数乘向量(说课稿)

§2.3

从速度的倍数到数乘向量(

第一课时)2.3.1数乘向量（说课稿）说课内容：普通高中课程标准实验教科书（北师大版）《数学必修4》第二章第三节“从速度的倍数到数乘向量”的第一课时---数乘向量。

下面，我从背景分析、教学目标设计、学情分析、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计等方面对本节课的思考进行说明。一、教材分析1、教材所处的地位和作用

教材通过现实世界中存在着的在同一方向上光速与音速的倍数关系；自由下落物体在两个不同时刻的速度的方向相同，而大小呈倍数关系；逆水中航行的轮船与水流方向相反，其大小也呈倍数关系等大量的向量的倍数关系为实际背景建立数乘向量的数学模型，得出数乘向量的定义及运算律，给出其几何意义，并用非严格推理的方法推出向量共线的判定定理、性质定理，由之得到向量共线的充要条件．在此基础之上通过把一个向量在其它两个共面非零向量上的分解，揭示了平面向量基本定理的本质．该节内容既完成了向量的加法，减法和数乘向量的线性运算，也完成了一种重要的数形结合法——向量法的基础理论的建立．

2、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，具备了位移等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究运算律。这为学生学习向量数乘运算做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。3、教学目标分析知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点)

2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.

情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.4、重点难点

实数与向量积即数乘向量是向量的四种运算之一，而共线向量又是特殊向量运算的基础，平面向量基本定理是整个平面向量理论的基础，重点：是实数与向量积的定义、向量共线的判定和性质、平面向量基本定理以及它们的应用．

难点：是对向量共线的判定定理和性质定理以及平面向量基本性质的理解和应用，可采用数形结合、启发引导，使学生理解共线向量的充要条件和平面向量基本性质．二

、学法与教法：

(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

实数与向量积的概念可看作是数与数积的概念推广；实数与向量积的运算律可看作是实数积的运算律的推广；所以注意用类比方法．

向量法是一种数形结合法，教学中充分利用数形结合的方法，帮助学生准确地理解数乘向量的运算法则、运算律、平面向量共线的充要条件以及平面向量基本性质，并熟练它们的应用．

教学环境：

多媒体教室

、课件

。三、教学过程设计教学内容师生互动设计意图（一）导入1．已知非零向量，求作：(1)；(2)．BAOBAOCCPQMNPQMN==++=3==()+()+()=3请观察与是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化．APQB2．已知eq\o(→,AB)，把线段ABAPQB三等分，分点为P，Q，则eq\o(→,AP)，eq\o(→,AQ)，eq\o(→,BP)与eq\o(→,AB)的关系如何？教师提出问题，引入课题．学生观察解答．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，符合学生认知规律，有利于概念的同化．1．数乘向量的定义实数λ和向量的乘积是一个向量，记作．向量(≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：(1)；(2)当λ＞0时，与的方向相同；当λ＜0时，与的方向相反．当λ＝0时，；当时，λ0＝0．2．数乘向量的几何意义把向量沿着的方向或的反方向，长度放大或缩小．如的几何意义就是沿着向量的方向，长度放大到原来的2倍．练习一任作向量，再作出向量－3，EQ\F(1,2)，－EQ\F(1,3)，并说出它们的几何意义．3．数乘向量运算的运算律设λ，μR，有：(1)(λ＋μ)＝λ＋μ；(2)λ(μ)＝(λμ)；(3)λ(＋)＝λ＋λ．请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？例1计算下列各式：（1）(－3)；（2）2(＋)－(+)；（3）．解（略）练习二化简：（1）2(a－b)＋3(a＋b)；(2)EQ\F(1,2)(a＋b)＋EQ\F(1,2)(a－b)．例2设x是未知向量，解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0．解原式可变形为5x＋5a＋3x－3b＝08x＝－5a＋3bx＝－EQ\F(5,8)a＋EQ\F(3,8)b．练习三解关于x的方程：(1)3(a＋x)＝x；(2)x＋2(a＋x)＝0．例3已知eq\o(→,OA)＝3eq\o(→,OA)，eq\o(→,AB)＝3eq\o(→,AB)，说明向量eq\o(→,OB)与eq\o(→,OB)的关系．解因为eq\o(→,OB)＝eq\o(→,OA)＋eq\o(→,AB)＝3eq\o(→,OA)＋3eq\o(→,AB)＝3(eq\o(→,OA)＋eq\o(→,AB))＝3eq\o(→,OB)．所以eq\o(→,OB)与eq\o(→,OB)共线且同方向，长度是eq\o(→,OB)的3倍．4．平行向量基本定理如果a＝λb（b≠0），则a//b；反之如果a//b，且b≠0，则一定存在一个实数λ，使a＝λb．例如，如果a＝2b，则a//b；如果c＝－2b，则c//b；如果d//b，且d的长度是b的一半，并且方向相反，则d＝－EQ\F(1,2)b．c－2bac－2bab2bb2b－EQ\F(－EQ\F(1,2)b5．非零向量a的单位向量与a同方向且长度为1的向量，称为非零向量a的单位向量．易知，a的单位向量为eq\f(a,|a|)．例4、如图2-23，（P82例3）重点讲解，并给出重要结论平面内A、B、C三点共线且（P是平面内任意点）练习四（1）已知,,试判定与是否共线。（2）若MN是△ABC的中位线，求证：MN＝EQ\F(1,2)BC，且MN∥BC．教师由具体例子引导学生得到数乘向量的定义．师生合作完成．教师提出问题．学生观察解答．师生合作完成．学生练习巩固．教师引导学生完成．学生练习巩固．教师给出问题并引导学生解答．学生根据向量加法的三角形法则及数乘向量定义完成解答．教师由上例引导学生推广到一般的平行向量．教师引导学生分析．学生练习巩固．培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．紧扣向量的两要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．类比学习．有实数运算法则做基础，学生解决这部分题目很容易，提醒学生向量上加箭头．由本例引入平行向量定理，由特殊到一般，便于学