第13讲 椭圆（十大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第13讲椭圆【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义题型二：求椭圆的标准方程题型三：椭圆的综合问题题型四：轨迹方程题型五：椭圆的简单几何性质题型六：求椭圆的离心率题型七：求椭圆离心率的取值范围题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围题型九：椭圆中的范围与最值问题题型十：焦点三角形【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点诠释：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；知识点诠释：(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2)在椭圆的两种标准方程中，都有和；(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；(4)在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：(1)待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.(2)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆(a＞b＞0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，(a＞b＞0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。【典例例题】题型一：椭圆的定义例1．(2023·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末)设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是(

)A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段例2．(2023·高二课时练习)设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为(

)A．12 B．24 C． D．例3．(2023·高二课时练习)已知，动点C满足，则点C的轨迹是()A．椭圆 B．直线C．线段 D．点例4．(2023·上海静安·高二校考期中)设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为(

)A． B． C．4 D．例5．(2023·全国·高二专题练习)已知点，动点P满足，则点P的轨迹为(

)A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段题型二：求椭圆的标准方程例6．(2023·上海·高二专题练习)方程，化简的结果是(

)A． B． C． D．例7．(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为(

)A． B．C． D．例8．(2023·高二课时练习)已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的标准方程.例9．(2023·全国·高二专题练习)求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；(3)经过点两点.例10．(2023·广西·高二广西师范大学附属中学校考期中)根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为，过点；(2)经过两点．例11．(2023·吉林长春·高二校考期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为，，经过点；(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.题型三：椭圆的综合问题例12．(2023·广西柳州·高二校考期末)若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求三角形的面积.例13．(2023·高二课时练习)已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．例14．(2023·高二课时练习)已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且．(1)求椭圆的方程；(2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积；(3)设点P在这个椭圆上，且，求的长．例15．(2023·高二课时练习)已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积．例16．(2023·高二课时练习)已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求(1)(2)的面积例17．(2023·广西·高二校联考期中)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点．求使面积最大时直线l的方程．例18．(2023·高二课时练习)在椭圆内有一点，过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B，C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆的方程．例19．(2023·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中)已知椭圆的长轴长是，焦点坐标分别是，.(1)求这个椭圆的标准方程及离心率；(2)如果直线与这个椭圆交于两不同的点，求的取值范围.例20．(2023·浙江宁波·高二校考期中)已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.例21．(2023·全国·高二专题练习)已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．题型四：轨迹方程例22．(2023·山东菏泽·高二统考期末)点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为(

)A． B． C． D．例23．(2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习)已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是(

)A． B． C． D．例24．(2023·高二课时练习)在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是(

)A． B．C． D．例25．(2023·河南洛阳·高二校考阶段练习)已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例26．(2023·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考期末)已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例27．(2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中)当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例28．(2023·北京通州·高二统考期末)如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例29．(2023·山西运城·高二校联考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知圆：(圆心为)，点，点Р在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例30．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习)设P为椭圆上一动点，分别为左､右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例31．(2023·北京·高二北京二中校考阶段练习)设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是(

)A． B． C． D．例32．(2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中)已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例33．(2023·甘肃兰州·高二兰州市第二十八中学校考期末)已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(

)A． B．C． D．例34．(2023·江苏连云港·高二统考期中)已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为(

)A． B．C． D．题型五：椭圆的简单几何性质例35．(2023·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中)椭圆的焦距为______.例36．(2023·广东梅州·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则______.例37．(2023·天津宁河·高二校考阶段练习)椭圆的一个焦点是，则实数的值为________.例38．(2023·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习)若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.例39．(2023·高二课时练习)椭圆的内接正方形的周长为__________．例40．(2023·高二课时练习)一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为__________．例41．(2023·高二课时练习)已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．题型六：求椭圆的离心率例42．(2023·福建泉州·高二校联考期中)椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为(

)A． B． C． D．例43．(2023·高二课时练习)椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()A． B．-1 C． D．例44．(2023·高二课时练习)直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于()A． B．C． D．例45．(2023·湖北·高二校联考期中)记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．例46．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为()A． B． C． D．例47．(2023·山西晋中·高二介休一中校考阶段练习)已知椭圆的右顶点为，下顶点为，为坐标原点，且点到直线的距离为，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．例48．(2023·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期中)已知椭圆：()的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为(

)A． B． C． D．例49．(2023·陕西汉中·高二统考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆E上的点P满足轴，，则椭圆E的离心率为(

)A． B． C． D．例50．(2023·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习)已知椭圆E:的左，右焦点分别为，(如图)，过的直线交E于P，Q两点，且轴，，则的离心率为(

