浙江普通专升本高等数学试卷合集答案

2019年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷(一)

一、选择题

i.c

(1Y1

解析：由于是选择题，可以用图形法解决，令a%)=x(x—i),则贝0=|%--1

I2)4

是以直线x=1为对称轴，顶点坐标为f1,-1),开口向上的一条抛物线，与X轴相交的

2(24)

两点坐标为(0,0),(1,0),y=/Xx)*的图形如图.

点x=0是极小值点；又在点(0,0)左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，所以点

(0,0)是拐点，选C.

2.C

1-X

解析：因为lim2"+J)=lim1+A=L故选C.

*旬1-Vx上旬2(1+x)2

3.D

解析：利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为0.当被

=In(2+x2/=In6-In2=In3.

4.C

(〃+4

=1<1,所以X炉收敛，故选c.

”T863c2n->oojq；32，12"

F

5.A

解析：平面区域的面积

ee

S=J〕Inxdx=(xInx-x)1=1.

二、填空题

6.-2<x<4

解析：-1<A।W1,16-->0n'^-%-^=>-2<x<4

-3-\.

[-4<x<4

7.e-05

1l~~7_r_2濯讨士铲x(-0.5)

解析：原式=lim"，毛工一"二1GM=e«5

8.办=/'(sinx)cosx公

解析：y'=7'(sinx)cosx

(lnx+I)2013

9.

2013

2012

r(lnx+I)r..八2012力/1八(lnx+1严3

解析：------------dx^(lnx+1)ouJ(lnx+1)=---------------+C.

Jx」2013

10.-xex-e'+c

解析：Jxf\x)dx-^xdf(x)=xf(x)-jf(x)dx=-xex-”*+c

3

11.

2

解析：由求斜渐近线公式y=+(其中。=limH，b=lim[f(x)-ax],得:

“T8XXH

3

a=limiim。t?；-1,

*f+°°X

3_3

b=lim[/(x)-izx]=lim""')/'

XT+8J12

3

于是所求斜渐近线方程为y=九+_.

2

TC

12.—.

2

方法1：作积分变量变换，

八兀

令x=sec，，则/一1=sec2t-1-tan21,dx=dsect=secttantdtft\0二^

2

+oodx-secr-tanr匹冗

代入原式：[-].....x=sect[2--------------dt=[2dt=—.

J11招_jJ°sec/•tan/J()2

方法2：令XJ,则为:=gl=二1力，代入原式:

tt/2

71

0_2

当尤=-3时,级数为寸耳口攵敛；当x=7时,级数为£上发散;

故收敛域为［-3,7).

15.e,

解析:因为y'=f'(21nx+2),令y=0得驻点为e1.

e

22(0.2+1

又y，=x2%2inx+2)+X2x._,得y_\=2ee>0,

x\e)

12.

故为y=的极小值点，此时y=J，，

e

又当XG(O1,时，y(x)<o；时，y(x)>o,

故上递减，4，，［上递增.

2

黑+二一1加(-2x)

而>(1)=1,>(0)=limx2，=lime2xM,=x=e?=«"=1,

x->0+x->0+

所以y=x2'在区间(0,1］上的最小值为y

三、计算题

16.解析：

(1+X)、-e'Lx-(14-x)ln(l+x)&、,

原式=lim_________=lim(14-x)。~~-———L(洛必达法则)

r30%x-»0x2(l+x)

1

=__e

2

=[cos广力-1Jcost'dt-x

解析：x0

17.f'(0)=lim/W-/(°)=Hm=lim2___________....1分

2

1。+Xx：o+X10+X

3

2

-1

COSX-lirri2=o......................3分

=lim........—nrr

XfO+2xXT。Zx2

(1-COSx)-l2

/'(0)=limy(x)--(0)_r2「2(1-cosx)-x4分

lim--------------=lim--------------,,

3

x->0'XXTO+L%x->0+X

2(cosx

2

二不3xxf(r6x

所以八0)=0,/(x)在x二二0处连续可导.......................7分

dy(1-cost);;inft

8.解析：=________；=,=cot........................3分

心(t-sint}।cost2

(八

'cot-1

d”2人[

j4分

dx(r-sin/)

