第11讲 圆的方程（六大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第11讲圆的方程【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：二元二次曲线与圆的关系题型五：圆过定点问题题型六：轨迹问题【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径．知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内知识点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．知识点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解．它表示一个点．(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据已知条件，建立关于或的方程组．(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法)．2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3、求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用表示轨迹(曲线)上任一点的坐标；(2)列出关于的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答．【典例例题】题型一：圆的标准方程例1．(2023·高二课时练习)圆心在原点，半径是的圆的标准方程为(

)A． B．C． D．【解析】因为圆的圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为，故选：A.例2．(2023·高二单元测试)圆关于直线对称的圆是(

)A． B．C． D．【解析】圆圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则，解得，所以点关于直线对称的点为，所以圆关于直线对称的圆是.故选：D.例3．(2023·新疆昌吉·高二校考期末)已知圆C的圆心在直线2x－y－7＝0上，且圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的标准方程为(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【解析】设圆心，因为，所以，解得，则半径为，圆心.即圆C的标准方程为.故选：B例4．(2023·高二课时练习)已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为(

)A． B．C． D．【解析】由圆C：可知圆心，，故以为直径的圆的圆心为，半径为，故所求圆的方程为：.故选：D例5．(2023·福建漳州·高二统考期末)若过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为(

)A． B．C． D．【解析】直线的方程：，即，直线的垂直平分线经过点，，半径，从而圆的方程为：，故选:D.例6．(2023·福建福州·高二校联考期末)若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线的距离为(

)A． B． C．5 D．3【解析】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为，，，所以设圆的方程为且，则圆心到直线的距离为.故选：A例7．(2023·全国·高二专题练习)三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是(

)A． B．C． D．【解析】依题意，直线AC斜率，直线BC斜率，有，即，因此外接圆是以线段为直径的圆，AB的中点为，半径，所以外接圆方程是，即.故选：A例8．(2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为(

)A． B．C． D．【解析】设圆的标准方程为，因为圆经过点，，且圆心在直线上，所以有，因此圆的标准方程为，故选：A例9．(2023·四川眉山·高二仁寿一中统考期中)与直线切于点，且经过点的圆的方程为(

)A． B．C． D．【解析】设圆的方程为，根据题意可得，解得，所以该圆的方程为.故选：D.例10．(2023·高二课时练习)已知圆的圆心在轴上，半径长为，且过点的圆的标准方程为(

)A． B．C． D．【解析】设圆心，则半径，解得：，所以圆的标准方程为，故选：D.题型二：圆的一般方程例11．(2023·高二课时练习)圆的半径为(

)A．2 B．4 C．8 D．16【解析】圆，即，所以半径.故选：B例12．(2023·山东临沂·高二统考期末)已知圆，则圆心及半径分别为(

)A． B． C． D．【解析】圆，即，所以圆心为，半径为.故选：A例13．(2023·高二课时练习)求以为圆心，且经过点的圆的一般方程(

)A． B．C． D．【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.例14．(2023·天津和平·高二统考期末)三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是(

)A． B．C． D．【解析】设所求圆方程为,因为，，三点都在圆上，所以，解得，即所求圆方程为：.故选：C.例15．(2023·天津武清·高二天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为()A． B．C． D．【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为，因为圆经过两点，，且圆心在直线上，所以，解得，所以圆的方程为.故选：C.例16．(2023·高二课时练习)若不同的四点，，，共圆，则a的值为(

)A．1 B．3 C． D．7【解析】设圆的方程为，分别代入A，B，C三点坐标，得，解得，所以A，B，C三点确定的圆的方程为．因为也在此圆上，所以，所以，解得a＝7或(舍去)．故选：D．例17．(2023·全国·高二专题练习)与圆同圆心，且过点的圆的方程是(

)A． B．C． D．【解析】依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得，所以所求圆的方程为．故选：B题型三：点与圆的位置关系例18．(2023·高二课时练习)点与圆的位置关系是(

)A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【解析】圆的圆心为，半径，，故点在圆内.故选：B例19．(2023·全国·高二专题练习)点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(

