重难点拓展：整式中两种规律探索问题-人教版新七年级《数学》暑假自学提升讲义（解析版）

第第页重难点拓展：整式中两种规律探索问题题型01递推型规律探索【典例分析】【例1-1】（2022秋•安庆期末）一只小球落在数轴上的某点处，第一次从处向右跳1个单位到处，第二次从向左跳2个单位到处，第三次从向右跳3个单位到处，第四次从向左跳4个单位到处，若小球按以上规律跳了次时，它落在数轴上的点处所表示的数恰好是，则这只小球的初始位置点所表示的数是A． B． C． D．【分析】根据题意可以用代数式表示出前几个点表示的数，从而可以发现它们的变化规律，进而求得这只小球的初始位置点所表示的数．【解答】解：设点所表示的数是，则点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是，，解得，，故选：．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．【例1-2】（22-23七年级上·福建龙岩·期中）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，（为正整数）依此类推，则值为．【答案】【分析】根据题意，计算出前几个数的结果，然后观察即可发现数字的变化特点，从而可以计算出的值．【详解】由题意可得，，，，，，，，，由上可得，从第二个数开始，每两个为一组，依次出现，，，，，，，并且偶数个数的结果是这个数除以的结果的相反数，，，故答案为：．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点【例1-3】（23-24七年级上·安徽芜湖·阶段练习）有一列单项式，按一定规律排列成：，，，，，…．根据其中的规律，回答问题．(1)第8个单项式是______，第，（，且为正整数）个单项式是______．(2)若某三个相邻的单项式的系数之和是，则这三个单项式分别是多少？【答案】(1)，(2)，，【分析】本题考查的是单项式的规律探究，一元一次方程的应用，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．（1）观察单项式发现，系数的绝对值为，字母指数为序数，据此即可求解．（2）设所求的三个单项式的系数分别为，，，根据单项式的系数之和是，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵，，，，，…∴第8个单项式是，第，（，且为正整数）个单项式是；故答案为：；．（2）解：设所求的三个单项式的系数分别为，，，由题意得：，解得：，

∵，，，∴这三个单项式分别是，，【变式演练】【变式1-1】（2022秋•裕安区校级期中）一只小球从数轴上的原点出发，第一次向左跳1个单位长度到点，第二次从点向右跳2个单位长度到点，第三次从点向左跳3个单位长度到点，第四次从点向右跳4个单位长度到点，若小球按以上规律跳了6次，它在数轴上的点所表示的数是，若小球按以上规律跳了次，它在数轴上的点所表示的数是（用含的代数式表示）．【分析】由题意可得表示的数，表示的数是1，表示的数，表示的数2，则可得表示的数3，点所表示的数是，即可求解．【解答】解：由题意可得表示的数，表示的数是，表示的数，表示的数，表示的数则可得表示的数，点所表示的数是，故点所表示的数是．故答案为：3，．【点评】此题考查数字的变化规律，数轴的认识，找出其中的变化规律是解题的关键．【变式1-2】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（）A．80 B．200 C．210 D．14【答案】B【分析】本题考查数字变化类规律探究，有理数的运算，理解题意，探究出结果的变化规律是解题的关键．通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．【详解】解：由题意知：，；，；，；，；；由上可知，，，，是按照80、200、14、，80、200、14三个数的组合重复出现的数列，，．故选：B【变式1-3】（2023秋•六盘水期中）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，为正整数）依此类推，则的值为．【分析】已知字母的值，求代数式的值，先把整数、、、、的规律找出来，即当为偶数时，，再把代入计算，即可作答．【解答】解：，，，，，，，，，，，故当为偶数时，，那么时，，则的值为，故答案为：．【点评】本题考查了数字型规律，发现规律是关键．【变式1-4】观察下列单项式：，，，，，，写出第个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？（2）这组单项式的次数的规律是什么？（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么？（4）请你根据猜想，写出第2020个，第2021个单项式．【分析】（1）根据题目中的单项式，可以写出这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么；（2）根据题目中的单项式，可以写出这组单项式的次数的规律是什么；（3）根据（1）和（2）中的发现，可以写出第个单项式；（4）根据（3）中的猜想可以写出第2020个，第2021个单项式．【解答】解：（1）一组单项式：，，，，，，，这组单项式的系数依次为，3，，7，，，39，，绝对值规律是从1开始的连续的奇数；（2）一组单项式：，，，，，，，这组单项式的次数的规律是从1开始的一些连续的整数；（3）根据上面的归纳，猜想出第个单项式是；（4）当时，这个单项式是，当时，这个单项式是．【点评】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应的单项式．【变式1-5】观察下列关于的单项式：，，，，（1）直接写出第5个单项式：；（2）第20个单项式的系数和次数分别是多少？（3）系数的绝对值为2023的单项式的次数是多少？【分析】（1）根据所给的式子，直接写出即可；（2）通过观察可得第个单项式为，当时，即可求解；（3）由题意可得，求出，再由（2）的规律求解即可．【解答】解：（1）第5个单项式为，故答案为：；（2），，，，第个单项式为，第20个单项式为，第20个单项式的系数是，次数是41；（3）系数的绝对值为2023，，次数为．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．题型02累加型规律探索【典例分析】【例2-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）按照下面的方式堆放小球，第5堆有个小球，第n堆有个小球．【答案】15【分析】本题考查了图形规律探索，第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个；根据每一堆的层数和个数，发现可以用梯形的面积公式来计算出个数，上底是1，下底与它的堆数相同，高与底相同，据此求出第5堆和第n堆小球的个数即可．