1it

--CSC—

_22..6分

1-cost

14t

=CSC_.........................................7分

42

19.解析：[xln(x+l)i/x=2Jln(x+1)次.............................2分

121x2

xln(l+x)[dx.....................4分

~22，1+x

_1》2坨(1+幻一：--二1+1.................5分

22Jl+x

=，¥11](1+龙)J「九_]+'"Lx

2211+xj

=Lx2ln(l+x)-lx2+lx-lln(l+x)+C..................7分

2422

20.解析：令光=sec/,，G[O,m则公=secZtantdt,.......................................1分

当x=^2时，/="；当x=2时，t=兀,2分

-43

原式=|jsec[tanf力...........................................4分

J市ecnant

=costdt=sint\J-..................................................................6分

74

=F7

22

21.解析：y=x3-3x-2

>'=3工2-3=3(x+l)(x-l)令y'=0得X]=-1,x2=1

y'=6x,令y'=0得匕=0y,r=6

・・・y(-i)=-6<o,y(D=6>o,y\o)=6wo

・•・西=-1是极大值点，匹=1是极小值点，(0,-2)是拐点

22.解析：少+cos^=efinx为一阶线性微分方程

dx

y=e-"”e7…公+°

=e-sinj([+

=L(x+O

23.解析:过点A作向量足?和A,则

—>—>

AB={-3,-3,3},AC={0,-2,4}...........................................1分

所求平面的法向量为：

jk

-33=-6Z+12j+6k........................3分

o-24

由平面的点法式方程有：

-6(x-l)+12(y-l)+6(z+l)=0

.4分

即x-2y-z=0

AB线段中点M的坐标为(―1,—L

5分

22

—>

分

故MC直线的方向向量为：MC=<

x-\_y+1_z-3

所求直线方程为

222

即8分

5

四、综合题

24.解析：设/(尤)=2xarctanx-ln(l+x2)

12x

f\x)-2arctanx+2x-------1+/=2arctanx

1+xr

x<0时/'(x)<0,/(x)在(—8,0)单调下降

龙〉0时/'(幻>0,/(x)在(0,+8)单调增加

尤=0是/(X)在(一8,+00)上的最小值点

Vxe(-oo,+oo),/(x)>/(0)=0即2xarctanx>ln(l+x2)

25.解析：(1)令/(x)=/(x)—l+x............................2分

则F(x)在［0,1］上连续，且F(0)=—1<0,/(1)=1>0,于是由零点定理知，存在

兵(0,1),使得/©=0,即/©=1—舫5分

(2)在［0©和匕1］上对/(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点

昨(0,?,兵4,1)使得(⑺)=华一*，/⑷=f(?一步-------8分

于是fW^=f©."f©=T4=1...................io分

T4T

26.解析:

「"(X)+''(x)]c°sxdx=sinx+cfxdf\x)

={[/(x)sinx『一/o)sinxdx]+{[fr(x)cosxY+/T(xjsihxdx]3分

,o£,

oo7分

（该步骤注意加号前后是否出错）

=一广（田一尸（0）=2

9分

r(0)=—2—/㈤=—2—3=—5

10分

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年浙江普通专升本《高等数学》全真模拟预测卷(二)

2019

一、选择题

1.B

解析：因为力=/'(x0)Ax+<7(Ar),所以lim包=/'(/)=故选B

-Ax2

2.C

解析：这是讨论直线L的方向向量与平面n的法向量的相互关系问题.

直线L的方向向量

'ijn

1=132F-28i+14/-7Z=-7(4，-2)+左)

、2-1-ioj

平面n的法向量〃=4i—2/+h///〃，L_Ln.应选c

3.B

解析：本题是关于求渐近线的问题.由于

lime+arctan-+丫+1=冗、

xt8(x+l)(x-2)4

故y=_为该曲线的一条水平渐近线.

4

「1.+x2+x+1

又limexarctan-----------=oo.

D(x+l)(x-2)

故x=0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条.

故本题应选B.

