专题2.3 全称量词命题与存在量词命题（五大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页专题2.3全称量词命题与存在量词命题课程标准学习目标1、理解全称量词、存在量词的定义．2、会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．3、会对含有一个量词的命题进行否定．1、数学抽象：全称量词与存在量词的含义2、逻辑推理：判断全称量词命题和存在量词命题的真假；3、数学运算：由命题的含义求参数的范围知识点01全称量词与全称量词命题1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示．2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．3、全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对．【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题的个数是（

）①任何实数都有平方根;②所有素数都是奇数;③有些一元二次方程无实数根;④三角形的内角和是．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】根据全称量词命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称量词命题，故选：D．知识点02存在量词与存在量词命题1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示．2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．3、存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对．【即学即练2】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（

）A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数【答案】D【解析】根据全称量词和存在量词的定义可知，A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题；B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题；C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题；D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题.故选：D知识点03命题的否定1、一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．2、如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．3、一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．4、一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．5、命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．6、常见正面词语的否定举例如下：正面词语等于大于（>）小于（<）是都是否定不等于不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至少有一个至多有一个任意的所有的至多有n个否定一个也没有至少有两个某个某些至少有n＋1个【即学即练3】（2023·山西大同·高一校考期末）命题“对任意，都有”的否定为（

）A．对任意，都有 B．存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得【答案】B【解析】命题“对任意，都有”的否定为：存在，使得.故选：B题型一：全称量词命题与存在量词命题的判定例1．（2023·福建莆田·高一校考阶段练习）下列命题是全称量词命题的是（

）A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360°C．至少有一个整数，使得是质数 D．，【答案】B【解析】对于ACD，均为存在量词命题，对于B中的命题是全称量词命题.故选：B例2．（2023·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习）下列命题中全称量词命题的个数是（

）①任意一个自然数都是正整数；②有的平行四边形也是菱形；③边形的内角和是．A． B． C． D．【答案】C【解析】命题①③为全称量词命题，命题②为存在量词命题.故选：C.例3．（2023·江苏南京·高一江苏省南京市第十二中学校考期中）已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A变式1．（2023·高一单元测试）下列命题是存在量词命题的是（

）A．一次函数的图象都是上升的或下降的B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0C．存在实数大于或者等于3D．菱形的对角线互相垂直【答案】C【解析】选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．故选：C变式2．（2023·高一单元测试）下列命题中，存在量词命题的个数是（

）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有.A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．故选：B变式3．（2023·四川乐山·高一校考阶段练习）下列命题中，不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数C．实数都可以写成小数形式 D．存在奇数不是素数【答案】D【解析】对A选项，任何是全称量词，故A错误；对B选项，省略了量词所有，是全称量词，故B错误；对C选项，省略了量词所有，是全称量词，故C错误；对D选项，存在是存在量词，故D正确；故选：D.【方法技巧与总结】理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点（1）全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．（2）有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题，如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”．（3）存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．题型二：判断全称量词命题与存在量词命题的真假例4．（2023·高一课时练习）下列命题中是真命题的为（

）A．，使B．，使C．，D．，【答案】D【解析】对于A，由，可得，所以不存在，使成立，故错误；对于B，由，可得，所以不存在，使，故错误；对于C，当时，，故错误；对于D，因为当时，，故正确.故选：D.例5．（2023·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）下列命题中是真命题的为（

）A．对任意的B．对任意的C．存在D．存在锐角，【答案】D【解析】A选项，，A选项错误；B选项，，B选项错误；C选项，由于，故，，C选项错误；D选项，显然存在，使得，D选项正确.故选：D例6．（2023·全国·高一假期作业）下列命题是全称量词命题并且是真命题的是（

）A．所有菱形的四条边都相等B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈NC．任意x∈R，x2+2x+1>0D．π是无理数【答案】A【解析】选项A、C是全称量词命题，选项C，当时，，所以选项C是假命题，故选：A变式4．（2023·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）下列命题为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，当时，，C正确；由可得均为无理数，故D错误，故选:C.变式5．（2023·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考阶段练习）下列命题中，真命题是（

