专题01 数与式的运算（教师版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题01数与式的运算【知识点梳理】知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三数和平方公式；(4)两数和立方公式；(5)两数差立方公式．知识点3：二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．(1)分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．(2)二次根式的意义知识点4：分式(1)分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．(2)繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【题型归纳目录】题型一：绝对值题型二：乘法公式题型三：二次根式题型四：分式【典例例题】题型一：绝对值例1．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中)如果，那么_______【答案】【解析】∵∴，，解得:，，∴，故答案为:．例2．(2023·福建龙岩·八年级统考期中)若，则___________．【答案】【解析】∵∴，∴，∴．故答案为：．例3．(2023·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中)比较大小：___________．【答案】【解析】，，，，故答案为：．变式1．(2023·天津东丽·八年级校联考期中)已知实数、满足，则的值为______．【答案】【解析】∵有理数x、y满足，∴，，解得，，∴．故答案为：．变式2．(2023·四川南充·七年级四川省南充高级中学校考阶段练习)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：_____．【答案】/【解析】由题意得，，∴，，∴．故答案为：．变式3．(2023·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中)已知在数轴上A、B两点分别表示的数是a和b，，，，点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，则点Р表示的数是_________．【答案】或【解析】∵，，∴，．又∵，∴，∴．∴，或，．当，时，∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，∴点P表示的数为；当，时，∵点Р在数轴上且与点A、点B的距离相等，∴点P表示的数为；∴点P表示的数为或．故答案为：或．题型二：乘法公式例4．(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模)下列运算正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A、，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、，故C正确，符合题意；D、，故D不正确，不符合题意．故选：C．例5．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)多项式A与的乘积含有项，那么A可能是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A．∵，∴多项式与的乘积不含项，故A不符合题意；B．∵，∴多项式与的乘积不含项，故B不符合题意；C．∵，∴多项式与的乘积含有项，故C符合题意；D．∵，∴多项式与的乘积不含有项，故D不符合题意．故选：C．例6．(2023·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试)下列因式分解结果正确的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】A、，故本选项因式分解结果正确；B、，故本选项因式分解结果错误；C、，故本选项因式分解结果错误；D、不能分解因式，故本选项结果错误；故选：A.变式4．(2023·江苏泰州·统考二模)、为正整数，，则的值为(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵∴∵，，又、为正整数，∴，或，，∴或，∴，故选：B．变式5．(2023·四川内江·威远中学校校考二模)下列运算正确的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】A.，故此选项错误，不符合题意；B.，故此选项错误，不符合题意；C.，故此选项正确，符合题意；D.，故此选项错误，不符合题意；故选：C．变式6．(2023·安徽合肥·统考三模)下列运算正确的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】A、，计算错误，故此选项不符合题意；B、，计算错误，故此选项不符合题意；C、，计算错误，故此选项不符合题意；D、，计算正确，故此选项符合题意；故选：D．变式7．(2023·山东东营·统考二模)下列运算结果正确的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】．不能合并了，故原选项计算错误，不符合题意；B．，故原选项计算错误，不符合题意；C．，故原选项计算正确，符合题意；D．，故原选项计算错误，不符合题意；故选：．题型三：二次根式例7．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)计算：(1)；(2)．【解析】(1)(2)例8．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)先化简，再求值：，其中．【解析】，把代入得：原式．例9．(2023·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试)计算：【解析】．变式8．(2023·全国·九年级专题练习)先化简，再求值：，其中【解析】原式，当时，原式．变式9．(2023·北京·八年级统考期中)计算：．【解析】原式．变式10．(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考模拟预测)先化简，再求值，其中【解析】原式，∵，∴，∴原式．变式11．(2023·福建龙岩·八年级统考期中)一个三角形的三边长分别为，，．(1)求它的周长(用含的式子表示)；(2)请你给一个适当的值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积．(海伦公式：，其中，，分别是三角形的三边长，记)【解析】(1)∵一个三角形的三边长分别为，，∴它的周长；(2)由题意得要是整数，当时，，符合题意，∴此时三边长分别为，，，∴，∴．题型四：分式例10．(2023·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中)分式与的最简公分母是______．【答案】【解析】∵，∴分式与的最简公分母是．故答案是．例11．(2023·内蒙古包头·二模)化简：________．【答案】/【解析】，，，，，故答案为：．例12．(2023·河北邯郸·八年级统考期中)在函数中，自变量x的取值范围是_________________．【答案】且【解析】由题意得，，解得，且故答案为：且．变式12．(2023·江苏苏州·七年级苏州市立达中学校校考期中)已知，则______．【答案】47【解析】，，，，，，，即，故答案为：47．变式13．(2023·广东佛山·校联考二模)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．【答案】【解析】由题意，得，∴．故答案为：．变式14．(2023·河北沧州·统考二模)已知，求下列各式的值．(1)_____________；(2)___________．【答案】13【解析】(1)，∵，∴；(2)；故答案为：1；3．【过关测试】一、单选题1．(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)数1，0，，中最小的是(