4.B,

1八1

解析：因才是/a)的一个原函数，所以/(©=([)=—十,所以

jx3f(x)dx=-jxdx=一；/+0故选B.

5.B

解析：之(-1)〃为交错级数，故收敛，但1〉)一1)〃%33发散,

n=\Jn〃=]n=\Vn

二、填空题

6.e']<x<2

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2-x>0(x<2

I-1-I

解析：《一141nx<x<e=>e<x<2

[x>0[x>0

limsJrln(山+日+/，)

7.解析：原式=e'一"3,

x2r3xx2x3x

1e+e+e1e+e+e-3

而limln((等价无穷小因式替代)

xT°sinx3—ox3

=2

故原式="

8.y-2x-1=0

解析：切点为(0,1)y=l+/,当x=0时，y'=2.所以y—l=2(x—0)即y—2x—l=0

9・arctanx+-

1+d

解析：(xarctanx)=xarctanx+x(arctanx)=arctanx+1:、

10.4

_00_»74-1

解析：考虑基级数£群"、由Hm--=1可知，该辕级数的收敛半径为1,收敛区间为

公…n

18

(-1,1).则X=-e(-1,1).记S(x)=Z，两边从0到x积分，得

2n=\

88X

XXn-\00xn-\"

心=，,(Z心=JL£nxdx=Zx=1=^，“以一1」)

n=ln=ln=l

所以

x(1—x)~

181a1

=4

所以sq=Z〃()^-

乙〃=1/(1—_L)2

注：此题亦可用中学差比数列求和的方法做

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b+a

12.解析：当取〃满足。+〃=一（。+〃）即〃=----时

2

b-a

积分厂。+〃严7/'*"公=匕£"dx=J邑尤明'4=0

Ja

13.—

2・c・।

解析：厂亚区的=2x广皿二.

oX0I20t2

2

4

14.—九.

3

解析:如图所示：

二d1('—1)公=-7T.

.3

15.x—y—z—5=0

ijk

解析：5=2-24=-16(1,-1,-1)

35-2

所求平面方程为(x-2)-(y-0)-(z+3)=0

即x-y-z-5=0

计算题_.

解析:原式=lim'finr

16.…2分

—0t3

1-cost.

lim**4分

-o3产

sirir

lim6分

1.....................................................

7分

6

乃

17.解析:间断点为x=0,l,-^_(^=0,1,2,3.........)□1分

2

lim/(x)=-sin1，limf(x)=0

X->0*XT。-

所以x=0为第一类跳跃间断点；......................3分

limfW=__不存在.所以x=l为第二类间断点；...............5分

limsin

XT1Xf1x2-l

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/（一，升存在，而lim+乃）71

22cosx2

2

所以x==为第一类可去点...........6分

2

由”COSX=8'（火=1,2.....）

於-----

2

所以X=一女或一为第二类无穷间断点7分

2

A-2-r2ATT

18.解析:因为/(无)={(x-t)edt=xete'

22

所以/(x)=2xJ；e-P力+-J=2%^e-12dt,

令/'(X)=0,则x=0,x=±1.

又J,,（x）=『1"力+4/0-，，则/，，（o）=所以

1,02,1'=i(l-g-1)是极大值.

/(0)=J(0-t)e-'dt=--

'202

而/'(±1)=4/>0,所以/(±1)=0为极小值.

又因为当xNl时，/(x)>0；0Wx<l时，f\x)<0；-lWx<0时，f\x)>0；

X<一1时，/'（X）<0,所以/（X）的单调递减区间为（一8,—1）U（0,l）,/（尤）

的单调递增区间为（—1,0）U（1,+oo）.

19.解析:两边取对数得xlny=lnx+lny.3分

两边求导得iny+iy=1+1yne分

y九y

从而叱=史-尤Iny)

7分

dxx(x-1)

，您J

20.解析:因为y（x）=公=2+]

奇t

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，2z(z2+l)-(r-l)-2ri4r

y(x)=-----L.=--------------------一=,

dtdx(?+l)2t2+1(/+1)3

dt

令>/。)=0得，=±1,

当f=l时，光=?,y=,此时y'〉0,所以y11为极小值.

