16,14) D．(0,2)解析：选A设D(x，y)，由题意知＝＋，即(x－6，y－8)＝(－8，－8)＋(2，－2)＝(－6，－10)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－6＝－6，,y－8＝－10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－2.))故选A.4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量A．(2,6) B．(－2,6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：选D设d＝(x，y)，由题意知4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝－2，y＝－6，所以d5．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2 B．k＝eq\f(1,2)C．k＝1 D．k＝－1解析：选C若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.6．(2015·山西四校联考)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))解析：选D依题意，设＝λ，其中1<λ<eq\f(4,3)，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).二、填空题7．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))答案：eq\f(2,3)－eq\f(1,3)8．已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．解析：由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.解析：＝－＝(－3,2)，∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)，∴＝3＝(－6,21)．答案：(－6,21)10．(2015·九江模拟)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋m＝1＋2n，,1＋2m＝－2＋3n.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－12，,n＝－7.))此时a＝b＝(－13，－23)．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－13，－23))三、解答题11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此时ka－b＝(k－2，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．12．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)．当点M在第二或第三象限时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t2<0，,2t1＋4t2≠0，))故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．∵＝－＝(4,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，∴A，B，M三点共线．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例基础盘查一平面向量的数量积(一)循纲忆知1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))()答案：(1)√(2)√(3)×2．(人教A版教材例题改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝________答案：－10基础盘查二平面向量数量积的性质及其坐标表示(一)循纲忆知1．掌握数量积的性质及坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(二)小题查验1．判断正误(1)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0()(2)两向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0()(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角()答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材复习题改编)已知|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，a与b的夹角为30°，则|a－b|＝________.答案：13．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于________．答案：9基础盘查三平面向量数量积的运算律(一)循纲忆知掌握向量数量积的运算律，并能进行相关计算．(二)小题查验1．判断正误(1)(a·b)·c＝a·(b·c)()(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c()答案：(1)×(2)×2．(人教A版教材习题改编)已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角为______．答案：150°eq\a\vs4\al(考点一平面向量的数量积的运算)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．[提醒]投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．[题组练透]1．(2015·云南统一检测)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于A．－eq\f(7,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)解析：选Da＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－eq\f(1,2)，所以a·b＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq\f(5,2).2.(2013·湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.eq\f(3\r(2),2) B.eq\f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)解析：选A＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为eq\f(AB→·CD→,|CD→|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).3．(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝________.解析：因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10)，又|b|＝eq\r(10)，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(1,2)＝10.答案：104．(2015·东北三校联考)已知正方形ABCD的边长为2，＝2，＝eq\f(1,2)(＋)，则·＝________.解析：如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．则B(0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，D(2,2)．由＝eq\f(1,2)(＋)知F为BC的中点，故＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，＝(－1，－2)，∴·＝－2－eq\f(4,3)＝－eq\f(10,3).答案：－eq\f(10,3)[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.[提醒](1)在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.(2)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．eq\a\vs4\al(考点二平面向量数量积的性质)|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[多角探明]平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直.角度一：平面向量的模1．已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,6)，且|a|＝eq\r(3)，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：选A因为＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2×2×\r(3)×cos\f(π,6)＋4))＝4，则||＝2.2．(2014·北京高考)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析：∵|a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)，∵λa＋b＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λcosθ＋2＝0，,λsinθ＋1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝－\f(2,λ)，,sinθ＝－\f(1,λ).))