)A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】∵∴∴在1，0，，中最小的数是，故选：A．2．(2023·北京海淀·七年级101中学校考开学考试)下列代数式中中，单项式()A．1个 B．2 C．3个 D．4个【答案】D【解析】中，是单项式，共4个，故选：D．3．(2023·八年级单元测试)直线l：(m、n为常数)的图象如图，化简：得()

A． B．5 C．-1 D．【答案】D【解析】由直线(m，n为常数)的图象可知，，，∴，，．故选：D．4．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)下列计算正确的有(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为和不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确；因为，所以B不正确；因为，所以C不正确；因为，所以D正确．故选：D．5．(2023·湖北武汉·八年级校联考期中)下列二次根式中，最简二次根式是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】A、的被开方数12中含有能开得尽方的因数4，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、的被开方数是分数，不是整数，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意；D、的被开方数是小数，不是整数，则不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．6．(2023·陕西西安·校考三模)在下列计算中，正确的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】A、原式，不符合题意；B、原式，符合题意；C、原式，不符合题意；D、原式，不符合题意．故选：B．7．(2023·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市中实学校校考期中)有理数m、n在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有(

)①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】根据数轴可得且，∴，，即①正确，②错误；∵，∴，∴，即③正确；∵且，∴∴，即④正确；∵∴，即⑤正确；∴①③④⑤正确，正确的个数为4个，故选：D．8．(2023·内蒙古包头·二模)已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于(

)A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】，是一元二次方程的两个实数根，，，，故选：B．9．(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】A、∵，∴，错误，不符合题意；B、∵，，正确，符合题意；C、∵，∴，错误，不符合题意；D、∵，∴错误，不符合题意；故选B．10．(2023·湖北武汉·统考模拟预测)同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏．将，2，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则的值为(

)

A．1或 B．或 C．或 D．1或【答案】C【解析】设小圈上的数为c，大圈上的数为d，又，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，

则，得，，得，，∵当时，，则，当时，，则，故选：C．二、填空题11．(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)分解因式：_________________．【答案】【解析】故答案为：．12．(2023·广西南宁·校考二模)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围________．【答案】【解析】∵在实数范围内有意义，，，故答案为：．13．(2023·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中)化简：______．【答案】【解析】，故答案是．14．(2023·云南曲靖·统考二模)分解因式：_____________．【答案】【解析】．故答案为．15．(2023·陕西榆林·七年级绥德中学校考阶段练习)课堂上老师布置了四道运算题目，小刚做的结果为：①；②；③；④，他做对的有______．(填序号)【答案】①④/④①【解析】，故①正确；，故②错误；，故③错误；，故④正确，故答案为：①④．三、解答题16．(2023·浙江温州·校考二模)(1)计算：．(2)解不等式组，并把解表示在数轴上．

【解析】(1)；(2)解不等式①得，；解不等式②得，；所以，不等式组的解集为：，在数轴上表示为：

17．(2023·浙江·校联考三模)化简与计算：(1)化简：；(2)计算：．【解析】(1)；(2)．18．(2023·江苏苏州·统考二模)计算：．【解析】．19．(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，．

(1)______(用含m的代数式表示)；(2)求当与的差不小于时m的最小值．【解析】(1)．(2)∵与的差不小于，∴，∵，，∴，∴，m最小取．20．(2023·河南南阳·统考三模)化简求值：，其中x是不等式组的整数解．【解析】．解，①可化简为：，，∴；②可化简为，∴，∴不等式的解集为，∴不等式的整数解是，又∵，∴，∴或，当时，原式，当时，原式．21．(2023·湖南长沙·九年级校联考期中)先化简，再求值：，其中a满足．【解析】，，，，；∵，∴．22．(2023·上海静安·六年级上海市回民中学校考期中)若方程的解是关于的方程的解，求的值．【解析】，，解得，，即，解得，将代入得．23．(2023·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考期中)如图，数轴上点A、B分别在原点左侧和右侧，点C在点B右侧，点C对应的数是点B对应的数m倍，点A到点B的距离是点B到点C距离的n倍，且．(1)求m和n的值；(2)若点B在数轴上对应的数是2，若