333

当方=—1时，x=—1,y=l,此时y'<0,所以y=1为极大值.

令y〃(x)=O得r=0,X=y=」.

3

当t<0时，x<J,此时y'<0；当t>0时，x2>1，此时y'>0.

33

所以曲线的凸区间为彳-ooJ],凹区间为(%,+00、，拐点为(H).

I3jV-)----

21.解析:

cos(3+x)-sin(5+x)=cos(3+x)[sin(x+3)cos2+cos(x+3)sin2]

sec2(x+3)1

dx一Intan(x++tan2+C

tan(x+3)cos2+sin2cos2

22.解析:运用第二换元积分法，令x=secf,么=sec/tan/df,«£（0㈤）.....2分

2

当x=-2时，i=一兀,,当x二一1时't=兀，.........................4分

3

"secttanr,八八

原式二；@分

尿工Ij2/sec，(-tan。.......................................................................................................................6

=『（一1）力..................................................7分

八

8分

3

23.解析:齐次方程为7-4），'+3y=0

特征方程4—4/仔3=0.............................1分

特征根/Ul,/U3...................................2分

齐次通解Y^cex+ce3x-.............................3分

12

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设特解为>*=Ae2x..................................4分

代入方程得(4A—8A+3A>2X=2*.....................5分

A=-2..............................................7分

y=cex-{-ce5x-2e2x..................................8分

12

四、综合题

24.解析：

(1)证明：f'n(x)=nx"-'+n>Q,/(x)在上(0,+8)严格单调增加，且了,,由<。，

n

2

力(一)>0,所以工在(0,+00)上有唯一的零点a.

nn

(2)易知，当n充分大时，三>(乙一二2)〃，所以/(：9一2/)=：2)〃—：2<(),而

二—

2nF2

nnnnnnnn

2222222

力(_)>0q,有(1+_-一)“<(1+。")”<(l+_)”,,由夹逼定理知

n2~

nnnnnn

lim(l+〃)〃=/

XT8n

1]+办

e—xxxx

25--------------------.解析％:lim-----------=lime+bxe-l-ax_〔由g+bxe-1-ar,分

sOX1Z0尤3(1+/?X)10X3

=iime"e'+绊-a(1).............4分

io3X

Um史匹士

(2).............6分

J06x

由(1)：lim(/+bex+bxex-a)=\+b-a=O

Xf0

由(2):hm(ex+2bex+bxex)=1+2Z?=0....................8分

A-»0

b=一-,a=_...........................................io分

22

26.解析:(1)因为ff(x)(bc=£f(x)dxf(x)dx.......1分

令x=r+T,

/(X)=jf(t+TMf/"⑺力.........3分

aTT

=£f(x)dx=£f(x)dx-^1f(x)dx..........4分

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»a+T,7

故1/(%)</%=£f{x}dx5分

x)f[x}dx=j[sin(^+〃)+乃+〃]/(»+u)du

⑵产

a+7i-sinw)/(w\lu(/(x)以彷周期)4

(si分

nx+x)f0

(x)dx=j

故(sinx+x)f[x}dx=£(2x+4f(x)dx5

(sinx+「o

分

x)/它也

+[(sinx

+%)/

[x)dx..1

分

o

o

n

令

x

71

+

u

2

分

o

2

n

i

n

X

+

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升本《高等数学》全真模拟预测卷(三)

年

2019浙

江

普一、选择题

通1.B

专

角w.

XX1

方法1：令F(x)=f[——出,xe[a,b],

J"J/,fQ)

则尸…+看

0-故尸(幻在区间［a,句内是单调递增的.

又F(a)=fn_L_dt=_fz，<0,F(b)=1/(/)力>0.

.以t)ia/⑺J"

由介值定理知E(x)=0在(a,b)内仅有一个根.应选B.

XX1

方法2：排除法.由题设条件，可令/(x)=l,此时方程ffWt+［一力=°变为

儿Jb/⑺

(x—a)+(x—。)=0,即2>3+份=0.该方程在色乃)内仅有一个实根”了，则(A)、

(C)、(D)均不正确.故本题应选B.

