新高考数学一轮复习专题九计数原理、概率与统计微专题二概率与数列综合问题练习含答案

微专题二概率与数列综合问题1.(2024广东湛江一模,17)甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格,第2格,……,第25格,棋子开始在第1格,盒中有5个大小相同的小球,其中3个红球,2个白球(5个球除颜色外都相同).每次甲在盒中随机摸出两球,记下颜色后放回盒中,若两球颜色相同,棋子向前跳1格;若两球颜色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格时,游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pn(n=1,2,3,…,25).(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X,求X的分布列和期望;(2)证明:数列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)为等比数列.解析(1)根据题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C22C52=110,P(X=1)=C21C31C52=610=X012P133所以E(X)=0×110+1×35+2×310(2)证明:由(1)知两球颜色相同的概率为25,颜色不同的概率为3棋子在第1格为必然事件,则P1=1,棋子跳到第2格的概率为P2=25,所以P2-P1=-3当3≤n≤24时,Pn=25Pn-1+35Pn所以5(Pn-Pn-1)=-3(Pn-1-Pn-2),所以Pn−P所以数列{Pn-Pn-1}是以-35为首项,-352.(2024甘肃二诊,18)民间谚语“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽子”,体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着悠久的历史.据考证,踢毽子起源于中国汉代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中学校为弘扬传统文化,增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动.在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次数,从中抽取100名学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将踢毽子每分钟次数样本数据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值;(2)“团体竞赛”规则为,每班选出由3名选手组成的代表队参赛,上场的甲、乙、丙3人,由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两人中的1人,如此不停地传下去,直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢个数作为团队成绩.记第i(i∈N*)次传踢之前毽子在甲的概率为ai,易知a1=1,a2=0.求第6次传踢前,毽子传到甲的概率a6,并讨论第i次传踢前(i∈N*,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大.解析(1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈[45,50),依题意有(x-45)×0.06=0.6-(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,即x=45+0.050.06≈46(2)设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率为bi,ci,由传递的对称性知bi=ci,又ai+bi+ci=1,则有bi=ci=1−ai2,ai+1=12×1−ai2所以ai+1=-ai2+12,即有ai+1-13=-12所以ai−13为等比数列,其中首项为a1-13=23,公比为-12,即所以ai=13+23−12i−1(i∈Ni为偶数时,ai<13,bi=ci>13,i为奇数时,ai>13,bi=ci<13,3.(2024安徽皖南八校联考,18)现有甲、乙两个不透明盒子,都装有1个红球和1个白球,这些球的大小、形状、质地完全相同.(1)若从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中,n(n∈N*)次这样的操作后,记甲盒子中红球的个数为Xn.求X1的分布列与数学期望;(2)现从甲中有放回地抽取n(n≥3)次,每次抽取1球,若在抽取次数不超过n次的情况下,抽取到2次红球,则停止抽取,一直抽取不到2次红球,第n次抽取完也停止抽取,令抽取停止时,抽取的次数为Y(Y=2,3,4,…,n),求Y的数学期望E(Y).并证明:E(Y)-k=2n−1解析(1)由题意可知X1的所有可能取值为0,1,2,且P(X1=0)=12×12=14,P(X1=1)=12×12+12×12=12,P(X1=2X1的分布列如下:X1012P111E(X1)=0×14+1×12+2×1(2)当Y<n时,P(Y=k)=Ck−1112×12k−2×12=k−12k(k=2,当Y=n时,P(Y=n)=1-122+2记Sn=122+22则12Sn=123+2两式相减得12Sn=122+123+…+12n−1-n−2所以Sn=1-n2n−1,所以P(Y=n)=1-1+n所以E(Y)=k=2n−1kP(Y=k)+nP(Y=n)=k记an=E(Y)-k=2n−1k(k则an+1-an=(n+1)2当n≥3时,−(n−1)2+22n<0,所以an+1<an所以E(Y)-k=2n−1k4.(2024湖南部分学校大联考(二),18)将保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号,统计抽取到每个区域的某种水源指标xi和区域内该植物分布的数量yi(i=1,2,…,15),得到数组(xi,yi).已知i=115(xi−x)2=45,i=115(yi-y)2=8000,i=115(1)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,15)的相关系数.(2)假设该植物的寿命为随机变量X(X可取任意正整数).研究人员统计大量数据后发现:对于任意的k∈N*,寿命为k+1的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于0.1,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.(i)求P(X=k)(k∈N*)的表达式;(ii)推导该植物寿命的期望E(X).附:相关系数r=i=1解析(1)由i=115(xi−x)2=45,i=115(yi−y得相关系数r=i=115(xi−(2)(i)依题意,P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1,又P(X=k+1|X>k)=P(X=k+1)P(X>k),则P(X=k+1)当k≥2时,把k换成k-1,得P(X=k)=0.1P(X>k-1)②,①-②,得P(X=k)-P(X=k+1)=0.1P(X=k),即P(X=k+1)P(又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1-P(X=1))=0.9P(X=1),于是P(X=k+1)P(X=从而{P(X=k)}是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,所以P(X=k)=0.1×0.9k-1.(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+kP(X=k)=0.1×0.90+0.2×0.91+…+0.1×(k-1)×0.9k-2+0.1×k×0.9k-1=0.1[0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1],令Tk=1×0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1,则0.9Tk=1×0.91+2×0.92+…+(k-1)×0.9k-1+k×0.9k,两式相减得0.1T