)A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值有关【解析】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：恒成立，故点P在圆外，故选：A.例20．(2023·重庆巴南·高二巴南中学校校考期中)点与圆的位置关系是(

)．A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．不确定【解析】因为，所以点在圆外.故选：B例21．(2023·河南周口·高二校考阶段练习)已知圆的方程是，则点(

)A．在圆心 B．在圆上C．在圆内 D．在圆外【解析】因为，所以点P在圆内．故选：C．题型四：二元二次曲线与圆的关系例22．(多选题)(2023·高二课时练习)下列方程不是圆的一般方程的有(

)A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根据二元二次方程表示圆的条件，对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程；对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程；对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.例23．(多选题)(2023·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期中)方程表示圆，则实数a的可能取值为(

)A．4 B．2 C．0 D．【答案】AD【解析】把方程整理成，即，若表示圆则满足即，即所以或，观察答案中只有和符合题意.故选：AD例24．(多选题)(2023·广西柳州·高二校联考期中)已知方程，下列叙述正确的是(

)A．方程表示的是圆.B．当时，方程表示过原点的圆.C．方程表示的圆的圆心在轴上.D．方程表示的圆的圆心在轴上.【答案】BC【解析】由得：；对于A，若，即，则方程不表示圆，A错误；对于B，当时，方程为，则方程表示以为圆心，半径为的圆，此圆经过原点，B正确；对于CD，若方程表示圆，则该圆圆心为，半径为，则圆心在轴上，不在轴上，C正确，D错误.故选：BC.例25．(多选题)(2023·广东揭阳·高二统考期末)已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为(

)A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】因为方程表示一个圆，所以，化简得，解得.故选：BC.例26．(多选题)(2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习)方程表示圆的充分不必要条件可以是(

)A． B．或C． D．【答案】CD【解析】可化为：，因为该方程表示圆，故即或，即方程表示圆的充要条件为或.因为，均为的真子集，不是的真子集，故，均为方程表示圆的充分不必要条件，故选：CD.例27．(多选题)(2023·高二单元测试)使方程表示圆的实数a的可能取值为(

)A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】，配方得：，要想表示圆，则，解得：，故选：BC题型五：圆过定点问题例28．(2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中)对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.例29．(2023·全国·高二专题练习)若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______【答案】【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.例30．(2023·全国·高二专题练习)已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为_______(其坐标与无关)【答案】和【解析】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则，①－②得，，∴，从而，代入③得，∴圆方程为，整理得，由得或．∴圆过定点和．例31．(2023·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习)对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.例32．(2023·高二课时练习)已知方程表示圆，其中，且a≠1，则不论a取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.【答案】【解析】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.由，解得即定点坐标为.故答案为题型六：轨迹问题例33．(2023·高二课时练习)已知线段AB的端点B的坐标为，端点A在圆C：上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【解析】设点P的坐标为，点A的坐标为，又，且P为线段AB的中点，所以，则.因为点A在圆C：上运动，即有，代入可得，，整理可得，化为标准方程可得.所以，中点P的轨迹方程为，该轨迹为以为圆心，1为半径的圆.例34．(2023·高二课时练习)如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.例35．(2023·江西宜春·高二校考阶段练习)已知方程表示圆，其圆心为.(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.【解析】(1)方程可变为：由方程表示圆，所以，即得，.圆心坐标为.(2)当时，圆方程为：，设，又为线段的中点，的坐标为则，由端点在圆上运动，即线段中点的轨迹方程为.例36．(2023·河南南阳·高二校考阶段练习)已知圆经过，，三点.(1)求圆的方程；(2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程.【解析】(1)设圆的方程为，将三点，，分别代入方程，则，解得，，，所以圆的方程为；(2)设，，因为点满足，，所以，，则，所以.因为点在圆上运动，所以，所以，所以，所以点的轨迹方程为.例37．(2023·北京通州·高二统考期中)已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.(1)求圆的标准方程；(2)若动点与点的距离等于2，求点的轨迹方程.【解析】(1)将圆心坐标代入直线得，则，所以圆心坐标为，，故圆的标准方程为.(2)由点与点的距离等于2，则点是以点为圆心，半径为2的圆，所以点的轨迹方程为.例38．(2023·江苏扬州·高二邵伯高级中学校考阶段练习)(1)已知两定点，若动点P满足，则P的轨迹方程．(2)已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程．【解析】(1)设，又，则，所以.(2)设，则，，可得，由A在圆上，则，所以B的轨迹方程为.例39．(2023·高二课时练习)设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.【解析】设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，，从而.N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.直线方程为，由，得或，所以所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).例40．(2023·高二课时练习)已知，动点P满足，求动点P的轨迹．【解析】由题意，点，动点满足，所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标为，半径为，所以点的轨迹方程为，其中且.所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，且除去点和.【过关测试】一、单选题1．(2023·重庆·高二统考学业考试)已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，所以圆心为，直径为，所以圆的标准方程是.故选：C.2．(2023·高二课时练习)若圆的圆心到直线的距离为，则实数a的值为(

