2023上海高考数学名师模拟卷（14）（学生版+解析版）

2023年上海高考数学名师模拟卷(14)

一.填空题(共12小题)

1

1.二项式(x-)8展开式中的常数项是(用数字作答).

y/x

2.已知i为虚数单位，〃为正实数，若151=2,则。=___

i

3.已知数列(«„)的前n项和为5„=2"-1,则此数列的通项公式为.

4.已知|初=1,|5|=2,4+5=(-2,6),则|2d-b|=.

22

5.若椭圆上+21=1(机>3)的一个焦点为尸，椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3,则

m3

椭圆的离心率为.

x+y..0

6.已知x,y满足约束条件％,0,则z=3x-y的最小值为

x-y+2..0

7.集合A={x|y=，x+1},B={y|y=log2(x+1)},则408=.

8.已知圆G：(x+3)2+y2=l,G：Q_3)2+y2=8i,动圆c与圆c「G都相切，则动圆C

的圆心轨迹E的方程为一.

9.等差数列｛4｝中，公差为d,设S“是｛可｝的前〃项之和，且d>l,计算

..,5„1.

hm(----——+—)=___.

-wo("+i)a"d"

10.定义“规范01数列”他“｝如下：共有2机项，其中机项为0,机项为1,且对任

意、k”2m,4,生…%中0的个数不少于1的个数.若帆=4,则不同的“规范01数列”

共有个.

11.已知耳,色©是空间单位向量，e,-e2=e2-e3=e3-e,>若空间向量不满足

a=xe,+ye^(x,yeR),\a\=2,则|心分|的最大值是.

12.在AABC中，ZA=150°,£>,,D2,…，依次为边3c上的点，且

BD、=D、D,=D,D、=...=DfQ2mo=DwoC,设NBAD、=a、,Z.DXAD-,=a-,>...>

ZD2Qt9AD2O2O=aM2O,ZD2020AC=aMl,则包巧包&*"L的值为_.

sina?sina4sina2020

二.选择题(共4小题)

13.已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线/，则“/的斜率等于k”是“/的倾斜角等

于arctan%”的()

A.充要条件B,充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又不必要条件

14.函数g(x)=4x3*的图象可看成将函数/(x)=3,的图象()

A.向左平移log：4个单位得到

B.各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到

C.向右平移log,4个单位得到

D.各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的1倍得到

4

15.已知抛物线V=4y上的动点尸到直线/：y=-3的距离为d,A点坐标为(2,0),则

1PAi+〃的最小值等于()

A.4B.2+石C.2石D.3+行

16.若/(》)是R上的奇函数，且f(x)在［0,+8)上单调递增，则下列结论：

①y=lf(x)l是偶函数；

②对任意的xeR都有/(-x)+"(X)1=0；

③y=f(_x)在(-00,0］上单调递增；

④y=/(X)/(-X)在(-8，0］上单调递增•

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

三.解答题(共5小题)

17.设&=(1,及(sinx+cosx)),Z?=(1-2sin2(A+—),cos(x+—)),f(x)=a*(a+b),求：

44

(I)函数f(x)的最小正周期及最大值与最小值；

(II)函数〃幻的单调递增区间.

18.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降

低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)=*Y+X+150万元.

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排族人将邮件放在机器人上，机器人将邮件

送达指定落袋口完成分拣.经实验知，每台机器人的日平均分拣量

.8

的〃?)=不皿6°-附，1釉，30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200

470,"7>30

件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多

可减少百分之几？

19.如图，在四棱锥中，PC_L平面ABCD,AB//DC,DCrAC.

(1)求证：ZX7，平面PAC；

(2)求证：平面平面以C；

(3)设点E为他的中点，在棱尸5上是否存在点尸，使得P4//平面CM?说明理由.

