老高考旧教材适用2025版高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形考点突破练2三角变换与解三角形理

考点突破练2三角变换与解三角形一、选择题1.(2024·陕西榆林一模)已知sin(α+π)+2sinα+π2=0,则tanα+π4=()A.3 B.-3 C.13 D.-2.(2024·北京海淀一模)在△ABC中,A=π4,则“sinB<22”是“△ABC是钝角三角形”的 (A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2024·北京·10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[-5,3] B.[-3,5]C.[-6,4] D.[-4,6]4.(2024·山西太原一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC的面积为(A.23 B.33 C.63 D.65.(2024·浙江杭州4月质检)已知λ∈R,若λsin170°+tan10°=33,则λ=(A.32 B.2C.3 D.46.已知0<β<π4<α<π2,且sinα-cosα=55,sinβ+π4=45,则sin(α+β)=A.-31010 B.C.155 D.7.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,则ab= (A.32 B.4C.2 D.38.(2024·河南郑州质检)魏晋南北朝时期,中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术,应用中国传统的出入相补原理.因其第一题为测量海岛的高度和距离,故题为《海岛算经》.受此题启发,某同学测量某塔的高度.如图,点D,G,F在水平线DH上,CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,测得以下数据(单位:米):前表却行DG=1,表高CD=EF=2,后表却行FH=3,表距DF=61.则塔高AB为()A.60米 B.61米 C.62米 D.63米9.(2024·陕西榆林一模)已知函数f(x)=2sin2x+3sin2x-1,则下列结论正确的是()A.f(x)的最小正周期是πB.f(x)的图象关于点-5π6,0对称C.f(x)在-π,-π2上单调递增D.fx+π12是奇函数10.(2024·河南开封一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,B=45°,a=23,则△ABC的面积为()A.23 B.32C.1+3 D.3+311.(2024·河南郑州二模)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,M是线段AC上随意一点,则MB·MC的最小值是(A.-12 B.-C.-2 D.-412.(2024·河南名校联盟一模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin(A+C)·cosBb+cosCc=sinAsinC,A.32,3 B.32C.32,3 D.32二、填空题13.函数f(x)=2sin2π4+x-3cos2xπ4≤x≤π2的值域为.

14.(2024·陕西榆林三模)已知2sinα=5cosα,则sin2α+cos2α=.

15.(2024·浙江杭州4月质检)在Rt△ABC中,C=90°,点D在BC边上,3CD=BD.若sin∠BAD=35,则sin∠ABC=.16.(2024·河南开封二模)如图,某直径为55海里的圆形海疆上有四个小岛.已知小岛B与小岛C相距5海里,cos∠BAD=-45,则小岛B与小岛D之间的距离为海里;小岛B,C,D所形成的三角形海疆BCD的面积为平方海里.

考点突破练2三角变换与解三角形1.B解析:由题意可得-sinα+2cosα=0,则tanα=2,故tanα+π4=1+tanα1-tanα2.A解析:假如sinB<22,由于B是三角形的内角,并且A=π4,则0<B<π4,A+B<π2,△ABC是钝角三角形,所以充分性成立;假如△ABC是钝角三角形,不妨设B=2π3.D解析:如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),∴PA·PB=(3-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,4-sinθ)=-3cosθ-4sinθ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tanφ=34,∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-4≤PA·4.C解析:∵b=6,a=2c,B=π3,∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得36=4c2+c2-2×2c×c×12,即3c2=36,∴c=23,∴a=2c=43,∴S△ABC=12acsinB=12×43×235.D解析:λsin10°=tan30°-tan10°=tan20°1+33tan10°,所以λ=2cos10°cos20°1+3sin10°6.D解析:因为sinα-cosα=55,所以sinα-π4=1010因为π4<α<π2,所以cosα-π4=3因为0<β<π4,sinβ+π4=45,所以cosβ+π4=35所以sin(α+β)=sinα-π4+β+π4=1010×35+7.D解析:由bsin2A=asinB,可知sinB×2sinAcosA=sinAsinB,因为sinAsinB≠0,所以cosA=12又因为A∈(0,π),所以A=π3由c=2b,得sinC=2sinB=2sin23π-C,化简整理得cosC=0,因为C∈(0,π),所以C=π2,B=π故ab=sin8.D解析:∵EF为表高,∴EF⊥BH.同理CD⊥BH.依据三角形的性质可得,△EFH∽△ABH,△CDG∽△ABG,则3BH∵BH=BD+DF+FH=BD+64,BG=BD+1,∴3BD+64=1BD+1,解得BD=30.∴AB=2BG=63.9.D解析:f(x)=-cos2x+3sin2x=2sin2x-π6.因为T=2π|ω因为f-5π6=2sin-5π3-π所以f(x)的图象不关于点-5π6,0对称,所以B错误;令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k则kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z当k=-1时,-7π6≤x≤-所以f(x)在-π,-π2上不单调,所以C错误;因为fx+π12=2sin2x+π12-π6=2sin2x,所以fx+π12是奇函数,所以D正确.10.D解析:∵A=60°,B=45°,a=23,∴由正弦定理asinA=bsinB,可得∴△ABC的面积S=12absinC=12×23×22×sin(180°-60°-45°)=26×sin(60°+45°)=26×32×22+1211.B解析:由题意画图(图略),设BC的中点为D,连接AD,MD,由MB·MC=14[(MB+MC)2-(MB-MC)2]=MD2-14CB2=MD2-14BC2.在△ABC中,由余弦定理得BC2=22+32-2×2×3×cos60°=7.MD的最小值为点D到AC的距离d,由S△ADC=12S所以MB·MC的最小值是MD2-14BC2=312.A解析:∵sin(A+C)cosBb+cosCc=sin∴cosBb+设△ABC外接圆的半径为R.由正弦定理得2R∴2Rsin(C+B)bc∴32=2RsinB,解得2R=∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA=3sinA+π6∵0<A<2π3,∴π6∴sinA+π6∈12,1,∴a+c∈32,3.13.[2,3]解析:依题意,f(x)=1-cos2π4+x-3cos2x=sin2x-3cos2x+1=2sin2x-π3+1.当π4≤x≤π2时,π6≤2x-π3≤2π此时f(x)的值域是[2,3].14.2429解析:因为2sinα=5cosα,所以cosα≠0,tanα=52,所以sin2α+cos2α=15.55解析:作DE⊥AB交AB于点E(图略),设CD=1,AC=a,则BD=3,AD=1+a2,AB=16+a2.在Rt△ADE中,sin∠BAD=DE在Rt△BDE中,sin∠EBD=DEBD在Rt△ABC中,sin∠ABC=ACAB∵1+a25=a16+a2,即a4∴(a2-4)2=0,∴a=2,a=-2(舍去).∴sin∠ABC