立体几何初步中的线面角、二面角问题-【题型·技巧培优系列】2022-2023年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第三册）（解析版）

专题11立体几何初步中的线面角、二面角问题

今常考题型目录

题型1直线与平面所成角............................................................................2

题型2定义法求二面角.............................................................................13

题型3三垂线法求二面角..........................................................................20

题型4垂面法求二面角.............................................................................35

题型5补形法......................................................................................51

题型6补角法......................................................................................58

题型7射影法......................................................................................59

但知识梳理

知识点一.直线与平面所成的角

1.直线与平面所成角定义：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。

2.由定义可知：斜线与平面所成角的范围为（0,6具体操作方法：

①在直线上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面a引（通常都是找+证明）垂线A0;②连接斜足与

垂足MO;

③则斜线与射影MO所成的角AAMO,就是直线与平面所成角.

知识点二.二面角

/.二面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.

2.二面角的平面角定义：过二面角棱上一点分别在两个半平面内引垂线，两垂线所成的角叫做二面角的平面

角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.

如图，点0是二面角a-1-B的棱/上一点，MOua,NOup,且OMJd,ONL,则/MON即为二面角a-中

的平面角.

2.二面角的求法

(7)定义法：按定义把二面角画出来.

(2)垂线法：过其中一个面a内一点P向另夕一个面夕引垂线，得垂足Q,再过点Q向两个面的交线引垂

线得另一垂足0,连接0P,则POQ即为所求的二面角(如下图所示).

叵题型分类

题型1直线与平面所成角

【例题1](2023•高一课时练习)如图―悴□□□□一口1口1口[口[,口口=口，口□=□□[=□.

口>口,。是棱上的一个动点，若点二运动到棱口。靠近。的一个三等分点时，恰有1口□,

求此时O4与平面。。。。所成的角.

【答案】30°

【分析】结合长方体的结构特点，可知口a与平面口。。0所成的角为/口□□,由10a及勾股

定理可得。=I遮O,进而可求出tan/。OO=常得出结果.

【详解】—悔□□□□-口1口1口、口1中，皿口口=□，口口=□□[=口,

所以=4+行，ad2-=+4，口仆=(炉+4,

因为&U1底面,口□u平面口□□□,所以4D1口□,

所以。口与平面。。。。所成的角为N4□□,

口/=口比+口己=汐+24,

由条件1口陶得口序=口厅■+口子,解得〃=|&O,

因血aWJR口=嗡=量将=1,

因为0。＜乙口、口口＜90°,

所以/4〃0=30°,O4与平面口。口。所成的角为30。，

故答案为：30°

【变式1-1】1.(2023•全国•高一专题练习百梅□□□□-口1口1口1口向直线口1口与平面口口口1口1

所成角大小为.

【答案】30°#畔

0

【分析】由线面角的定义及线面垂直的判定找到线面角的平面角，进而求其大小.

【详解】如下图，由正方体性质知：，&Z7,目□□【□□、口=□，部□□、工口[口,

又口ZZ71面Z7ZZ7Z71a,□、□□□□、□、,故。ZZ7_L口、口,

由口口1n□口=□,□□、,□□(=^口口口1口1,故□[□遹□□□、口、、

所以N4。二为直线&口与平■面□□□]口所成角的平面角，显然sinz&□□=咨

LJ\LJN

又乙口、□□€[0,90°],故上□、□□=30°.

故答案为：30°

【变式1-1】2(2023春•全国•高一专题练习如图在长方体。口。口-口1口1口1口、中，口□=口□=2,

口。与所成的角为3,则口a与平面0aa。所成角的正弦值为

【答案】孑#。5

【分析】由题可得DOOO-aaa&为正方体，根据正方体的性质结合条件可得na。。为直线

口a与平面。口1所成角，进而即得.

【详解】因为在长方体。OOO-口、口、口、口内，口口=口口=2,

・•.上下底面为正方形，

连接口&,则口,&口与所成的角为

与。&所形成的角为g,即0O，,

:口、%正方形，□□□□一口、口、da为正方体，

设□、n□、□、=口t则□、□-L□[□],

因为0zi7_L平面aaa,azz7u平面&azz71a,

所以Z7i£7J_Dy口,又&Z7n□、4£7u平面Z7&□、口,□、&u平面ZJ.□、U,

所以&a1平面。a□1a,连接DO,

则naDR直线。&与平面。&所成角,

由题可知RtA□[,□□1=2V2,0^=72,

.••sinz=：,即与平面□□】•斤斤成角的正弦值为提

故答案为:

【变式1-1]3.（2023・高一课时练习）如图，已知边长为2的正方1体□□□□-,点。为

线段00的中点，则直线。。与平面4口。。1所成角的正切值为.

