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文档简介

微专题四对称化构造解极值点偏移问题1.(2024广东湛江一模,18)已知函数f(x)=(1+lnx)eln(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x2>1.解析(1)由题意可得x>0,1ax>0,所以a>0f(x)=(1+lnx)eln1ax=1+lnxax的定义域为f'(x)=1x·ax−(1+ln由f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时,f'(x)>0,则f(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则f(x)在(1,+∞)上单调递减.(2)由1+lnxax=1,得1+lnxx=a,设g(x)=1+ln则g'(x)=1x·x−(1+lnx)x2=−lnxx2,由当0<x<1时,g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,g'(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减.又g1e=0,g(1)=1,且当x>1时,g(x)>0故g(x)=1+lnxx由图知当0<a<1时,方程1+lnxx=a证明:不妨令x1<x2,则0<x1<1<x2,1+lnx1x设h(x)=g(x)-g1x=1+lnxx-x(则h'(x)=−lnxx2+lnx=x2−1x2lnx≥0,0<x<1时,x2−1x2与lnx同时小于0,x=1时,h'(x)=0,x>1时,x2−1x所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,所以h(x1)=g(x1)-g1x1即g(x1)<g1x又g(x1)=g(x2),所以g(x2)<g1x又x2>1,1x1>1,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以x2>故x1x2>1.2.(2024湖南三湘创新发展联合体联考,19)已知函数f(x)=2ex+ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2,且0<x1<x2,f(x)的导函数为f'(x),证明:f'(x1x2解析(1)f(x)=2ex+ax,则f'(x)=2ex+a,当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,令f'(x)<0,得x<ln−a令f'(x)>0,得x>ln−a所以函数f(x)在−∞,ln−a2上单调递减(2)证明:因为方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2,且0<x1<x2,所以由(1)知,a<0,0<x1<ln−a2<x要证f'(x1x2)<0,即证2ex1x2+a<0,即证ex1x2<-a2,即证x1x2<ln−a2,因为x1x2<x1+x2令g(x)=f(x)-f2ln−a2−x,0<x<ln−a2则g'(x)=f'(x)+f'2ln−a2−x=2ex+a+2e2ln(−a2)−x+a=2ex+2-2a+2a=0,所以函数g(x)在0,ln−a所以g(x)<gln−a2=fln−a所以f(x)<f2ln−所以f(x1)<f2ln−因为f(x1)=f(x2),所以f(x2)<f2ln−又x2>ln−a2,2ln−a2-x1>ln−a2,f(所以x1<2ln−a2-x2,所以f'(x13.(2024吉林省吉林市二模)在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,另一个顶点B在函数f(x)=lnxx(1)当顶点B在x轴上方时,求Rt△OAB以x轴为旋转轴,边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体体积的最大值.(2)已知函数g(x)=eax2−ex+ax2−1x,关于x的方程f(x)=g(x)有两个不等实根x1(i)求实数a的取值范围;(ii)证明:x12+x2解析(1)因为顶点B在x轴上方,所以lnxx>0⇒x由题意知AB⊥x轴.设A(x,0),则Bx,lnxx,所得圆锥体积V=13·πlnxx2·x=设m(x)=ln2xx(x>1),则m'(x由m'(x)>0⇒2lnx-ln2x>0⇒lnx(2-lnx)>0.因为x>1,所以2-lnx>0⇒x<e2,所以m(x)在(1,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减,所以m(x)max=m(e2)=ln2e2e2=4e(2)(i)因为f(x)=g(x),即eax2-ex+ax2-1=lnx,即eax2+ax2=eln(ex)+ln(ex),令u(t)=et+t,所以u(ax2)=u因为u(t)=et+t为增函数,所以ax2=ln(ex),即ax2=lnx+1,所以方程f(x)=g(x)有两个不等实根x1,x2等价于a=lnx+1x2有两个不等实根x1令h(x)=lnx+1x2,则h'(x当x∈0,1e时,h'(x)>0,h(x)当x∈1e,+∞时,h'(x)<0,h(x所以h(x)max=h1e=12当x→0时,h(x)→-∞;当x→+∞时,y=lnx+1与y=x2均为增函数,且y=x2的增长速度更快,故h(x)→0,所以a∈0,1(ii)证明:由(i)知ax12=1+lnx1,ax22=1+lnx2,两式作差得ax12-ax22=lnx1-lnx2则G'(x

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