新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题四对称化构造解极值点偏移问题练习含答案

微专题四对称化构造解极值点偏移问题1.(2024广东湛江一模,18)已知函数f(x)=(1+lnx)eln(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x2>1.解析(1)由题意可得x>0,1ax>0,所以a>0f(x)=(1+lnx)eln1ax=1+lnxax的定义域为f'(x)=1x·ax−(1+ln由f'(x)=0,得x=1,当0<x<1时,f'(x)>0,则f(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则f(x)在(1,+∞)上单调递减.(2)由1+lnxax=1,得1+lnxx=a,设g(x)=1+ln则g'(x)=1x·x−(1+lnx)x2=−lnxx2,由当0<x<1时,g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增,当x>1时,g'(x)<0,则g(x)在(1,+∞)上单调递减.又g1e=0,g(1)=1,且当x>1时,g(x)>0故g(x)=1+lnxx由图知当0<a<1时,方程1+lnxx=a证明:不妨令x1<x2,则0<x1<1<x2,1+lnx1x设h(x)=g(x)-g1x=1+lnxx-x(则h'(x)=−lnxx2+lnx=x2−1x2lnx≥0,0<x<1时,x2−1x2与lnx同时小于0,x=1时,h'(x)=0,x>1时,x2−1x所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,所以h(x1)=g(x1)-g1x1即g(x1)<g1x又g(x1)=g(x2),所以g(x2)<g1x又x2>1,1x1>1,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以x2>故x1x2>1.2.(2024湖南三湘创新发展联合体联考,19)已知函数f(x)=2ex+ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2,且0<x1<x2,f(x)的导函数为f'(x),证明:f'(x1x2解析(1)f(x)=2ex+ax,则f'(x)=2ex+a,当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;当a<0时,令f'(x)<0,得x<ln−a令f'(x)>0,得x>ln−a所以函数f(x)在−∞,ln−a2上单调递减(2)证明:因为方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2,且0<x1<x2,所以由(1)知,a<0,0<x1<ln−a2<x要证f'(x1x2)<0,即证2ex1x2+a<0,即证ex1x2<-a2,即证x1x2<ln−a2,因为x1x2<x1+x2令g(x)=f(x)-f2ln−a2−x,0<x<ln−a2则g'(x)=f'(x)+f'2ln−a2−x=2ex+a+2e2ln(−a2)−x+a=2ex+2-2a+2a=0,所以函数g(x)在0,ln−a所以g(x)<gln−a2=fln−a所以f(x)<f2ln−所以f(x1)<f2ln−因为f(x1)=f(x2),所以f(x2)<f2ln−又x2>ln−a2,2ln−a2-x1>ln−a2,f(所以x1<2ln−a2-x2,所以f'(x13.(2024吉林省吉林市二模)在平面直角坐标系xOy中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,另一个顶点B在函数f(x)=lnxx(1)当顶点B在x轴上方时,求Rt△OAB以x轴为旋转轴,边AB和边OB旋转一周形成的面所围成的几何体体积的最大值.(2)已知函数g(x)=eax2−ex+ax2−1x,关于x的方程f(x)=g(x)有两个不等实根x1(i)求实数a的取值范围;(ii)证明:x12+x2解析(1)因为顶点B在x轴上方,所以lnxx>0⇒x由题意知AB⊥x轴.设A(x,0),则Bx,lnxx,所得圆锥体积V=13·πlnxx2·x=设m(x)=ln2xx(x>1),则m'(x由m'(x)>0⇒2lnx-ln2x>0⇒lnx(2-lnx)>0.因为x>1,所以2-lnx>0⇒x<e2,所以m(x)在(1,e2)上单调递增,在(e2,+∞)上单调递减,所以m(x)max=m(e2)=ln2e2e2=4e(2)(i)因为f(x)=g(x),即eax2-ex+ax2-1=lnx,即eax2+ax2=eln(ex)+ln(ex),令u(t)=et+t,所以u(ax2)=u因为u(t)=et+t为增函数,所以ax2=ln(ex),即ax2=lnx+1,所以方程f(x)=g(x)有两个不等实根x1,x2等价于a=lnx+1x2有两个不等实根x1令h(x)=lnx+1x2,则h'(x当x∈0,1e时,h'(x)>0,h(x)当x∈1e,+∞时,h'(x)<0,h(x所以h(x)max=h1e=12当x→0时,h(x)→-∞;当x→+∞时,y=lnx+1与y=x2均为增函数,且y=x2的增长速度更快,故h(x)→0,所以a∈0,1(ii)证明:由(i)知ax12=1+lnx1,ax22=1+lnx2,两式作差得ax12-ax22=lnx1-lnx2则G'(x