简单线性规划教学案例

简单线性规划教学案例

本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本

概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标

系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一

个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作

出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题

中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区

域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.

“简单的线性规划''是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，

这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、

物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧,安排，用最少的资源，取得最大的经济

效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研

究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小

一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学

思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内

容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和

应用数学的意识和解决实际问题的能力.

依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较

抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何

问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层

次.

本节内容渗透了多种数学思想，.是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养

学生观察、作图等能力的好教材.

本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及

解决实际问题的能力.

教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际

问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节

教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何

化.

课时安排3课时

三维目标

~■、知识与技能

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；

2.运用线性规划问题.的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高

学生“建模”和解决实际问题的能力；

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.

三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”,

但同时也用“形”去研究"数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.

教学过程

第1课时

导入新课

师前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方

法，请同学们回忆一下.

（生回答）

推进新课

［合作探究］

师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A、8两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗

时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得

16个A配件和12个8配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可.能的日生产安排是什么？

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？

x+2y<8,

4x<16,

生由已知条件可得二元一次不等式组：<4y<12,

x>0,

”0.

师如何将上述不等式组表示成平面上的区域？

生（板演）

师对照课本98页图3.39,图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日

生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利

润最大？

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z,则如何表示它们的关系？

生则z=2x+3y.

师这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是

多少？

［教师精讲］

2121

师把z=2x+3y变形为y=--x+—z,这是斜率为-一，在y轴上的截距为一z的直线.当z

3333

变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

生当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点（例如（1,2））,就能确定一条直

21

线）=――x+-z,这说明，截距zf］3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直

33

21z

线〉=一七*+上2与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距上最大时，

333

z取最大值，因此，问题转化为当直线y=-（2x+：1z与不等式组确定的区域有公共点时，

可以在区域内找一个点P,使直线经过P时截距47最大.

3

21

由图可以看出，当直线y=-+经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4,2）时,

截距!z■最大，最大值为14.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工

厂可获得最大利润14万元.

[知识拓展]

再看下面的问题：分别作出x=l,x-4y+3=0,3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示

的平面区域（即三直线所围成的封闭区域），再作直线lo：2x+y=O.

然后，作一组与直线lo平行的直线：J:2x+y=t,tGR（或平行移动直线lo）,从而观察L值的变

化:t=2x+y6[3,12].

x-4y<-3,

若设t=2x+y,式中变量x、y满足下列条件3x+5yW25,求t的最大值和最小值.

x>1.

分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,

不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.

作一组与直线lo平行的直线：l:2x+y=t,tGR（或平行移动直线lo）,从而观察t值的变化：

t=2x+y£[3,12].

从图上可看出，点（0,0）不在以上公共区域内，当x=0,y=0时，t=2x+y=0点（0,0）在

直线Io：2x,+y=0上.作一组与直线lo平行的直线（或平行移动直线lo）l：2x+y=t,t《R.

可知，当1在lo的右上方时，直线1上的点（x,y）满足2x+y>0,即t>0.

而且，直线1往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于1的直线中，以经过点8（5,2）的直线

L所对应的I最大，以经过点A（1,1）的直线1,所对应的t最小.所以

tnwx=2x5+2=l2,tmin=2x1+3=3.

⑵

［合作探究］

师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于

x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及

的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，

所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的

问题，即为线性规划问题.

那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上

述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5,2）和（1,1）分别使

目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设t=0,画出直线h

3.观察、分析，平移直线lo,从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

布置作业

1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500

元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100

千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多

可生产多少千克产品？

分析：将已知数据列成下表：

甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额

成本100015006000

运费5004002000

产品90100

解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则

JC>0,

y>0,

'1000x+1500y<6000,

500x+400y<2000,

z=90x+1OOy.

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图:

12

2x+3y=127'

由《得〈M

5x+4y=20.20

i'y=—.

令90x+100y=t,作直线:90x+100y=0,即9x+10y=0的平行线90x+100y=t,当90x+100y=t过

1220

点M()时，直线90x+100y=t中的截距最大.

1220

由此得出t的值也最大，Zm«x=90x--i-l00x—=440.

77

答：工厂每月生产440千克产品.

2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一

张4、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1

小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子

分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最

大？

解：设每天生产A型桌子x张，8型桌子y张，

x+2y48,

则<3x+y<9,

x>0,y>0.

目标函数为z=2x+3y.

作.出可行域：

把直线1：2x+3y=0向右上方平移至V的位置时，直线经过可行域上的点M,且与原点距离

最大，此时z=2x+3y取得最大值.

解方程4得M的坐标为(2,3).

3x+y=9,

答.：每天应生产4型桌子2张，3型桌子3张才能获得最大利润.

3.课本106页习题3.3A组2.

第2课时

导入新课

师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等

概念.

师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.

生(1)首先，要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)；

(2)设t=0,画出直线lo；

(3)观察、分析，平移直线lo,从而找到最优解；

(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.

推进新课

2x+j<300,

x+2y<250,

师【例1】已知x、y满足不等式组《"试求z=300x+900y的最大值时的整点

x>0,

y>0,

的坐标及相应的z的最大值.

师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.

解：如图所示平面区域40BC,点A(0,125),点B(150,0),点C的坐标由方程组

/：x+3y=0

350

2x+y=300I3

[x+2y=250=<_200

”丁

得C（空磔）,

33

令t=300x+900y,

欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距5900的最大值，从而可求t的最大值，因直

线y=—与直线y=—‘X平行，故作y=—‘X的平行线，当过点4(0,125)时，

■390033

对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，znwx=300x0+900x125=112500.