由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)角度二：平面向量的夹角3．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：选B(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0，可得cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，又因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝eq\f(π,3).4．(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2eq\r(2)，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9eeq\o\al(2,1)－9e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝9－9×1×1×eq\f(1,3)＋2＝8，所以cosβ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3).答案：eq\f(2\r(2),3)角度三：平面向量的垂直5．(2014·重庆高考)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数kA．－eq\f(9,2) B．0C．3 D.eq\f(15,2)解析：选C因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)6．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，则k的值为________________．解析：①当A＝90°时，∵⊥，∴·＝0.∴2×1＋3k＝0，解得k＝－eq\f(2,3).②当B＝90°时，∵⊥，又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴·＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得k＝eq\f(11,3).③当C＝90°时，∵⊥，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0.∴k＝eq\f(3±\r(13),2).答案：－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).[类题通法]平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).eq\a\vs4\al(考点三平面向量与三角函数的综合)|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·江苏高考)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解：(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1.))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α>β，所以α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[演练冲关]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，sin\f(x,2)))，c＝(eq\r(3)，－1)，其中x∈R，(1)当a·b＝eq\f(1,2)时，求x的取值集合；(2)设函数f(x)＝(a－c)2，求f(x)的最小正周期及其单调递增区间．解：(1)∵a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)＋sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝cosx＝eq\f(1,2)，∴x＝2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)．∴所求x的取值集合为xx＝2kπ±eq\f(π,3)，k∈Z.(2)∵a－c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)－\r(3)，sin\f(3x,2)＋1))，∴f(x)＝(a－c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)－\r(3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)＋1))2＝5－2eq\r(3)coseq\f(3x,2)＋2sineq\f(3x,2)＝5＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\f(3x,2)－\f(\r(3),2)cos\f(3x,2)))＝5＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(π,3))).∴最小正周期为T＝eq\f(2π,\f(3,2))＝eq\f(4π,3).由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(3x,2)－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得eq\f(4kπ,3)－eq\f(π,9)≤x≤eq\f(4kπ,3)＋eq\f(5π,9)(k∈Z)．∴单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4kπ,3)－\f(π,9)，\f(4kπ,3)＋\f(5π,9)))(k∈Z)．一、选择题1．(2015·惠州调研)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为()A.eq\r(5) B.eq\r(13)C．5 D．13解析：选B由题意得2×6＋3x＝0⇒x＝－4⇒|p＋q|＝|(2，－3)＋(－4,6)|＝|(－2,3)|＝eq\r(13).2．(2015·长春调研)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为()A．－eq\f(3,11) B．－eq\f(11,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)解析：选Ab＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，c＝(3,4)，又(b＋λa)⊥c，∴(b＋λa)·c＝0，即(1＋λ，2λ)·(3,4)＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－eq\f(3,11)，故选A.3．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析：选C因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝eq\f(1,2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0,2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．5．(2015·东北三校联考)已知△ABC中，||＝10，·＝－16，D为边的中点，则||等于()A．6 B．5C．4 D．3解析：选D由题知＝eq\f(1,2)(＋)，·＝－16，∴||·||cos∠BAC＝－16.在△ABC中由余弦定理得，||2＝||2＋||2－2||||cos∠BAC，∴102＝||2＋||2＋32，||2＋||2＝68，∴||2＝eq\f(1,4)(2＋2＋2·)＝eq\f(1,4)(68－32)＝9，∴||＝3，故选D.6．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))解析：选C将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(1,1)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))，＝(1－x,1)，所以·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))·(1－x,1)＝(1－x)2＋eq\f(1,2).因为0≤x≤1，所以eq\f(1,2)≤(1－x)2＋eq\f(1,2)≤eq\f(3,2)，即·的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).二、填空题7．(2015·北京东城质量检测)已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq\r(82＋－82)＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)8．(2015·山西四校联考)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________．解析：∵＋＝2，∴O是BC的中点，故△ABC为直角三角形．在△AOC中，有||＝||，∴∠B＝30°.由定义，向量在向量方向上的投影为||cos∠B＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.答案：39．单位圆上三点A，B，C满足＋＋＝0，则向量，的夹角为________．解析：∵A，B，C为单位圆上三点，∴||＝||＝||＝1，又＋＋＝0，∴－＝＋，∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·，可得cos〈，〉＝－eq\f(1,2)，∴向量，的夹角为120°.答案：120°10．