新高考数学一轮复习专题三导数及其应用微专题二同构在导数中的应用练习含答案

微专题二同构在导数中的应用1.(2024云南、广西、贵州、四川联考(二),8)已知a=ln(2e),b=e+1e,c=ln55+1,则a,b,c的大小关系为(BA.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a2.(2024黑龙江哈尔滨模拟,7)设实数m>0,若对任意的正实数x,不等式emx≥lnxm恒成立,则m的最小值为(AA.1eB.12eC.2e3.(2024湖南长沙长郡中学一模,8)已知实数a,b分别满足ea=1.02,ln(b+1)=0.02,且c=151,则(DA.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b4.(2024湖南长沙调研,14)已知对任意x1,x2∈(0,+∞),且当x1<x2时,都有a(lnx2−lnx1)x2−x1<1+15.(2024山东菏泽一模,14)关于x的不等式xeax+bx-lnx≥1(a>0)恒成立,则ba的最小值为-16.(2024天津红桥二模,20)已知函数f(x)=aex−1x的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2(1)求a的值及函数f(x)的单调区间;(2)证明:对任意正实数λ,关于x的不等式exlnx-lnx+x2+(λ−1)x−解析(1)因为f(x)=aex−1x,所以f(1)又f'(x)=axex−aex+1x2,又函数f(x)的图象在(1,f(1))处的切线经过点(2,e),所以ae−1−e1−2=1,解得a所以f(x)=ex−1x,函数的定义域为(-∞,0)∪(0f'(x)=xe令g(x)=xex-ex+1,则g'(x)=xex,所以当x>0时g'(x)>0,当x<0时g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,所以当x≠0时xex-ex+1>0恒成立,即f'(x)>0恒成立,所以f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递减区间.(2)证明:若exlnx-lnx+x2+(λ−1)x−由x∈(1,+∞),lnx>0,得ex+λ≥lnx+x2+(λ−1)x−λlnx在区间(1,+∞所以ex+λ-1≥(x+λ)(x−1)lnx在区间(1,+∞)上恒成立,(提示:由f(又λ>0,所以x+λ>0,所以ex+λ−1x+λ≥x−1lnx即f(x+λ)≥f(lnx)在区间(1,+∞)上恒成立,由(1)可知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以x+λ≥lnx在区间(1,+∞)上恒成立,即λ≥-x+lnx在区间(1,+∞)上恒成立,令h(x)=-x+lnx,x∈(1,+∞),则h'(x)=-1+1x=1−x所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)<h(1)=-1,即-x+lnx<-1在区间(1,+∞)上恒成立,所以λ>0时λ≥-x+lnx在区间(1,+∞)上恒成立,即对任意λ∈(0,+∞),关于x的不等式exlnx-lnx+x2+(λ−1)x−7.(2024河北沧州一模,19)已知函数f(x)=xae2x(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x>0时,不等式f(x)-cos(lnf(x))≥alnx2-4x恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=x2f'(x)=2x·e2令f'(x)=0,解得x=0或x=1,所以x,f'(x),f(x)的关系如表,x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减0单调递增1单调递减所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(-∞,0),(1,+∞);极大值为f(1)=1e2,极小值为f(0)(2)f(x)-cos(lnf(x))≥alnx2-4x⇔xae2x-coslnxae2x≥2alnx-4x⇔ealnx-2x-2(alnx-2x)-cos(alnx-2x令g(t)=et-2t-cost,其中t=alnx-2x,设F(x)=alnx-2x,a>0,F'(x)=ax-2=a令F'(x)>0,解得0<x<a2,令F'(x)<0,解得x>a所以函数F(x)在0,a2上单调递增,在a则F(x)max=Fa2=alna2-a,且当x→0+时,F(x)所以函数F(x)的值域为−∞所以t∈−∞g'(t)=et-2+sint,设h(t)=et-2+sint,则h'(t)=et+cost,t∈−∞当t≤0时,et≤1,sint≤1,且等号不同时成立,即g'(t)<0恒成立;当t>0时,et>1,cost≥-1,即h'(t)>0恒成立,所以h(t)即g'(t)在(0,+∞)上单调递增,又g'(0)=-1,g'(1)=e-2+sin1>0,所以存在t0∈(0,1),使得g'(t0)=0,当0<t<t0时,g'(t)<0,当t>t0时,g'(t)>0,所以函数g(t)在(-∞,t0)上单调递减,在(t0,