师【例2】求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+yW300,x+2yW250,

x>0,y>0的整数值.

师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.

解：可行域如图所示.

「252

2rty=0

四边形AO8C,易求点A(0,126),B(100,0)，由方程组

x=69|,

3x+y=300

x+2y=252

y=91-.

-5

31

得点C的坐标为(69/9弓).

因题设条件要求整点(x,y)使z=600x+300y取最大值，将点(69,91),(70,90)代入

z=600x+300y,可知当x=70,y=90时，z取最大值为22=600x70+300x900=69000.

x+2y>2,

师【例3】已知x、y满足不等式<2x+y21,求z=3x+y的最小值.

JC>0,>0,

师分析：可先找出可行域，平行移动直线lo：3x+y=O找出可行解，进而求出目标函数的最小

值.

解：不等式x+2y>2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合：

不等式2x+y*表示直线2x+y=l上及其右上方的点的集合.

可行域如右图所示.

作直线lo：3x+y=O,作一组与直线lo平行的直线l:3x+y=t(tCR).

•••x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.

由图可知：

当直线l：3x+y=t通过P(0,1)时，t取到最小值1,即Zmin=l.

师评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题

目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；

(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；

(3)在可行域内求目标函数的最优解.

师课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

yWx,

（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件<x+y<1,

y>-1.

5x+3y<15,

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件<y<犬+1,

x-5y>3.

［教师精讲］

y〈羽

师（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件<x+y«1,

y>-1.

解：不等式组表示的平面区域如右图所示：

当x=O,y=O时，z=2x+y=0,

点（0,0）在直线l（）:2x+y=0上.

作一组与直线lo平行的直线l:2x+y=t,teR.

可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于1的直线中，以经过点4（2,-1）的

直线所对应的t最大.

所以z”x=2x2-1=3.

5x+3y<15,

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件｛yW%+1,

x-5y>3.

解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.

从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（・2,・1）

917

的直线所对应的t最小，以经过点的直线所对应的t最大.

88

917

所以zmin=3X（-2）+5X（-1）=-11,Znwx=3x—+5x——=14.

88

［知识拓展］

某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品It,需耗A种矿石10t、8种矿石5t、煤4t；

生产乙种产品需耗A种矿石4t、8利।矿石43煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每It

乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360t、

B种矿石不超过200t、煤不超过3003甲、乙两种产品应各生产多少，（精确到0.1t）,能

使利润总额达到最大？

师分析：将己知数据列成下表:

甲产品乙产品（11）资源限额（t）

资源——

A种矿石（t）104300

B种矿石⑴54200

煤⑴利润（元）49360

6001000

解：设生产甲、乙两种产品分别为xt、yt,利润总额为z元,

10x+4y<300,

5x+4y<200,

那么《4x+9_y<360,

x>0,

y»0；

目标函数为z=600x+1OOOy.

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.

作直线l:600x+l000y=0,

即直线:3x+5y=0,

把直线1向右上方平移至h的位置时，直线经过可行域上的点M,且与原点距离最大，此时

z=600x+lOOOy取最大值.

5x+4y=200,

解方程组

4x+9^=360,

得M的坐标为X--——-12.4,y=-------=34.4.

2929

答：应生产甲产品约12.4t,乙产品34.4t,能使利润总额达到最大.

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

(2)设t=0,画出直线lo.

(3)观察、分析，平移直线1°,从而找到最优解.

(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.

以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：

(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；

(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；

(3)在可行域内求目标函数的最优解.

当然也要注意问题的实际意义

布置作业

课本第105页习题3.3A组3、4.

第3课时

导入新课

师前面我们已经学习了

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求

解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.

推进新课

师【例5】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06

kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg

脂肪，花费28元；而1kg食物8含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，

花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低需要同时食用食物A

和食物B各多少克？

师分析：将已知数据列成下表：

食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kg

A0.1050.070.14

B0.1050.140.07

若设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本为z,如何列式？

0.105x+0.105y>0.075,

0.07x+0.14y>0.06,

生由题设条件列出约束条件<0.14x+0.07yN0.06,①

x>0,

、y",

其目标函数z=28x+21y.

7x+7y>5,

7x+14y>6,

二元一次不等式组①等价于<14x+7y>6,(2)

x>0,

y>0.

师作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与

课本上的对照.

4z4

生考虑z=28x+21y,将它变形为y=--x+—,这是斜率为一一、随z变化的一族平行直

3283

线.二7是直线在y轴上的截距，当7三取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交,

2828

即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.

由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z[]28最小，即z最小.

、

解方程组《f7x+7y'=5,得点M（—14因此，当％=—1,y=—4时，z=28x+21y取最小值,

14x+7y=67777

最小值为16.

由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费

最低，最低成本为16元.

师【例6】在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人

每年可收取学费1600元，高中每人每年可收取学费2700元.那么开设初中班和高中班各多

少个，每年收取的学费总额最多？

学段班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元

初中45226/班2/人

高中40354/班2/人

师由前面内容知若设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元,

此时，目标函数z=0.16x45x+0.27x40y,可行域如下图

把z=7.2x+10.8y变形为y=—2+五5z，得到斜率为-一2§,在y轴上截距为5白z，随z变化

的一组平行直线.

由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.

x+v-30

解方程组＜+；］40得点M（20,10）,因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+108y取最大值，

最大值为252.

由此可知开设20个初中班和10个高中班时•，每年收取的学费总额最多，为252万元.

师【例7】在上一节例4.中（课本96页例4）,若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10

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