）A．若、且，则、至少有一个大于B．，C．的充要条件是D．，【答案】A【解析】对于A选项，假设、都不大于，即且，由不等式的性质可得，与题设矛盾，假设不成立，原命题为真命题，A对；对于B选项，当时，，B错；对于C选项，若，则无意义，即，当时，可得，即，所以，是的充分不必要条件，C错；对于D选项，，，D错.故选：A.变式6．（2023·全国·高一假期作业）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【解析】，，当⫋时，，使得，故A错误；，，必有，即，必有，故B正确；由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；当时，不存在，使得，故D错误，综上只有B是正确的．故选：B．变式7．（2023·全国·高一假期作业）已知命题；命题，则下列说法正确的是（

）A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题【答案】C【解析】对于命题，是存在量词命题，取，则，故为真命题；对于命题，是全称量词命题，当时，，故为假命题；所以为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题.故选：C．变式8．（2023·全国·高一假期作业）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使【答案】B【解析】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对选项B：是存在量词命题，当时，成立，所以B正确；对选项C：，故C为假命题；对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题.故选：B【方法技巧与总结】（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；（2）要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题．题型三：由全称量词命题的真假确定参数取值范围例7．（2023·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）“”是真命题，则m的范围是【答案】【解析】对于命题：对任意，不等式恒成立，而，有，∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是.故答案为:例8．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）若命题“”为真命题，则的取值范围.【答案】【解析】，只需，当时取最大值为3，所以的取值范围为.故答案为：.例9．（2023·高一课时练习）已知命题为假命题，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“”为真命题，即关于x的方程有实数根．所以或，即或且，所以，所以实数a的取值范围是.故答案为：.变式9．（2023·高一课时练习）已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】当为真时，；当为真时，，即；因为命题p和都是真命题，所以且或.故答案为：.变式10．（2023·全国·高一假期作业）已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是.【答案】【解析】已知问题等价于有解，即或，解得.故答案为：变式11．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知命题成立；命题成立．(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)若命题真假，求实数的取值范围．【解析】（1）因为命题为真命题.所以在上恒成立，则判别式，即解得.所以实数的取值范围为.（2）由（1）知命题为真命题时，的取值范围为.当命题为真命题时，不等式有解.则判别式即解得或.则命题为假命题时，即.故命题真假时，满足.所以实数的取值范围为.变式12．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围；【解析】由于命题：“，”是真命题，所以，，则解得综上的取值范围是.变式13．（2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）已知全集，集合，集合．(1)若，求实数的范围；(2)若，，使得，求实数的范围．【解析】（1）若，则，当时，则，，当时，则，则不存在，综上，，，实数的范围为．（2），，使得，，且，则，，实数的范围为．题型四：由存在量词命题的真假确定参数取值范围例10．（2023·江苏·高一假期作业）若命题为假命题，则实数a的取值范围为.【答案】【解析】∵命题为假命题，∴方程无实数根．则，解得．故答案为：例11．（2023·高一课前预习）已知两个方程：，，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是．【答案】/【解析】当有实根时，，解得；当有实根时，，解得；因为两个方程至少有一个有实根，所以实数a的取值范围是.故答案为：.例12．（2023·高一课时练习）已知命题”为真命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】为真命题，即方程在范围内有实根，故，故.故答案为：变式14．（2023·高一课前预习）已知集合，或.(1)求、；(2)若集合，且，为假命题，求的取值范围.【解析】（1）已知集合，或，则或，，或.（2）因为，为假命题，则，为真命题，所以，.①当时，即当时，，则成立；②当时，即当时，，由题意可得或，解得或，此时.综上所述，或.变式15．（2023·广东深圳·高一统考期末）已知集合，.(1)若“命题：，”是真命题，求的取值范围.(2)“命题：，”是假命题，求的取值范围.【解析】（1）因为命题是真命题，所以，当时，，解得，当时，则，解得，综上m的取值范围为；（2）因为“命题：，”是假命题，所以，当时，，解得，当时，则或，解得，综上的取值范围为.变式16．（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）已知命题，，命题，.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.【解析】（1）若命题p为真命题，则对恒成立，即，因此，解得.因此，实数m的取值范围是.（2）若命题q为真命题，则方程有两不等实根，所以，则，解得或.因此，实数m的取值范围是或.（3）若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题，则结合（1）（2）得或，因此，实数m的取值范围是变式17．（2023·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知命题p：，，q：，若p的否定是假命题，且q是真命题，求实数a的取值范围．【解析】，恒有，由，，得，因p的否定是假命题，则p是真命题，因此，q是真命题，则方程2x2+5x+a=0有实数根，即，解得，依题意得，所以a的取值范围是.题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定例13．（2023·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题“，”是存在量词命题，其否定形式为：，.故选：C例14．（2023·江苏徐州·高一统考期末）命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】命题“，”为特称量词命题，其否定为：“，”.故选：C例15．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）命题，当时，有，则为（