【详解】解：由图可知：第一堆1层1个；第二堆2层3个；第三堆3层6个；第四堆4层10个，则第n堆小球共有：，第五堆小球共有：（个），故答案为：15；【例2-2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第2023个图形中共有个○．【答案】6070【分析】本题考查图形类规律探索，根据题目中的图形，可以发现○的变化规律，从而可以得到第2023个图形中○的个数．【详解】解：由图可得，第1个图象中○的个数为：，第2个图象中○的个数为：，第3个图象中○的个数为：，第4个图象中○的个数为：，……∴第2023个图形中共有：个○，故答案为：6070【例2-3】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题：(1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个；(2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______；(3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值．【答案】(1)16，16(2)(3)【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．（1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个；（2）根据第1、2个图案可表示多项式，，可知第5个图案可表示为多项式；（3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解．【详解】（1）观察图形可知：第1个图案中，三角形有个，正方形有个；第2个图案中，三角形有个，正方形有个；第3个图案中，三角形有个，正方形有个；第4个图案中，三角形有个，正方形有个；故答案为：16，16；（2）第1第2个图案可表示为多项式，，可知第5个图案可表示为多项式，故答案为：；（3）第5个图案所表示的多项式值为90，，又，，的值为：2【例2-4】将正方形（如图作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图，得线段和，它们交于点，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有401个正方形；（2）继续划分下去，第次划分后图中共有个正方形；（3）能否将正方形划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可；（2）根据规律解答即可；（3）根据题意得出值，进而解答即可．【解答】解：（1）第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，第次可得个正方形，第100次可得正方形：（个；故答案为：401；（2）由（1）得：第次可得个正方形，故答案为：；（3）不能，，解得：，不是整数，不能将正方形划分成有2020个正方形的图形．【点评】本题考查规律型数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．【变式演练】【变式2-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有个点，图④中有个点，按此规律，图⑩中有个点．【答案】【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为，，，，，分析这些数我们可以得到，，，据此总结规律求解即可．【详解】观察题图可知：图①中点的个数为；图②中点的个数为；图③中点的个数为；图④中点的个数为；图n中点的个数为；当时，图中点的个数有（个）点，故答案为：【变式2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：第七个图案中有白色地砖块．【答案】30【分析】此题主要考查图形的变化规律，通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．第一个图案有白色地面砖6块，第二个有10块，第三个有14块……即第n个图案中白色地砖数有块，利用这个规律即可求解．【详解】解：因为第一个图案有白色地面砖块，第二个有块，第三个有块，据此总结出规律，第n个图案中白色地砖数有块，所以第7个图案中有白色地面砖数为：（块）即第七个图案中有白色地砖30块．故答案为：30．【变式2-3】（23-24七年级上·山西阳泉·期中）用火柴棒按图中所示的方法搭图形．(1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用根火柴棒，搭第③个图形用根火柴棒；搭第n个图形需根火柴棒；(2)应用：搭第202个图形用根火柴棒；若使用2023根火柴，（填“能”或“不能”）搭建完整的正方形组建的图形；(3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？【答案】(1)12；17；（5n＋2）(2)1012；不能(3)110个【分析】（1）依次求出图形中用的火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）先求出187根火柴搭成的是第几个图形，再根据图形中正方形个数变化的规律即可解决问题．【详解】（1）解：（1）由所给图形可知，第①个图形用的火柴棒根数为：7＝1×5＋2；第②个图形用的火柴棒根数为：12＝2×5＋2；第③个图形用的火柴棒根数为：17＝3×5＋2；…，所以第n个图形用的火柴棒根数为（5n＋2）根．故答案为：12，17，（5n＋2）．（2）解：（2）由（1）知，当n＝202时，5n＋2＝5×202＋2＝1012（根），即第202个图形用的火柴棒根数为1012根．使用2023根火柴棒不能搭建完整的正方形组建的图形．当5n＋2＝2023时，解得n＝404.2，因为n为正整数，所以不能搭建完整的正方形组建的图形．故答案为：1012，不能．（3）解：（3）令5n＋2＝187，解得n＝37，即第37个图形用的火柴棒根数为187根．又因为第①个图形产生的正方形个数为：2＝1×3﹣1；第②个图形产生的正方形个数为：5＝2×3﹣1；第③个图形产生的正方形个数为：8＝3×3﹣1；…，所以第n个图形产生的正方形个数为（3n﹣1）个，当n＝37时，3n﹣1＝3×37﹣1＝110（个），即第37个图形产生的正方形个数为110个，所以使用187根火柴搭图形，图中会产生110个正方形．【点睛】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现所用火柴棒的根