【分析】连接口a,交a行。，利用线面垂直的判定定理可得。口，平面a/口口功口口与

平面aSa所成角，在直角三角形。。。中，求出£7/7,£70可得答案.

连接,交口1口与口,所以口口11口口,连接

因为□□上平面口口口1口1,ZJOU平面口oaq,

所以OZ7J.□□,又口口1口口,所以£701口□,且aOn□口=口,

□\口、面口\□□□、,所以□□工平面口1口口口1,

所以NDUD%0口与平面口、□□口、所成角，

在直角三角形。。。中,00=2,O£7=iV4T4=V2,

所以tag□□口=转=%

故答案为：察

【变式1-1】4•(2023•全国•高一专题练习)如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中.

⑴求AiB与平面AA1D1D所成的角；

⑵求AiB与平面BB1D1D所成的角.

【答案】(1)45。

(2)30°

【分析】⑴根据AB,平面AAiDiD找出AiB与平面AAQiD所成的角的平面角，求解即可；

(2)连接A1Q交BiDi于点0,连接B0.证明AQ_L平面BBiDiD,从而确定AiB与平面BBiDiD所成的角

的平面角，求解即可.

【详解】(1),.在正方体ABCD-AiBiCiDi中,AB_L平面AAiDiD,

-ZAA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角,

在,4口口口、=90°,□□=口口1,

z£7Z71O=45°,

.〔AiB与平面AAiDiD所成的角是45。.

（2）连接AiCi交BiDi于点O,连接BO.

.BBi平面A1B1JD1,4£7u平面AIB1JD1,/.BBi±AiO,

又「AIOLBIDI,BBiDBiDi=Bi,□□、,□、口、u平面BB1D1D,

「.AiOJ_平面BBiDlD,

.•.zAiBO就是AiB与平面BBiDiD所成的角.

设正方体的棱长为1,则AiB=疙，A1O=今

*“□[□□=90°,

.-.sinzAiBO=^=^,又0。0乙90°,.-.z£71Z7£7=30°,

LJyLJ2

•••AiB与平面BBiDiD所成的角是30°.

【变式1-1]5.（多选）（2023•全国•高一专题练习）如图，□□工平面□□□□,正方形0/7。。边长

为1,E是CD的中点，F是AD上一点，当口口_10谢，则（）

A.□□:口□=2:1

B.□□：□□=1:1

C.若PA=1,则异面直线PE与BC所成角的余弦值为|

D.若PA=1,则直线PE与平面口。。。所成角为30°

【答案】BC

【分析】连接,证明口£九£70,计算判断AB;求出异面直线夹角余弦、线面角的正弦判断CD作答.

【详解】连接OO,如图，

因为口口人平面□□口口,Z7Z7u平面□□口口,则□□I□口,而DDL□口,口口门口□:

□,□口u平面□□□,

于是□□工平面□□□,又。〃u平面OO。，因此OZ71口口,

谢方形口。。中,上口口□=乙□□□,携=tanzOO£7=匕=口口口=卷=]

则£70=□□=%,□□=1：1,A镯吴，B正确；

取OO中点口，超妾口口,则口口”口口,异面直线PE与BC所成的角或其补角，

而□□L平面□□口口,口口匚礴□□口口,有,又OZ71口□,

□□c□□=口,口口,口口匚钙口口口期幅口口1^□口口，口口u晒口口口，于是□□L.

□□=d口3+口3=□□=1,□□=J口[^+口存=I,因此COSNZZ70Z7=端=|,C正确;

由。。1平面口口口诙,NOO。是直线PE与平面次斤成的角，sin/SO=需=|,

显然乙□□□丰30°,D错误.

故选：BC

【变式1-1]6.（2023・全国•高一专题练习）如图的四面体。。口口中,所以棱长均相等，每个面都是全

等的正三角形，D,侬别是棱。量勺中点，则直线。A与平面所成角的大小为.

o

B

【答案】f

【分析】由题意得，四面体二为正四面体，进而可以证明OO1平面OOO,求出线面角.