）A．，当时，有B．，满足，但C．，满足，但D．以上均不正确【答案】B【解析】根据命题的否定的任意变存在，存在变任意，结论相反，故为，满足，但，故选：B.变式18．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为命题“”是存在量词命题，所以命题的否定是.故选：B.变式19．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）命题，的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】命题为全称量词命题，该命题的否定为“”.故选：A.变式20．（2023·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）设命题：任意的，，则为（

）A．不存在， B．存在，C．任意的， D．存在，【答案】D【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，命题：任意的，，则为“存在，”．故选：D．变式21．（2023·吉林长春·高一东北师大附中校考期中）命题“”的否定是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】命题“”的否定是，B正确.故选：B【方法技巧与总结】（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．一、单选题1．（2023·高一单元测试）若命题“任意，使”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于任意，都有，故要使命题“任意，使”为真命题，需有，故选：B2．（2023·江苏·高一假期作业）以下四个命题中，真命题的个数是（

）①“若，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则，而，满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时，故①是假命题；对于②，当时，，故②是真命题；对于③，“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，可知③是真命题．故选：C.3．（2023·江苏·高一假期作业）已知命题：，，使得，则为（）A．，，使得B．，，使得C．，，使得D．，，使得【答案】C【解析】由全称命题和特称命题的否定形式，可得命题：，，使得的否定为：，，使得.故选：C.4．（2023·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若命题“，”为真命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知，，则，即，所以的取值范围是.故选：C.5．（2023·福建福州·高一校联考期中）下列命题的否定是真命题的是（

）A．B．菱形都是平行四边形C．，一元二次方程没有实数根D．平面四边形，其内角和等于360°【答案】C【解析】对于A，，，其否定为：，，由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确；对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形，原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确；对于C，，一元二次方程没有实根，其否定为：，一元二次方程有实根，由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确；对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确；故选：C.6．（2023·江苏苏州·高一苏州中学校考期末）已知，若是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为是真命题，所以方程有实数根，所以，解得，故实数的取值范围为.故选：B.7．（2023·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）若命题“，都有”为假命题，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，使得，当，符合题意；当，只要即可，解得，综上：．故选：C．8．（2023·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，对任意恒成立，，解得：，∴，．故选：A．二、多选题9．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）下列命题正确的是（

）A．“平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线”是全称量词命题；B．命题“，都有”的否定是“”；C．“”是“”成立的必要不充分条件；D．幂函数的图象与坐标轴没有公共点的充要条件是．【答案】AC【解析】A.“平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线”这里的圆包含所有的圆，是全称量词命题，故A正确；B.命题“，都有”的否定是“”，故B错误；C.“”推不出“”成立，而“”能推出“”成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；D.幂函数的图象与坐标轴没有公共点的充要条件是，故D错误．故选：AC10．（2023·福建泉州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．命题，则命题的否定是B．全称命题“”是真命题.C．命题“”是假命题D．集合.集合，若，则的取值范围是【答案】AC【解析】A选项，命题的否定是，A正确；B选项，当时，，故B错误；C选项，对于，，故对任意的，，C正确；D选项，因为，所以，又，当时，若，则，解得，此时，满足，若，则，解得，此时，不满足，当时，，解得，综上，的取值范围为或，D错误.故选：AC11．（2023·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“，有”的否定是“，使”D．“是方程的实数根”的充要条件是“”【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，正确；对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，错误；对于C，命题“，有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；故选：ACD12．（2023·江苏泰州·高一校考阶段练习）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】AB【解析】二次函数的对称轴为，①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，且时，即满足题意；②若时，如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，则时，，解得，此时，，综上，，故选：AB．三、填空题13．（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）设命题，，则命题p的否定为.【答案】【解析】命题，，命题的否定是：.故答案为：.14．（2023·高一课时练习）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是．【答案】[2，6]【解析】由命题“”的否定为“”，因为命题“”为假命题，则“”为真命题，所以，解得，则实数的取值范围是.故答案为：.15．（2023·山东青岛·高一校联考阶段练习）若“，”为真命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】当时，原式，成立；当时，开口向下，显然有解；当时，只需，解之：或。故答案为：16．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期中）已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为命题“”为假命题，所以命题“”为真命题，因为集合，