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析：因为＝＋＝＋eq\f(1,4)，＝＋＝－eq\f(3,4)，所以·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AD→＋\f(1,4)AB→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(AD→－\f(3,4)AB→))＝||2－eq\f(3,16)||2－eq\f(1,2)·＝2，将AB＝8，AD＝5代入解得·＝22.答案：22三、解答题11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解：由已知得，a·b＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4eq\r(3).②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)∴|4a－2b|＝16eq\r(3).(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,2))).(1)若⊥a，且||＝eq\r(5)||，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求·.解：(1)由题设知＝(n－8，t)，∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵eq\r(5)||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，∴＝(24,8)或＝(－8，－8)．(2)由题设知＝(ksinθ－8，t)，∵与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(4,k)))2＋eq\f(32,k).∵k＞4，∴0＜eq\f(4,k)＜1，∴当sinθ＝eq\f(4,k)时，tsinθ取得最大值eq\f(32,k).由eq\f(32,k)＝4，得k＝8，此时θ＝eq\f(π,6)，＝(4,8)．∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.第四节数系的扩充与复数的引入基础盘查一复数的有关概念(一)循纲忆知1．理解复数的基本概念；2．理解复数相等的充要条件．(二)小题查验1．判断正误(1)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时复数z为纯虚数()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材例题改编)如果(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则x＝________，y＝________.答案：4－2基础盘查二复数的几何意义(一)循纲忆知了解复数的代数表示法及其几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)原点是实轴与虚轴的交点()(2)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()答案：(1)√(2)√2．(人教A版教材习题改编)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．答案：3＋5i基础盘查三复数的运算(一)循纲忆知1．会进行复数代数形式的四则运算；2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(二)小题查验1．判断正误(1)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2()(2)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立()(3)两个复数的积与商一定是虚数()(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)计算：(1)eq\f(2i,2－i)＝________，(2)eq\f(54＋i2,i2＋i)＝________.答案：(1)－eq\f(2,5)＋eq\f(4,5)i(2)1－38ieq\a\vs4\al(考点一复数的有关概念)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．3共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).[题组练透]1．(2015·湖北八校联考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C由纯虚数的定义知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x＋1≠0，))⇒x＝1，选C.2．(2015·安徽“江南十校”联考)若a＋bi＝eq\f(5,1＋2i)(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选Aa＋bi＝eq\f(5,1＋2i)＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.3．设i是虚数单位，eq\x\to(z)表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i解析：选C因为z＝1＋i，所以eq\f(z,i)＋i·eq\x\to(z)＝－i＋1＋i＋1＝2.4．(2015·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则|(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A.eq\r(10) B．2C.eq\r(2) D．1解析：选A依题意得(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·eq\o(z,\s\up6(－))|＝|－3＋i|＝eq\r(－32＋12)＝eq\r(10).[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．eq\a\vs4\al(考点二复数的几何意义)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.[题组练透]1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)·(－2＋i)＝i2－4＝－5.2．(2015·山西四校联考)复数z＝eq\f(i,－2－i2)(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A因为z＝eq\f(i,－2－i2)＝eq\f(i,4＋4i－1)＝eq\f(i,3＋4i)＝eq\f(i3－4i,25)＝eq\f(4,25)＋eq\f(3,25)i，所以z在复平面内所对应的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,25)，\f(3,25)))在第一象限，故选A.3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋μ＝3，,2λ－μ＝－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－1，,μ＝2.))∴λ＋μ＝1.答案：1[类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．eq\a\vs4\al(考点三复数的代数运算)|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．复数的乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(2)除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[题组练透]1．(2015·洛阳统考)i为虚数单位，若复数z＝eq\f(1＋2i,2－i)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则z·eq\x\to(z)＝()A．1 B．－1C.eq\f(25,9) D．－eq\f(25,9)解析：选A依题意得z＝eq\f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝i，z·eq\x\to(z)＝i·(－i)＝－i2＝1，选A.2．复数z＝eq\f(1＋2i2015,1－i2015)(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选Bz＝eq\f(1＋2i2015,1－i2015)＝eq\f(1－2i,1＋i)＝eq\f(1－3i－2,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(3i,2)，则eq\x\to(z)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(3i,2)在复平面内对应的点在第二象限，故选B.3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)eq\f(1＋i3,1－i2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选D法一：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1－i＋3i－3,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.法二：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2(1＋i)＝i2(1＋i)＝－1－i.4．已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝______.解析：∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，故eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a