0

如图，频,

由题意得，四面体口ooa为正四面体，

所以1口□,口□1口口,

因为口口门口□与点、口,Z7ZZ7U平面OOO,UUu平面□□□,

所以平面ODD,

所以直线口口与平面所成角的大小为今

故答案为:提

【变式1-1]7.（2023春・全国•高一专题练习）已知点。是边长为2的菱形所在平面外一点，且

点O在底面的射影是口〃与。戢交点O,已求"□□口=60°,△002是等边三角形.

⑴求证：

(2)求点。到平面口口)勺距离；

(3)若点O是线段。。上的动点，问：点。在何处时，直线口。与平面。。。所成的角最大？求出最大角的

正弦值，并说明点at匕时所在的位置.

【答案】(1)证明见解析

⑵警

(3)。在线段。。上靠近a点的淞，sinO=g

【分析】(1)由题可得ODJ■平面故口〃1DO.根据菱形的性质可得OO_L□□,再根据线

面垂直的判定定理与性质定理即可证明；

(2)根据题干数据结合Odos=〃即可求解；

(3)由线面平行的判定定理可得SII平面£70。，可得。到平面£70木距离即为O到平面£700的距

离力，过乍垂线001平面。。融于点。，要使。最大，则需使最小，此时口。1Z7O,从而可求

解.

【详解】(1)因为点O在底面口口口。上的射影是〃O与交点。，所以□□L平面□□□□.

因为口口匚平面□□口口，所以□□I□□.

因为四边形口〃〃％菱形，所以3,

因为£70。□口=口,口口,£7Z7u平面£700,

所以_L平面ODA

因为Z7£7u平面OOZ27,所以Z7O1□□.

(2)由题意可得△□□□、△□□口与40ORB是边长为2的等边三角形，

所以ZZ7/Z7=口□—□口=V3,口匕□□口=gx2xV3=V3.

所以>!LJLF+DE3=V6.

因为口口=口口=2,所以口△口□口=；x泥x/2一停)=亨.

设点。到平面。£75勺距离为方,

由□□一□□□—。〃一£7/7%导§,□□，

即孚力=gxg,解得力=卓.

N0

故点。到平面。£7〃的距离为等.

(3)设直线。口与平面OOBi成的角为。，■.■口口\\□□>□□■频口□口,

.•.211平面。口。勺距离即为平面£7£7g］距离/.

过0(乍垂线口£71平面OOO交于点〃，则口=4口口□,

此时sin£7=票=舞，要使看大，则需使£7蠲小，此时口£7,□□.

LJL_/01—IL-I

由题意可知：□口=1,口口=V3,因为Z7Z71平面Z7Z7Z7Z7,且口□=V3,

所以Z7Z7=VOE3+Z7ZJ2=V6,口口=VHrf+Z7ZJ2=2,

在4口口袋,由余弦定理可得:COS4□□口==等W=V

所以sinzOOZ7=Ji-co螟乙□□□=乎，

由面积相等4Z7S=g□加£□□□=；□□-口□,

即:xVSx2x乎=；x2xR7,经计算得，□□吟

口2口3-口^=[4一'=；,贝[|sin£7=g,

此时o在线段。o上靠近。点的:处.

【变式1-1]8.（2023春•全国•高一专题练习）如图，OO是圆柱O4的一条母线，02是底面的一条

直径，角圆入一点，目□口=□口=5,口口=3.

D

（1）求直线与平面。口。所成角正弦值；

（2）求点，到平面ODOB勺距离.

【答案】⑴挈

⑵20例

（）41

【分析】（1）由线面垂直判定可知。01平面。口。，由线面角定义知所求角为N〃0Z7,由长度关系可

得结果；

（2）过[J作口□上口□,由面面垂直的判定与性质可知为所求距离，利用面积桥可求得结果.

【详解】（1）；平面。。O,Z7£7u平面£7口口，:口□,□□、□口;

•••。碗圆中直径，:.□□L□□,又□□□□□=口,□□，□□^^□口口,

•••□□L平面□□□,：.4口□侬为班□□与平面口口所成伟,

•・♦□□—□口=5,口□1口口,□口=5V2,又□口=3,

•••如□□□=卷=噂,即直线口。与平面DOO所成角的正弦值为黑.