2

20.已知点6、K为双曲线C:V一方=13>0)的左、右焦点，过工作垂直于X轴的直线，

在X轴的上方交双曲线C于点M,且NMK6=30。.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/过点(0,1)且与双曲线C交于A、B两点,若A、3中点的横坐标为1.求直

线/的方程；

(3)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为[、P2,求证:

PPx-PP2为定值.

21.(1)集合。={x|x=(X],x2,x„)>占=0或1},对于任意xeQ,定义/(x)=£x：,

1=1

对任意左£{0,1,2,...»/?},定义A*={x|/(x)=Z,xeQ}f记4为集合&的元素个数,

求4+2生+…+的值；

(2)在等差数列{4}和等比数列仍"中，4=々=2,—+b,是否存在正整数6,

使得数列仍〃}的所有项都在数列{凡}中，若存在，求出所有的人，若不存在，说明理由；

(3)已知当时，有一^=1-2x+4f—...+(_2x)"+...,根据此信息，若对任意|x|J,

2\+2x2

X

都有=4+qx+/厂+...+a,x”+…，求a“,的值.

(1-X3)(1+2X)

2023年上海高考数学名师模拟卷(14)

一.填空题(共12小题)

1

1.二项式(x-,展开式中的常数项是28(用数字作答).

y/x

4r

【解答】解:通项公式1+i=撤"=（T）<x3

令8——=0，解得r=6.

3

，常数项=莺=28.

故答案为：28.

2.已知i为虚数单位，〃为正实数，若|汉旦|=2,贝lja=_6_.

i

【解答】解：|巴〃|=|-<"+1|=|出一1|=2,

i

:.a2+1=4,

解得a=±G»

,.•a为正实数，

a=>/3,

故答案为：6

3.已知数列｛4｝的前〃项和为S,,=2"-1,则此数列的通项公式为=

,l，

【解答】解：ln—1lb|'»a｝=Sj=2-1=1>

当.2时,a„=S„-S„_,=2"-1—(2"T_1)=2"-',

又2'T=1,所以=2"，

故答案为：a„=2'-'.

4.已知5|=1,出|=2,万+5=(-2,6)，则12万一5|=2

【解答】解：v|a|=l,|^|=2,4+石=(-2,我，

（a+b）2=a2+b2+2a-b=\+4+2a-b=1,解得ab-l<

\2a-b\=7（2a-ft）2=^4a2+b2-4a-b=,4+4-4=2.

故答案为：2.

•＞2

5.若椭圆土+匕=1（机＞3）的一个焦点为尸，椭圆上一点。到焦点尸的最大距离是3,则

m3

椭圆的离心率为-.

~2~

22

【解答】解：由椭圆二+二=1（加＞3）方程得，ci1=m."=3,所以〃c=Jm—3,

m3

又椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3,所以而+而导=3,

解得m=4»

所以〃=2,c=1,

所以椭圆的离心率为e=£=1.

a2

故答案为：

2

x+y..0

6.已知r,y满足约束条件,用,0,则z=3x—y的最小值为_-4_.

x-y+2..0

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

联立[x+y=O解得A（_]/），

[x-y+2=0

由z=3x-y,得y=3x-z,由图可知，当直线y=3x-z过A时,

直线在y轴上的截距最大，z有最小值为-4.

故答案为：-4.

7.集合A={x|y=Jx+1},B={y|y=log2(x+1)},则4n吕=—[TJ_+8)

【解答】解：・.・A={x|x…—1},B=R,

始8=[-1,4-00).

故答案为：[-1，+<»).

8.已知圆G:(x+3)2+y2=1,C?:(x-3)2+y2=81,动圆C与圆G，g都相切，则动圆C

。20)

的圆心轨迹E的方程为三+二=1或三+上=1.