)A． B． C． D．题型七：求椭圆离心率的取值范围例51．(2023·高二课时练习)已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是(

)A． B．C． D．例52．(2023·河南安阳·高二安阳市第三十九中学校考阶段练习)已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(

)A． B．C． D．例53．(2023·高二课时练习)已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是(

)A． B． C． D．例54．(2023·高二课时练习)已知椭圆，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使得，则该椭圆离心率的取值范围为(

)A． B． C． D．例55．(2023·湖北·高二赤壁一中校联考期末)已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是(

)A． B． C． D．例56．(2023·全国·高二专题练习)已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是(

)A． B． C． D．例57．(2023·江苏苏州·高二江苏省梁丰高级中学校考期中)已知椭圆的左右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为(

)A． B． C． D．例58．(2023·安徽滁州·高二校考阶段练习)在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是(

)A． B． C． D．例59．(2023·全国·高二专题练习)设椭圆的两个焦点分别为，若在轴上方的上存在两个不同的点满足，则椭圆离心率的取值范围是(

)A． B． C． D．例60．(2023·海南·高二统考学业考试)已知椭圆的焦距大于2，则其离心率的取值范围为(

)A． B． C． D．例61．(2023·山东日照·高二统考期末)已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为(

)．A． B． C． D．题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围例62．(2023·广东阳江·高二校考期末)已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为______.例63．(2023·四川乐山·高二校考期中)已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是___________.例64．(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为______．例65．(2023·全国·高二专题练习)若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；

③；④.则所有结论正确的序号是_____.例66．(2023·浙江·高二期末)椭圆的离心率是椭圆上关于轴都不对称的两点，线段的垂直平分线与x轴交于点，若的中点为，则的值为_______．例67．(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且离心率为，求短轴长为______.题型九：椭圆中的范围与最值问题例68．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末)已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是______．例69．(2023·陕西宝鸡·高二统考期末)已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_______．例70．(2023·陕西咸阳·高二统考期末)已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为______．例71．(2023·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期中)设､是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为___________.例72．(2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习)若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为__________.例73．(2023·上海·高二专题练习)设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为______.例74．(2023·高二课时练习)已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．例75．(2023·广东汕头·高二汕头市聿怀中学校考期末)已知椭圆：的右焦点F，点Р在椭圆C上，又点，则的最小值为___________.例76．(2023·全国·高二专题练习)过椭圆1(a＞b＞0)的中心作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为__．例77．(2023·高二单元测试)过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长的最小值为___________.例78．(2023·高二单元测试)若点M是椭圆＋＝1上的一点，O为坐标原点，则|OM|的最大值和最小值分别是__________．例79．(2023·重庆南岸·高二重庆市南坪中学校校考阶段练习)已知椭圆：的左焦点为，点，为椭圆上一动点，则的周长的最小值为________.题型十：焦点三角形例80．(2023·高二课时练习)已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．例81．(2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.例82．(2023·广西南宁·高二统考开学考试)已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为______.例83．(2023·河南开封·高二校考阶段练习)设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为________.例84．(2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中)设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为_______.例85．(2023·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中)设是椭圆的左，右焦点，点在上，为坐标原点，且，则的面积为___________.例86．(2023·广东深圳·高二深圳中学校考期末)已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的值为__．例87．(2023·高二单元测试)椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．例88．(2023·高二单元测试)椭圆的两个焦点为､，点P在椭圆C上，且，，，则椭圆C的方程为___________.例89．(2023·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习)椭圆(为非零常数)的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．【过关测试】一、单选题1．(2023·山西大同·高二统考期末)如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为2，是的中点，是坐标原点，则的长为(

)A．6 B．10 C．8 D．122．(2023·山西晋中·高二统考期末)曲线和，则和更接近圆的是(

)A． B． C．相同 D．无法判断3．(2023·高二单元测试)是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是(

)A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线4．(2023·福建福州·高二校联考期中)椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为(

)A． B． C． D．5．(2023·高二课时练习)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(

)A． B．C． D．6．(2023·高二课时练习)已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为(

)A． B． C． D．7．(2023·高二课时练习)椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为(

)A． B．4 C．7 D．8．(2023·高二课时练习)已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为(

)A．2 B．3 C． D．4二、多选题9．(2023·高二课时练习)已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是(

)A． B． C． D．10．(2023·湖南常德·高二常德市一中校考期中)关于椭圆有以下结论，其中正确的有(

)A．离心率为 B．长轴长是C．焦距2 D．焦点