过小口口1口口.垂足为Z7,

由（1）得：□口1^口口口,口口匚.平面口□□工平面□□□,

又平面ODDn平面口口。=口口,。口u平面Z7Z7£7,□□，□□,：.Z7Z71平面£7/70,

...口□=7DLf-Z7/y=4,•••□口=J口己+ucf=V4?,

根据等面积法知:三口口=三口口・□□,：.□□=嘤手=等,

即O到平面OZ7ZJ的距离等于筌.

题型2定义法求二面角

【方法总结】利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直

于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，

在二面角a-/-B的棱上任取一点。，以0为垂足，分别在半平面a和B内作垂直于棱的射线0A和0B,

则射线0A和0B所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就

相当于求两条异面直线的夹角即可）.

【例题212023春•全国•高一专题练习位长方体口Z7S一口1口1口1口中，□口=3,□□=2,□□1=1,

则二面角。的余弦值为()

A恪B.竺C.吗D.察

551010

【答案】D

【分析】画出长方体。-口、口1口、口、/口、口曲』伟口1-□□-O所成的平面角，求出COSN

&的值即可得出答案.

【详解】长方体£7000-口14口1□内,口口=3,口口=2,口口1=1,=同，

□□L□□「：□□•向□□□]□11u平面ZZ7ZZ7/ZZ)□□，□

又•:平面口口□n平面,

为二面角a一口□-C所成的平面角，

./r-ir~ir_i_□口_3_3VT5

crnocsQ□□一市一衣-F'

所以二面角&-口函余弦值为誓.

故选：D.

【变式2-1】1(2023•全国•高一专题练习如图若口£71平面ABCD,四边形ABCD为正方形，口□=口□,

则二面角口一□□一。的大小为.

R

【答案】450

【分析】由已知条件可证是二面角。-□□-5勺平面角，柱口口△口口*,口口=口口,即

可求出NOOZJ0勺大小.

【详解】解：□口1^口口口口,

□□1口口,

又；00/7。是正方形，

•••\□□,

又：□口n□口=口,

■■■□□1^^口口口,

：.4口口口是』伟□-口□-。的平面角.

在口口计,口□=,

：，£□□□=45,

;二面角Z7-□□-a的大小为45°,

故答案为：45°.

【变式2-1】2•（2023•全国•高一专题练习）如图，在正方悻□□□□—&口口&中，

（1）求异面直线口.与口a所成的角的大小；

（2）求二面角4一-中）大小.

【答案】明

【分析】（1）作出异面直线D0与O4所成的角，并求得角的大小.

（2）判断二面角4-□□-O0勺平面角，并求得角的大小.

【详解】（1）在篁方悻□□□□-d□、□］口内,连接oa,

由于,所以是异面直线Z7&与Oa所成的角，

由于三角形是等边三角形，所以2口01口=三,

所以异面直线与所成的角的大小为］

（2）在正方体口口。。一口［□［&a中，OZ71口口,□□工,

所以z口1口口是二面角一口口—中）平面角，

根据正方体的性质可知/a□□=%

所以二面角4-5勺大小为g.

【变式2-1］3.（2023春•全国•高一专题练习）如图，在三棱锥O—口口。中司□□□L平面□□□,

口、为'别为棱O。、口中）中点.

D

F

⑴求证：直线口切/平面ooo；

(2)若直线。Z7与平面£70。所成的角为45。,直线£70与平面OZ7Z3所成角为30。,求二面角O-□□一U

的大小.

【答案】Q)证明见解析；

(2)45°

【分析】(1)根据可证明；

(2)证明OO1平面OOZ7,□□I平面口口口,进而结合已知条件证明仆为等腰直角三角形，

乙□□□=45；再根据二面角的概念求解即可.

【详解】(1)证明：因为。、为别为楼口口、口，的中点.