)A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为：，所以，圆心为，半径.因为圆心到直线的距离为，所以，，即，所以，所以或.故选：A.3．(2023·高二课时练习)已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】将圆化成标准形式得，所以已知圆的圆心为，半径，因为圆与圆关于直线对称，所以圆的圆心与点关于直线对称，半径也为1，设可得，解得，所以，圆的方程是，故选：B4．(2023·高二课时练习)已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等，因为圆，即，所以圆心，半径为，设圆关于直线对称点为，则，解得，即，所以圆的方程为，即.故选：A.5．(2023·高二课时练习)过三点的圆的一般方程为(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．6．(2023·高二课时练习)若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】因为圆心，，所以圆心，因为是圆的弦的中点，所以，所以，则直线的方程为，即，故选：C.7．(2023·高二校考课时练习)若点在圆的内部，则a的取值范围是().A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D8．(2023·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习)动直线平分圆的周长，则的最小值(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，动直线过圆的圆心，则，又，则，当且仅当且，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D.二、多选题9．(2023·湖南郴州·高二校考期中)圆()A．关于点对称 B．半径为C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】ABD【解析】可化为，即该圆圆心为，半径为.由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确；因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误；因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确；故选：ABD10．(2023·广东揭阳·高二统考期末)已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为(

)A． B．0 C． D．【答案】BC【解析】因为方程表示一个圆，所以，化简得，解得.故选：BC.11．(2023·甘肃酒泉·高二敦煌中学校考期中)已知点在圆的外部，则的取值可能是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】由题意可得，解得，故选：AC.12．(2023·高二课时练习)已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是(

)A．圆的圆心是B．圆的半径是2C．D．的取值范围是【答案】ABCD【解析】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得，所以，圆心为，半径为，故A、B正确；对于C项，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故C项正确；对于D项，由C知，所以，所以的取值范围是，故D项正确.故选：ABCD.三、填空题13．(2023·高二课时练习)若l是经过点和圆的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．【答案】【解析】将圆化为标准方程可得，，所以圆心为.代入直线的两点式方程，整理可得.所以，l在y轴上的截距是.故答案为：.14．(2023·高二课时练习)圆过点、，求面积最小的圆的一般方程为________________．【答案】【解析】当为圆的直径时，过、的圆的半径最小，从而面积最小．因为点、，线段的中点为，，故所求圆的半径为，所以，所求圆的方程为，即.故答案为：.15．(2023·高二课时练习)过圆外一点作圆的两条切线，切点A、B，则的外接圆的方程是________．【答案】【解析】由圆，得到圆心O坐标为，,，∴的外接圆为四边形的外接圆，如图所示，又，∴外接圆的直径为，半径为，外接圆的圆心C为线段OP的中点，即，则的外接圆方程是．故答案为：16．(2023·浙江丽水·高二统考期末)在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段AP的中点的轨迹方程是______．【答案】【解析】

如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为.故答案为：.四、解答题17．(2023·高二课时练习)已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程.【解析】因为圆心在直线上，，