2023湘教版新教材高中数学必修第二册同步练习1. 5 向量的数量积

1.5向量的数量积

1.5.1数量积的定义及计算

基础过关练

题组一向量数量积的运算及运算律

L下列命题中错误的是（）

A.对于任意向量a,有0•a=Q

B.若a•b=Q,则a=0或b=Q

C.对于任意向量a•6,有|a•引W||引

D.若a,b共线，则a•b=±\a\\b\

2.已知向量a,6,c和实数九则下列各式一定正确的是.（填序号）

①a•lb•a;

②（4a）•b=a•（48）;

③（a+6）•c=a,c+b,c;

④（a•6）,c-a•（6•c）.

3.已知|a|=10,1同=12,a与6的夹角为120°,求：

（1）a•b;

⑵（3a）•《匕）；

⑶（3»2a）・（4a+⑸.

4.（2020江西南昌第十中学期末）如图，在比1中，已知/庐2,力作6,ZBA（=60°,

点D,£分别在边AB,ACh,且荏=2而,AC=5AE.

（1）若点F为小的中点，用向量前和前表示加；

⑵在⑴的条件下,求而•丽的值.

题组二投影

5.已知|a|=8,e为单位向量，当它们的夹角为宇寸，a在e方向上的投影长为（

A.4V3B.4C.4V2D.8+y

6.（2022山西太原期中）已知|a|=l,与非零向量6同向的单位向量为e,且

<a,力号,则向量a在6方向上的投影向量为（

A.-bB.--eC.-eD.--b

2222

7.已知|a|=6,|〃=3,a•炉-12,则向量a在向量力方向上的投影是（

A.-4B.4C.-2D.2

8.已知a•炉16,若向量a在6方向上的投影向量为46,则|引=.

题组三利用数量积求向量的模

9.若向量a与。的夹角为60°,|b|=4,（a+26）・（才38）=-72,则|a|=（

A.2B.4C.6D.12

10.（2022山西临汾期末）已知向量a,5的夹角为学|a|=l,㈤=2,贝I]

Ia+b\-.

题组四利用数量积求向量的夹角

11.（2022湖南长沙长郡中学期中）若e,&是夹角为60。的两个单位向量，向量

a=2a+o,左-3©+2&,则a与6的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

12.（2022江苏省外国语学校期中）已知向量a,6满足|a|=2,|引=4,a•左5,则向

量a与年少的夹角的余弦值等于（）

A.-叵B.回

2020

八3V10「3730

C.--------D.-------

2020

13.（多选）（2022广东仲元中学期中）已知e,6是两个单位向量，4£R

时，M+4金|的最小值为当则下列结论正确的是（）

A.e,6的夹角可能是］

B.已，桂的夹角可能是:

C.|台+改|=1或手

D.陌+&|=1或百

14.若非零向量a"满足|a|=3|引=|-2引，则a与6的夹角的余弦值

为•

15.已知|a|=2,山=3,&与6的夹角为60。.若为48与Ha+6的夹角为锐角，则

实数4的取值范围为.

题组五向量的垂直

16.若向量a,5是非零向量，且a_L8,|a|W|引，则函数f（x）=（xa+6）•（X/F）是

（）

A.一次函数且是奇函数

B.一次函数但不是奇函数

C.二次函数且是偶函数

D.二次函数但不是偶函数

17.已知中,AB2=AB•AC+BA•~BC+CA•CB,则a1一定是（）

A.等边三角形B.锐角三角形

C.直角三角形D.钝角三角形

18.已知0,44C〃在同一平面内，1"1=1网1协=1,且耐•而=0,则

|前+前|的最大值为（）

A.2V2B.2+V2

C.1+V2D.4

19.若非零向量a,b,满足|a+引=|引，a_L（a+48）,则4=.

20.（2022吉林东北师大附中期中）已知向量|a|=l,|4=2.

⑴若方与6的夹角为《求12K引;

（2）若a+b与a垂直,求a与b的夹角.

能力提升练

题组一向量数量积的运算及其运算律

1.（2022浙江宁波期中）在等腰中，N2=120°,9则福«正等于

（）

A.--B.—C.--D.-

2222

2.（2022江西九江一中期中）已知%中，9=3,AC=4,AB•AC=6,0为AABC所

在平面内一点，且成+2赤+3玩=0,则而•近的值为（）

A.-4B.-1C.1D.4

3.（2022江西南昌期末）如图,在平面四边形ABCD^,AD1CD,A庐遮,则

AB•AD+CB•'DA=.