所以，在4□□田,口□,

因为□□金平面□□□,£70u平面。£7。，

所以，直线II平面。口口

(2)解:因为平面口口口上平面口OO,平面口OOn平面口口口=□□,UUu晒口□口口□工□□,

所以平面Z7OO,

所以，n£70。是直线。。与平面所成的角，

因为直线DO与平面所成的角为45°,

所以，N00/7=45°,

所以口□=□口

因为口口上平面口口口,口口,口口匚南口口口,

所以0Z7J.,□□工□□,

因为£70,口口,口口门口口=Z7,£720口u平面

所以。£7,平面

所以，是直线。。与平面。。。所成角，

因为直线与平面OOU所成角为30°,

所以立口□口=30°,

所以。£7=；口□,口口=圾口□,

不妨设。。=1,则£7。=2,口口=V3,□口=口□=V2,口口=1,

所以，△口皿^等腰直角三角形，z£7£7£7=45°

因为口口人□□，£701on,

所以N£7£7O是二面角。—申平面角，

所以二面角口-□□-大小为45°

【变式2-1]4.(2023•高一单元测试)如图，在四棱锥。一□□□■,□□\口口,口口二

□□=；□□=2,%棱口勺中点，口口上府口口口口.

⑴证明：口口1强口口口

(2)求证：平面。口01平面。口口

(3)若二面角口-疗勺大小为45。，求直线口。与平面口口。所成角的正切值.

【答案】Q)证明见解析

(2)证明见解析

⑶当

【分析】(1)因为口口1口□目□口=口□,所以口。02为平行四边形，皿.利用线面平行

的判定定理即可得证；

(2)由已知可得OO1由线面垂直的判定定理可得£7。1面Z7Z7O,进而即可证得

结论；

(3)由□□面口口陶得乙□□□=45：作□□L口方口，可知口□遹□□□，所以4口口作

直线口口与平面叨。所成角，在直角△。口。中求解即可.

【详解】(1>.-口口11口道口口=£70,•••四边形000孕平行四边形，

:又。ZZ7C平面Z7ZZ7Z7,Z7Z7u平面0Z7ZZ7,

所以0□//平面OOO.

(2):□□^^□□□口,□□c^^LJUUU,1LJU,

整口口」：口口11口质口口=OO,二四边形OZ7Z7Z7为平行四边形，

•l•Z7Z71口□,=□□=2，，平行四边形口口正方形,：.□□工口□,

又口口旧口，：.□□L口口,

又.UUc□口=LJ,LJLJ,LJEJc®LJULJ,:.UU10Z7Z7ZZ7,

；OOU面£7£7Z7,.,.平面Z7Z7ZZ71平面Z7Z7ZZ7.

（3）,：□□母面□□□□,口口匚钙□□□□,：.□□、□口,

又、□□,□□△□□=□,□口，□□U平面□□□,：.□□^^口口口,

因为£7Z7u平面£7匚7£7,，。。工口□,

.•・N。。以二面角口—口□一申平面角，从而4口口口=45：所以£70=00=4,

作OO1口方口,连接。£7,

1,平面ZZ7OZ71平面O£7Z7,Z7£7u平面。£70,平面。Z27Z27n平面£700=□□,

:.□□工面口口口,所以2口□斗直线□口与平面口口所成伟,

在直角△口口田,口口=0/7=272,口口=A,口口=2展，：.口口==第="

LJLJzVoo

因为□□遹□□□,口口通口口口,所以Z7D1口口，

在直角△□□话,□□=*口口=竽，□□=力口仃-口3=竽

:.tan乙□□口=—,

则直线£7。与平面OO匕所成角的正切值为冬

题型3三垂线法求二面角

【方;去总结】利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法，这种方

法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.

三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射

影垂直

步骤：

①作:过二面角的其中一个平上一点作（找）另一个平面的垂线，过垂足作二面角的棱的垂线。

②证:证明由①所得的角是二面角的平面角（符合二面角的定义）.

③求二面角的面角的大小（常用面积相等关系求垂线段长度）

【例题3]（2023•全国•高一专题练习）如图，二面角口-□□-j勺平面角为锐角，。是。内的一点（它

不在棱口。上）,点。是。在平面。内的射影，点。是口入满足为锐角的任意一点，那么（）

A./.□□□>乙□□口

B./.□□□〈乙□□口

c.乙□□□=乙□□□

D.无法确定N0。口与大小关系

【答案】A

【分析】过C向AB做垂线交AB于F,连接DF,由直角三角形可知OO>口口,再由乙□□□/□□•

正切即可比较大小.