2.B

解析：由/'(x)>0可知f\x)在区间［0,1］上为严格单调递增函数,故

/⑴>_f(x)>/(0),(0<x<l)

由微分中值定理，/(I)—/(0)=/()(0<斥1).所以

r(i)>/(i)-/⑼=广©>广(0),(0〈年1)

故应选择B.

3.B

解析：由对数性质，

limInC1、,八~n,..「八1、(、2,1nn

[(1+)*(1+…(1+)22=limIn(1+)(1+)•••(14-)

\nnni.———i

。0Lnnn'

2「]2n\

=limln(l+)+ln(l+)+…+ln(l+

〃―>con')

LnnnI

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n21rl广2

=limln(l+-)­=2jln(l+x心1+%=/21Intdt=2j\nxdx

〃-8j=inn0…’11

4.A

N)|0

解析：Jexdx=ex=1,选A

-0°—00

5.C

解析：由莱布尼兹判别法X"收敛,£“2=£坨2(1+

n

n=l

In2(1+)ooi8

12

因为u圾1丁=1,三一发散，所以发散.

n

二、填空题

6.^x)=arcsin(l-x2)

解析：解贝初I=sin奴x)=1-x2,奴尤)=arcsin(l-x2)

7.3,0

—元3

解析：・・・-ax-h\=xRi-x--(a-2)x-Z?-»0(x-8时)

a—2=1即a=3

而lim「产3_]一x_力)=Jim-b=0

X-XJO\、//

T

X->8

・・.。二0

8.0

解析：本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的x,先用求极限的方法得

出了(幻的表达式，再讨论/(x)的间断点.

由=("l)x,显然当％=0时，/(x)=0；

«->°077%2+1

(i-2)xlim(l-Sx

nX

当xw0时，/(x)=hm=lim万[_〃一>8

’-1——。一种一卜

〃->8/+1〃T8X"+limx2+

n〃一*8

0，x=0

所以/(%)=,1

"0

x

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limJ=8w/(O),故

因为lim/(x)x=O为/(x)的间断点.

XTO尤

八万

9.y=—

4

J.?1

,X+X+17171

解析：limarctan------——-,所以y=一为水平渐近线;

(x+l)(x-2)4''…4

1

10.-

31

解析:^dx=_]*=.此反常积分收敛

解析：12sin^cos3(pd(p=-j2cos'(pdcos(p=-~cos4<p

004o4

12.xe(-oo,1]

x=x«)

解析：判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由八定义的参数方程求出二阶

y=y⑺

日将d2y

导数右,再由确定x的取值范围.

3(r-3/+1)'=3--3,艺=(/+3f+l)'=3/+3

dtdt

dy_dy/dt_3r2-3_t2-i_r+1-1-12

所以dxdx/dt3r2+3/2+l-r+1-=、z2+l

d-y_d(dy\dt_2Y口1_口々口1_口々

衣~dt^dxjdxQt2+1J3(/2+1)(尸+1)23(产+1)3(产+1尸

d2yd2y4f4r

令,<0(或一WO),即，，<0(或，3<0)=r<o(或YO)

dx'dx3(/+1)3(/+1)

又x=/+3f+l,x'=3/+3〉0,所以x。)单调增，当/=0时，x=l,所以当f<0

时光(/)<x(0)=l(或当时，x(r)<x(O)=l),即XE(—oo,1)(或XG(-OO,1])时,

曲线凸

13.-11

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_2-32

解析：(QX/?)・C=-112-11

103

14.[-4-2]

(x+3严/(x+3)"

解析：p=lim2=|九+3]<1=>—4<x<-2,当%=—4•和x=—2时级

n—>x(7?+1)/rr

数收敛，所以收敛域为[-4,-2]

15.14x+9y-z-15=0

一一一

_ijk

解析：因为平面的法向量为〃==—34-£=(14,9,-1)

-23-

故14(x—0)+9(y-2)—(z-3)=0,14x+9y-z-15=0

三、计算题

ln(x+铲)

16.解析：lim(x+eA)v=lime*2分

X—>4-00Xf+8'

lim皿生Qi

-X........................................................................................................................................................