4.对任意两个非零向量m,n,定义新运算"③"：/鹿）/7="岂.若两个非零向量a,b满

nn

足a与b的夹角6£（讨）,且和足a都在集合e\nez｝中,则

幽k,

题组二向量数量积的综合应用

5.（2022黑龙江哈师大附中期末）已知向量a与6的夹角"零|a|=VX则a在

8方向上的投影为（）

A.—B.—C.--D.--

2222

6.（2022湖北武汉期末）向量a,6满足|a|=1,且（2»）_La,（a+6）±（3a-8）,则

以=（）

A.2B.V5C.V6D.V7

7.（2022河南联考）已知向量a"满足（a+0-（年26）=142,|司=2|引，则向量a

与6的夹角8=.

8.（2022甘肃酒泉市实验中学月考）已知平面向量a,6满足a•b=~2,已知a方向

上的单位向量为e,向量5在向量a方向上的投影向量为-已

⑴若a+25与口）垂直,求|引的大小;

⑵若a与。的夹角为斗，求向量6与2A36夹角的余弦值.

4

9.如图,在中，CA=1,CB2N4®60°.

⑴求I荏I;

⑵已知点〃是边4?上一点,满足而=4屈，点£是边”上一点,满足雇=入前.

①当几弓时，求荏•CD;

②是否存在非零实数人使得荏，而?若存在，求出入的值;若不存在,请说明

理由.

C

D

答案全解全析

基础过关练

1.B根据数量积的定义,得0•a=|0||a|cos<0,a>=Q,故A正确；当a,6都是非零

向量,且a_L6时，a•ZFO也成立,故B错误；由

Ia*6|=||a||引cos〈a,|W|a||6|,知C正确;当a,6共线时,<a,b>=0或

<a,b>=n,则cos<a,b>=±1,所以a•b=+|a||引，故D正确.

2.答案①②③

解析由数量积的运算律可知①②③正确；令-&止b-c,则

(a•6),c=mc,a,(b•c)=na,a,c均为任意向量，所以(a•6),c=a•(b•c)不一

定成立,故④错误.

3解析(l)a,ZF|a||Z?|cos<a,Z>>=1OX12Xcos1200=-60.

(2)(3a)•Qb)=|(a«Z?)=|X(-60)=-36.

(3)(3Zr-2a)•(4a+b)=12b-a+3Z72-8a-2a-b=1Qa-ZT+3|Z?|2-8|a|2=10X(-

60)+3X12-8X102=-968.

4.解析(1)JF=~BD+DF=--AB+-DE

22

=--AB+-(AE-AD)

22

=」荏+工(工就-工荏)

22\527

=-4-AB10+-AC.

(2)EF=^ED=I(AD-AE),

'：AB=2AD,AC=5AE,：.EF=-AB~—AC,

410

：.BA-EF=-AB-^AB-^AC)

=--AB2+-AB-AC

410

=-1X4+—X2X6Xcos60°

410

二一一2

5,

5.B设a,e的夹角为a,则a=g,a在e方向上的投影长为|a||cosa|=4.故选

B.

6.B由题意，可得向量a在6方向上的投影向量为噌a当警

闻\b\2

7.A解法一:设向量a,5的夹角为。，则cos。=黑:-三=-；,则向量a在向量

\ci\\b\3X63

6方向上的投影为|a|cos。=-4.

解法二：由题意,可得向量a在向量b方向上的投影为略=-4.

闻

8.答案2

解析设a,6的夹角为。，则a•岳|司|61cos。=16,因为向量a在6方向上的

投影向量为|a|cos。•卷=46,

所以Ia|cos。=4|引，所以4|引J16,所以|引=2.

9.CV(a+2Z?)•(a-35)=-72,

a-a-b-6甘=T2,

：.\a\2-\a\|Z>|cos60°-6\b\2=~72,

A|a|-2|a|-24=0.又：|a|NO,，|a|=6.

10.答案V3

解析因为|a+6|2=|a「+|引2+2㈤•㈤cosg=l+4+2XlX2X(—3=3,所以

Ia+b\=y/3.

11.C由已知，得人•日=|ej|cos<ebe^>=|,

所以a•炉(2刍+金)*(-36+2e)=-6比+丹,殳+2或=一(，

2

Ia|=12|=7(2^+e2)=V4ef+4e1-e2+e^=V7,

IZ?|=|-3ei+2e217(—3%+2e2)2=j9e,—12e1•e?+4e'=«.

设向量a与力的夹角为a,

7

£^_~2_1

贝ljcosa=；==

|a||b|V7Xx/72

因为0°WaW180°,所以a=120°.

12.A|a-b\=y/(a-Z))2=Va2+b2—2a-b=V22+42—2x5=V10,

设a与廿人的夹角为。，则cos不篙-常:「嬴=嚼

13.ABD7e,会是两个单位向量,且Ie+丘|的最小值为f,

...（4+4会尸的最小值为?，

4

即（a+4a）2=1+223•位+卜的最小值为:，

4

...乂+2-电2=0在1£R上有两个相等的实数根,

4

△=（2ei•82尸-1=0,；.e•e2=±|,

...&与桂的夹角为舞等故A,B正确；

I。+改12=1或|6+&12=3,

Ia+0|=1或|e+e21=V3,故C错误,D正确.