【详解】过C向AB做垂线交AB于F,连接DF,如图，

因为Z7/7J.口,口口匚口,所以Z7DJ.口□,

因为Z7DJ.口口,□□工口口,UUc□口=U,口口,■面□□□,

所以AB1面CDF,口口匚平面□□□,所以OO1,

在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以。口口,

在直角三角形中，tan4□□口=器，

在直角三角形DEF中，tanz£7Z7£7=g§,

由口口）,乙□□□>/.□□口

故选：A

【变式3-1]1（2022春•山东聊城・高一山东聊城一中校考阶段练习启知二面角口-□-）勺大小为60°,

点、□€口,口口1口,取垂足，点。6〃，口口工口,皿垂足.若口口=及,□□=□□='，则

口口=

【答案】2

【分析】以口口、。孕邻边作平行四边形OODO,连接。£7,分析可知二面角0-0-申平

面角为60°,推导出ZZ7O1口□,求出£7。、口中)长，利用勾股定理可求得勺长.

【详解】以口口、。。为邻边作平行四边形。口。£7,连接。以O。，如下图所示：

财口口11口口曰口□=口□—1,口口=□□=V3,□□[[□□,

因为O0J.□,则£701口,又因为OO_L口,

所以，二面角O—□-木平面角为60°,

因为口口=□□="故4002为等边三角形，所以，£70=1,

•,■□□工□口,□□工口□,则。Z71口□,□□工口口,

口口人口口=D,□□、£7£7u平面£7/70,ZZ7ZZ7_L平面。ZZ7Z7,

•••OOu平面S£7,□□、□□,：.□□=JO3+£73=2.

故答案为：2.

【变式3-1】2(2023・全国•高一专题练习即图，在直角梯形ABCD中，£7aV£7£7/7ZZ7_L□□,□□\口□,

点E是BC的中点.将4口口前BD折起，使。。JL□□,连接AE、AC、DE，得到三棱锥。一□□□.

⑴求证：OZ71平面ABD;

⑵若口□=□口=2,口□=2V3,求二面角口一□□一中）大小.

【答案】（1）证明见解析

（2）60°.

【分析】（1）通过证明口口，口口,DDLOU来证得平面。£7A

（2）作出二面角0-0的平面角，解三角形求得平面角的大小.

【详解】（1）由于OO1口□,，口口,UUc□□=a□□,OOu平面Z7OO,

所以DO1平面ODD.由于0£7u平面OZ7Z7,所以

由于OZ7J_□口,口口门口口=口,口口,口口匚平面□□□,

所以平面ooa

（2）分别取oa中点a口,连接oa口口,口口,

由于aa分别是oa。。的中点，所以口□,

由于Z7ZZ7_L平面。ZZ7L7,所以。O1平面。。口，

由于□口,ULJu平面□□□,所以

由于a。分别是oa。。的中点，而以□口|口□,

由于OZ7J.口□,所以□□人,

由于Z7Z7C口口=口，口口,口口匚桐□□□,所以Z7Z71平面。Z7。，

所以NZ7OO是二面角口一口□-。的平面角.

在,口口—;口□=V3,□□=；口□—1,

所以3nz□□口=唱=也,则锐角，且乙口□□=60°,

所以二面角O-□□—%］平面角为60°.

A

【变式3-1]3.（2023春・全国•高一专题练习）如图，四棱锥O-LJUULJ^,底面口是边长为2

的菱形，4□□□=60°,乙□□□=90°,平面0ml平面口点班棱口。的中点.

（2）当二面角O-□□-勺余弦值为春时，求直线。口与平面OOZ”所成的角.

【答案】（1）证明见解析

（2）60°.

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得线面垂直，从而得到Z7D1‘再由线面垂直的判定定理可

证Z7Z71平面Z7/7Z7,从而证得平面Z7OD1平面£7。。；

（2）根据题意过U作。口，口方口,芭姜口口,可得NDDZ3就是二面角。一□□-。的平面角，然后

计算即可得到结果.

【详解】（1）因为平面口□□工平面口□口口,且乙口口□=90°,即OZZ71口□,

旦口口匚平面□□□,平面口□□□平面□□口口=口口,所以□□上平面口口□口

又因为。Ou平面。口。〃，所以口口人口口

因为Z7OZZ7U%菱形，所以。口口,且OZ7n□口=口，ODOZZ7u平面OZZ7Z7,

所以_L平面OZZ7。，又因为£7口u平面。口口，所以平面口。口，平面ODD

,.•平面Z7Z7Z7_L平面£7£7ZZ7£7,^^□□□。平面口口口口=Z7£71平面ZZ7ZJD/Z7.

连接口£7,则N口。。就是直线。。与平面。。。斤斤成的角.

