2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第1章　§1.2　常用逻辑用语（含解析）

第第页§1.2常用逻辑用语课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则A⫋B；(3)若p是q的必要不充分条件，则B⫋A；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)2．(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是()A．p是真命题B．¬p：∀x∈R，x＋2>0C．¬p是真命题D．¬p：∃x∈R，x＋2>0答案为：CD解析：当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为¬p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；¬p是真命题，故C正确．3．设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案为：C4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．答案为：(－∞，3)解析：由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3.题型一充分、必要条件的判定例1(1已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案为：C解析：当m∥n时，l⊥α，当l⊥α时，m∥n，综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件．(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案为：A解析：当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且0<q<1时，上式也成立，显然无法得出a1>0，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．思维升华充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案为：A解析：f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.则“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件．题型二充分、必要条件的应用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．充分不必要条件的等价形式p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．典例已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若¬q是¬p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_____________．答案为：(1，＋∞)解析：由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝{x|eq\f(1,4)≤2x≤32}，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．(2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有A⫋B，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m<－2，,2＋m≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤－2，,2＋m>5，))解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是m≥4.选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有B⫋A，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3，所以正实数m的取值范围是0<m≤3.题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(1)(多选)下列说法正确的是()A．“正方形是菱形”是全称量词命题B．∃x∈R，ex<ex＋1C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”答案为：ABC解析：对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确；对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________.答案为：至少有一个实数是无理数命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案为：ACD解析：指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；当x＝1时，lgx＝0<1，所以∃x∈R，lgx<1，故C正确；函数y＝tanx的值域为R，所以∃x∈R，tanx＝2，故D正确．命题点3含量词的命题的应用例5(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．(－∞，2]D．(－∞，5]答案为：B解析：由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1]．(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案为：ABC解析：若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项．思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3(1)下列命题为真命题的是()A．任意两个等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．∀x∈R，x＋|x|≥0D．∃x∈R，x2－x＋1＝0答案为：C解析：对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故D错误．(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是()A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”C．当命题p为真命题时，1≤m≤2D．当命题q为假命题时，a<4答案为：ACD解析：命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a<x＋eq\f(4,x)恒成立，因为x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时取等号，所以a<4，故D正确．课时精练一、单项选择题1．命题“∃x>0，sinx－x≤0”的否定为()A．∀x≤0，sinx－x>0B．∃x>0，sinx－x≤0C．∀x>0，sinx－x>0D．∃x≤0，sinx－x>0答案为：C解析：由题意知命题“∃x>0，sinx－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x>0，sinx－x>0.2．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)答案为：A解析：对于A，ab≠0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))⇒a≠0，故p是q的充分条件；对于B，a2＋b2≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∈R，,b∈R))⇏a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件；对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；对于D，当a>b时，若b<a<0，则不能推出eq\r(a)>eq\r(b)，故p不是q的充分条件．3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案为：A解析：若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行．即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件．4．已知p：eq\f(1,x)>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案为：C解析：由eq\f(1,x)>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．下列说法正确的是()A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1,3]答案为：D解析：eq\r(2)是无理数，x2＝2是有理数，A错误；当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤1，,m＋2≥3，))两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确．6．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案为：C解析：若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－2<a<2；若对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，则0<4－3a<1，即1<a<eq\f(4,3).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))(－2,2)，∴p是q的必要不充分条件．7．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是()A．－4<a<0B．－4≤a<0C．－4<a≤0D．－4≤a≤0答案为：C解析：命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题¬p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上可知，－4<a≤0.8．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{eq\f(Sn,n)}为等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案为：C解析：方法一甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此{eq\f(Sn,n)}为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{eq\f(Sn,n)}为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)为常数，设为t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．方法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此{eq\f(Sn,n)}为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{eq\f(Sn,n)}为等差数列，设数列{eq\f(Sn,n)}的公差为D，则eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．二、多项选择题9．下列命题是真命题的是()A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B．∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数C．∃x∈R,2x＜x2D．∀x∈(0，＋∞)，(eq\f(1,3))x＞SKIPIF1<0答案为：AC解析：当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝eq\f(1,3)时，SKIPIF1<0∈(0,1)，SKIPIF1<0＝1，∴SKIPIF1<0，故D为假命题．10．下列命题中正确的是()A．“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”C．“幂函数y＝SKIPIF1<0为反比例函数”的充要条件是“m＝0”D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”答案为：BCD解析：对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误；对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m>0，,x1x2＝m<0，))解得m<0，满足必要性，当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>