专题04勾股定理中的翻折问题(原卷版+解析)-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练(北师大版)

专题04勾股定理中的翻折问题一．选择题（共5小题）1．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为A．1 B． C． D．22．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.53．如图，矩形的边长，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长是A．7.5 B．6 C．10 D．54．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为A． B． C． D．5．如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为A． B． C． D．二．填空题（共13小题）6．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为．7．如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为．8．在中，，点在边上，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是．9．如图，在长方形中，，，点是边上一点，沿将折叠，点的对应点正好落在边上的点处，再作的平分线交边于点，连接，则的面积是．10．如图1，在矩形中，，，是边上一点，将沿着直线翻折得到△．当时，．如图2，连接，当时，此时△的面积为．11．如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正确结论的序号有．12．如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，若长为2，则的长为．13．如图，已知中，，，于点，将沿翻折，使点落在点处，延长与的延长线交于点．求的长为．14．如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点，若、分别是、边上距最近的等分点，且为整数），则．15．如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点，若、分别是、边的中点，则；若、分别是、边的上距最近的等分点，且为整数），则（用含有的式子表示）．16．如图，已知点是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点的对应点为，点的对应点为，若点在上，且，，则．17．如图，在中，，，，点是边上一点．将沿直线折叠到，使点与点重合．当时，线段的长为．18．如图，在长方形中，点在边上，且，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，，则的长度为．三．解答题（共5小题）19．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，，求的面积．20．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在处．（1）若，求．（2）若点恰好在矩形的对角线上，求的长．21．如图，已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，求的长．22．矩形中，，，点在线段上．点在线段上（1）沿折叠，使落在边上的处（如图），若，求的长；求的长；（2）若按折叠后，点落在矩形的边上，请直接写出的范围．23．在长方形中，点是中点，将沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点．（1）如果点在长方形的内部，如图①所示．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，求的长度．（2）如果点在长方形的外部，如图②所示，，请用含的代数式表示的值．专题04勾股定理中的翻折问题一．选择题（共5小题）1．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为A．1 B． C． D．2【解答】解：由已知可得，△，，，，在△中，可得，．则．故选：．2．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5【解答】解：设，连接，，在中，，在中，，，，即，解得，即，故选：．3．如图，矩形的边长，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长是A．7.5 B．6 C．10 D．5【解答】解：在直角三角形中，根据勾股定理得：，又根据折叠知：，，．，是公共角，得：，，即，即．故选：．4．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为A． B． C． D．【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，．．，根据勾股定理可知．解得．的面积为．故选：．5．如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为，则点到的距离为A． B． C． D．【解答】解：，，，由翻折可知，，，，，，，，，设点到的距离为，则有，，故选：．二．填空题（共13小题）6．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为10．【解答】解：易证，，设，则，在中，，解之得：，，．故答案为：10．7．如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，则的长为3．【解答】解：，关于对称，所以和全等，，，设，则．，在中，，．在中，由勾股定理得：，即：，解得．的长为．8．在中，，点在边上，连接，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是．【解答】解：如图，过点作于，于，将沿直线翻折，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．9．如图，在长方形中，，，点是边上一点，沿将折叠，点的对应点正好落在边上的点处，再作的平分线交边于点，连接，则的面积是．【解答】解：如图，作于点，则，在长方形中，，，，由折叠得，，，，，，，，，，，，，解得，，，，，，解得，，，故答案为：．10．如图1，在矩形中，，，是边上一点，将沿着直线翻折得到△．当时，．如图2，连接，当时，此时△的面积为．【解答】解：如图1，当时，由折叠知，，，，四边形是正方形，，，．如图2，当时，过点作，交于点，交于点，四边形为矩形，，，，设，则，设，则，在中，，①，在中，，②，由①②可得，，把代入①得，，解得，，，．故答案为：；．11．如图，中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，其中正确结论的序号有①②④．【解答】解：由折叠可知，，，，，，，，，故①正确；，，，是等腰直角三角形；故②正确；，，，，，，，，，，，，故③不正确；，，，，；故④正确；故答案为：①②④．12．如图，把正方形沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，若长为2，则的长为．【解答】解：由折叠可知：，，，，，，，，，，故答案为．13．如图，已知中，，，于点，将沿翻折，使点落在点处，延长与的延长线交于点．求的长为．【解答】解：，，，将沿翻折，使点落在点处，，，，，，和是等腰直角三角形，，，故答案为：．14．如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点，若、分别是、边上距最近的等分点，且为整数），则．【解答】解：四边形是正方形，，，由折叠的性质得：，，由题意得：若，分别是，边的上距最近的等分点，且为整数），即把分成等份，占份，，，在△中，根据勾股定理，，且为整数）．故答案为：．15．如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点，若、分别是、边的中点，则；若、分别是、边的上距最近的等分点，且为整数），则（用含有的式子表示）．【解答】解：由题意得，，由勾股定理求得，当，分别是，边的上距最近的等分点，且为整数），即把分成等份，占份，，，在△中，根据勾股定理，，且为整数）．16．如图，已知点是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点的对应点为，点的对应点为，若点在上，且，，则5．【解答】解：如图，四边形为矩形，；，；根据翻折变换的性质可知：，；，；由勾股定理得：，，；由题意得：（设为，则；由勾股定理得：，解得：，故答案为5．17．如图，在中，，，，点是边上一点．将沿直线折叠到，使点与点重合．当时，线段的长为2．【解答】解：如图，取和的交点为，，，，，，，设，，在中，，，解得，即，故答案为：2．18．如图，在长方形中，点在边上，且，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，，则的长度为2．【解答】解：如图：设，由翻折变换可知，，，在△中，，，解得，或（舍去），，设，则，，在中，，，解得，，故答案为：2．三．解答题（共5小题）19．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）若，，求的面积．【解答】解：（1）是等腰三角形，理由如下：将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，，，，，，是等腰三角形；（2）设，则，在中，由勾股定理得：，，解得，的面积为：．20．如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在处．（1）若，求．（2）若点恰好在矩形的对角线上，求的长．【解答】解：（1）四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，，，，，，；（2）点恰好在矩形的对角线上，如图：在中，由勾股定理得：，由折叠的性质得：，，，，，设，则，在△中，由勾股定理得：，即：，解得：，的长为3．21．如图，已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，求的长．【解答】解：四边形是矩形，，，根据题意得：，，，，设，则，在中由勾股定理得：，即，，，在中由勾股定理可得：，即，，，即．22．矩形中，，，点在线段上．点在线段上（1）沿折叠，使落在边上的处（如图），若，求的长；求的长；（2）若按折叠后，点落在矩形的边上，请直接写出的范围．【解答】解：（1）设，则，在中，解得，所以过作于，设，则．在中，，解得，（2）若沿翻折后，点落在矩形的边上，观察图象可知的最大值