由题意得，△OO孕等边三角形.

过D作□□[Z7OTO,则型0型中点，

•••□□□□口•□□工□□，又□□△□口=•Z7Z71平面£7/72

过□作口□1口方口，连接Z7O,则NOO既是二面角O-□□-中]平面角.

•:co"□□口=",；-tan2口□口=V7,

易得口口=1.口口=母.

□□口口

vS\R土□□匚!=~DD~DDf,解得。=2通,

:.tan乙□□口=携=竽=V3,

」□□口=60°,即直线OD与平面SOU所成的角为60°.

【变式3-1]4.（2023春・全国•高一专题练习）如图，菱形ABCD的边长为2,上口□□=60°,E为AC

的中点，将4□口蝠AC翻折使点D至点方.

D'

c

⑴求证：平面口平面ABC;

⑵若三棱锥。'-。0OB勺体积为言,求二面角方-余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)j

【分析】(1)由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；

(2)过方作方口1口田点口，过M忤口□>〃万点。，连接。’口,分析得NO'OOBU为二面角方-

□□-农平面角，由三棱锥方-OOO体积求得。'£7,即可进一步由几何关系求得COSN。'£70.

【详解】(1)证明：在菱形口口。。中/口口口=60。,：.△□口堀4。。二均为等边三角形，

又日为AC的中点，.•.0/71口□Q□1口口，口口门dD=口，口□、平面。

平面口已□,

又,.,£7£7u平面ABC,.,.平面O方01平面ABC.

(2)过日忤口口，口。于点£7,•.平面。方0n平面ABC=□□,仃口u平面口廿口.:.廿口上平面

ABC.

:.=gxGx2x⑹.方。=竽=方。=蜉

□一□□□3\2733

过M作■口□10。于点O,连接方口，

,.,£7Z7u平面ABC,:.d[J1.□口=口,已□，口Uc^■面□、口工平面仃□口,

•.,方Ou平面a。。，.,./Z7L71[j□.

.,.NZJ'OCBI］为二面角方-□□一勺平面角，

.RZ7=8-铝竽，£7口=竽的30。4

七0=」（甯+得）=C，，8SNO'S=青

故二面角方-□□-牛余弦值为《

【变式3-1】5.（2023春•全国•高一专题练习应三棱柱口S—中,£701口□,□口＞口口,

乙□、□□=-,点次棱的中点，点。是线段口入的一动点，□口、=□□=?□□=2.

（1）求证：□□［1口口;

（2）求平面a□□□［与平■面口1DO4所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1）根据三棱柱中的垂直关系以及角度，可通过证明1平面。。口，利用线面垂直的性质

定理即可证明；（2）根据（1）可通过二面角的定义作出二面角的平面角，再利用线面垂直通过判断三角

形形状求得二面角的正弦值.

【详解】（1）由题意可知，□□川□□「又所以。£71口口、,

连接口a叩，如下图所示：

由N&□□=—,□□、=£70可知，△□□□[是正三角形,

又点。为棱的中点，所以口口11口口,

ZJ/ZZu平面/Z7ZZ7Z7,Z7Z7u平面Z7ZZ7E7,□□c□□=□.

所以£741平面Z27Z7。，Su平面□□□

所以£7&1

（2）由（1）知，□□、1口□,口□、1口□,

根据二面角定义可知，即为所求二面角的平面角或其补角，

在正三角形△口口口由，口口=2,所以□□=△,

因为。O_L,所以口£71,

又□□L□□,且□□、n□□=口,解以□□母面口口□口,

而口口匚平面口口口口,所以0口1口□,

在RtRDe中,□□=V3,□□=1,

所以□□口=转$=日,

于是平面a□□□、与平面口、口。&所成的二面角的正弦值为苧

【变式3-1]6.（2023春・全国•高一专题练习）如图，在正四棱锥口-口口口收/口□□=?

p

(1)求侧棱。。与底面口。口。所成角的大小；

(2)求二面角O-□□-j勺大小的余弦值.

【答案】⑴?

⑵苧

【分析】(1)根据线面角的定义可证得为所求角，设等边△口口侬边长为口,由长度关系可求

得cow/口口口，从而得到结果；

(2)由二面角平面角定义可知N。。为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果.

