2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义（北师大版）第18讲 相似多边形（原卷版）

第18讲相似多边形模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解相似多边形和相似比的概念；2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.知识点一、相似图形相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；知识点二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”知识点三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.考点一：相似图形的判断例1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列图标中，不是相似图形的是（

）A．B． C． D．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（

）A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形C．两个正五边形 D．两个六边形【变式1-2】（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）下面几对图形中，相似的是（

）A．B．C．D．【变式1-3】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁考点二：相似多边形的性质及对应性例2.如图，四边形四边形，，．(1)___________；(2)求边的长度．【变式2-1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长．【变式2-2】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．

【变式2-3】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形∽四边形(1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______；(2)分别求边BC与边的长度．考点三：相似多边形性质的应用例3.（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路．(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由；(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由．【变式3-1】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2．(1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长；(2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积．【变式3-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．【变式3-3】（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．考点四：相似多边形性质的动态问题例4.（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）

A． B． C． D．【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2023·安徽六安·模拟预测）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（

）A． B．C．或 D．或或【变式4-3】（2024·山东淄博·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为．一、单选题1．（2024·四川德阳·一模）下列说法正确的是（

）A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（

）

A．4 B．5 C．8 D．103．（2024·贵州·一模）如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（

）A．15 B．12 C．10 D．84．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（

）A．B．六边形的周长六边形的周长C．D．5．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（

）．A． B． C． D．二、填空题6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为．7．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是．8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是．9．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则．10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．

（1）若矩形与矩形相似，则的长是；（2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是．三、解答题11．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，四边形四边形．(1)，它们的相似比是；(2)求边，的长度．12．（22-23九年级·上海·假期作业）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，

，，，，，求，的长和的度数．13．（2022九年级·上海·专题练习）已知四边形与