14.答案q

解析V|a|=31b\=\a+2b\,

|a12=9\b\i=(a+2Z?)'=|a\J+41b\J+4a•b,

a•b=~\b\\

••・cosG,，就/

15.答案（―8,士券至）U

解析由题意可知，养|ar=4,炉=|引2=9,「•月a」引©os600=2X3x|=3,

/.(a+46)•(4a+b)=力才+(AJ+l)a•b+b2=31'+134+3,

•.•a+H6与Ha+力的夹角为锐角,

A342+134+3>0,

解得X>T3+G或4〈士卫.

66

当4=1时，与共线，其夹角不为锐角，

.•.4的取值范围是(―8,一】3浮)u(-13浮,°u(1,+8).

16.Af{x)=(xa+B)•{xb-a)=(a,Z>);r+(|Z?|2-|a|2)x-a•6,由al.b,得a•b=Q,

所以f(x)=(|02-|由于®#㈤,所以㈤2二山|2/0,故/*(£)=(I。2一㈤2)x

是一次函数,显然也是奇函数.

17.C由荏2一通,JC=BA・BC+CA•CB,

得荏・(AB-AC)=BC•(BA-CA),

即荏・CB=BC-BC,

：.AB-BC+BC-BC=Q,

：.~BC•(AB+~BC)=O,

：.BC•AC=Q,J.BC1.AC,：.BC±AC,

...△/%是直角三角形，故选C.

18.B'：0A•OB=0,：.0A1.0B,又

'：\OA\=\OB\=\,：.\0A+0B\=V2,：.\AC+BD\=\OC-OA+OD-OB\=\OC+OD-

(OA+OB)I,

/.当方,而同向，且反,而与U1+而反向时，|AC+BD|取得最大值,最大值为

2+V2.

19.答案2

解析V|a+b\=\b\,：.|a+b\2=\b\\

/.去+2a,b=0.①

又al.(a+48),/.a•(a+A6)=0,

4+4a•ZJ=0.②

由①②可得4=2.

20.解析(1)由题意，得a•左|a||6|cos色1,

故|2a+6|=y/(2a+b)2=V4a2+4a•b+b2=2V3.

(2)(a+6).La,/.(a+Z?),a=0,即a--a,b,又|a|=l,」a•b=~l,

又•.”,力£[(),n],「.a与6的夹角为学

能力提升练

1.C因为在等腰△/回中，ZA=12G°,AB=A(=1,

所以荏・BC=AB・(AC-AB)=AB•AC-AB2=\AB\*I前IcosA-

|XS|2=1X1X(-|)-1=-|.

2.D因为Ul+2砺+3瓦=0,

所以Ul+2(OA+AB)+3(OA+AC)=0,

所以6OA+2AB+3AC=0,所以存河,所以称海+屏，

因此而•BC=(-AB+-AC)•(AC-AB)=-AC2--AB2--AB•X42--X32-

\32/23623

-1X6=4.

6

方法点睛

向量运算的技巧

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基”的意识，利用基向量进行运算.

3.答案3

解析如图，连接AC,AB=AD+DC+CB,所以

AB•AD+CB•DA=(AD+DC+CB)•AD+CB•DA=AD2+DC・AD+CB・AD+CB•

两①

又因为AD上CD,所以反・AD=0,

又因为万•AD+CB•DA=Q,

所以①式可化为荏•AD+CB•D1=XD2=(V3)2=3.

4.答案I

解析根据新定义，得

因为和b®a都在集合｛5\n6z｝中,所以可设a®b=-^-,b®a=-^-(ni,/?2Z),那

么(a(8)6)•(Z/8)a)=cos?.又。金nit，所以0＜功功＜2.

4.4'2.

所以整数A,总的值均为1.故松炉段三.

5.D因为向量a与。的夹角为拳|&|=/,

所以a在6方向上的投影为|a|cos妻-今

6.D因为(2a-。)_La,(a+力)_1_(3a-6),

所以(2a-6),a=0,(a+b)•(3a-6)=0,

所以2a~-a,b=0,①

3a+2a・b~6=3②

①X2+②，得7才-4=o,

因为㈤=1,所以后7,所以|6|二夕.

7.答案?

解析(a+力),(a-26=寸-a♦

因为Ia|=21引，所以4Z?-2Z?2cos。-2斤="

所以cos*，所以。三.

8.解析设向量的夹角为0,

由题意得㈤cos8=苦=-1,

|a|

所以a•左-|司，又&•庆-2,所以|a|=2.

(1)因为a+26与a-b垂直，

所以(a+26)•(0-力)=0,所以|•b-2\Z?|