【详解】(1)设底面正方形oooo的中心为。，连接oa□口，

由正四棱锥。一结构特征知：□□口口口口,

即点。在平面£7。0£7上的投影为。，.・・/〃〃口为侧棱。。与底面口所成角，

在小£70。中,□□=□□,4口口口=，：.△£70%等边三角形，设其边长为0(/7>0),

•••□□母面□□□□,Z7Z7u平面Z7Z7OZ7,□□1口口,

在RgODB,□□=□,□□/口口=与□，:.cos4□□□=寄=堂,

"□□□=/即侧棱与底面所成角的大小为*

(2)取。。的中点为。，连接凹口口,

谢方形'口□;在等边△□□袋,□□工□□,

・•.NZ7OZ7为二面角。一□□-至平面角，

,••□□1^^口口口口3Z7Z7u平面Z7Z7O/7,□□1□□;

在R3OO⑪，£7Z7=y£7,.cos乙□□口=寄=弋,

••.二面角O-□□-甲大小的余弦值为冬

【变式3-1]7.(2022春•浙江丽水•高一校考阶段练习)如图1,在直角三角形。中，为直角，z

A=30°,D柱□□上,且口口=□口=V3，作£701口中口,将4口口U台直线0口斤母以口口所

处的位置，连接。口口,如图2.

(1)若平面DOC平面0DOO,求证:0Z71口□；

(2)若二面角口一口□-2为锐角，目二面角口一2勺正切值为等,求的长.

【答案】Q)证明见解析

⑵E

【分析】(1)由题意知DO,口口,由面面垂直的性质定理可得平面OOO,进而可得

(2)作所在的直线于点口由题意可得知口。1口□，所以平面即

可4导平面□□□1平面□□□□A乍□□L于点O，连接Z7O,进而可得N0/7。为二面角。-□□-

中平面角，设O,则tan£7=^=等，设0/7=口卜<□曰脚□□=2□，口□=4-

20,£70=4-20,进而可得依f=等，解得。,再由s=仃+皿,计算即可得答案.

V3(2—ZJ)92

【详解】(1)证明：由题意知£7口，口口,

又平面□□口1平面□口口口,平面□口□n平面□□□□=ULJu平面□□口口,

所以ZZ7O1平面£700.

又□□u平面□□□,

所以□□工□口;

(2)解：由题意知□□[□□,

□□八口口=口,□□u平面□□□,£7£7u平面£7。口

因而□□J■平面□□□,

又□口u平面口□□□,因而平面□□□_L平面□□□□.

如图，作口。1。。所在的直线于点

又平面OZJOn平面。£700=□口,口口匚强口口口，耐以□□L平■面□□□□.

忤UK彘口,连接口□,

则NZZ7O孕二面角。一□□-。的平面角，

设乙□□口=口,贝[|tan〃=等，

在4口口袋,z£7=90°,zO=30°,UD=口口=0

所以口。=4,□□=2,Z7£7=|,

设口口=D（0<，驰□□=?口，口口=q-2□，口口=4-2口,

因而Z7O=2A7）2=飞6口-4仃,£7£7=y□口=V3（2-D）,

在直角三角形0OO中,tan〃=穿=等，即^^=等，

解得□=；或。=提（舍去），此时V2,Z7£7=3,

从而0。=>!LJLF+DE3=VTT.

【变式3-1]8.（2022春•河南洛阳•高一校考阶段练习）如图所示，四边形£700型菱形，Z7O=OO,

平面。口01平面0。。，点〃是棱0%]中点.

P

⑴求证：□□工□□:

⑵若口口=□□=□□=2,求三棱锥。一DOS）体积.

心）若口口=□□,当二面角口-□□-05勺正切值为-2时，求直线0D与平面口口口。所成的角.

【答案】（1）证明见解析

⑵1

（3）45°

【分析】Q）先证明平面％。齿导到

（2）将三棱锥。-0。小勺体积转化为三棱推。-承体积求解；

⑶设口口=展□，口口=□，可证得为二面角。一口□-。的平面角'可得tan乙口口口=喀=

2,NZ7ZZ7O为直线。。与平面所成的角，可求得tanN〃O£7=1知NOD中小.

【详解】（1）如图所示，设点a是棱DU的中点，连接口。

由□□=及点a是棱O球中点，可得£701口口，

因为平面平面口，平■面□□□c平面□□口=,U/Ju平面□□□,故£7/7_1_平面

又因为口□u平面OZ7Z7Z7,所以口□1口口,

又因为