—2516—167—

【解答】解：圆G的圆心为G(-3,0)，半径为I，圆C2的圆心为C2(3,0),半径为9,

①动圆〃同时与圆G内切，与圆G内切，

动圆M的半径=|CGI+1=9-1CGI，g|J|CC21+1CC,|=8,

的轨迹为到定点C-C2距离和为常数8的点的集合，

22

即M的轨迹是椭圆：4=4,c=3,则8=4，M的轨方程为：—+—=1.

167

②动圆M同时与圆G外切，与圆C2内切，

可得动圆M的半径=iCG।-1=9-1cc2\,8|J|CC21+1cc,i=io,

:.M的轨迹为到定点G,C2距离和为常数10的点的集合，

22

即M的轨迹是椭圆：4=5,c=3,则b=4,M的轨方程为：—+^-=1.

2516

2222

故答案为：工+工=1或三+二=1.

2516167

9.等差数列｛凡｝中，公差为4,设S“是｛%｝的前〃项之和，且d>l,计算

m2(n+\)and"2

【解答】解：在等差数列｛〃〃｝中，有4=4+(九-1)4,

S,="4+--—d-

n(n-1).d2,d、

s1照+d1不〃+(q—不)〃

则----——+—=----------------+—=3------------------

5+1)4dn5+l)(q+-l)d)dndrr++4—d

ci2/a、u.

S1不〃+(4-7)〃—I

故lim(-------——+——)=-------------——).

nw

〃一京(〃+1)4d^0°dn+axn+a}-dd2

故答案为：—.

2

10.定义“规范01数列”｛为｝如下：｛q｝共有2机项，其中团项为0,加项为1,且对任

意鼠2"，“，火…4中0的个数不少于1的个数.若枕=4,则不同的“规范01数列”

共有14个.

【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，口所含0与1的个数相等，首

项为0,末项为1,若机=4,说明数列有8项，满足条件的数列有:

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,0,1,1；0,

0,0,1,1,I,0,1；0,0,1,0,0,1,b1；

0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1；0,0,1,1,0,1,0,1；0,

0,1,1,0,0,1,1；0,1,0,0,0,1,1,1；

0,L0,0,1,0,L1：0,1,0,0,L1,0,1；0,L0,L0,0,1,1；0,

1,0,1,0,1,0,1.共14个.

故答案为14

H.已知冢wa是空间单位向量，&w=£w=4G=g,若空间向量值满足

a=xe^+ye^(x,yeR)9|a|=2,则|万的最大值是_.

【解答】解：空间向量5满足〃=*+ye2(x,yeR),=4=W=］，

由|圳=2,

整理得|32=万.万=4,

即f+>2+孙=4,

又|M•e3H(xq+W2)•631=；|x+y|，

由于f+y?..2盯，

所以由犬+9+个=4,整理得3孙，,，4,

4

即初,-，

所以|%+、|2=/+丁2+2xy-x2+y2+Ay+D,,4+g=4,

4

故Ix+yI,,—r=,

v3

in7M

所以I。/\=-\x+y\„

2，33

士后免去斗,26

故答案为：-----

3

12.在AABC中，ZA=150°,0,D2,…，巴磔依次为边3C上的点，且

BD、=D、D?-D2Dy=…=。刈9。2020=D2020c，设/BAD、=%,ZD1AD2=a2

则sin%3吟0吟期的值为1

N02OI94^2O2O=^2020，N02O2()AC—^2021，

sina2sinaAsina2020—4042

【解答】解：注意到4+%+...+%020=150°，

在△叫中，&AB=二,

sin,sinNBD[AsinB

在△RAD,中，=—"一=屹

sin%s\nZAD2Bsin/AQC

sin。〕sin3

..—»

sina2s\nZAD2B

sin%_sinZADBsincrsinZADB

同理可得sm“3=sm/AD2B420192018

sin%sinZAD4Bsina6sinZ.ADbBsina2020sinZAD2O2OB

又。20200AC

sin—sinZAD2020C

5mC•sinZAD^C

sina2021=一^---------竺竺一，

AC

sin,sinc^sinazozi_AO2o^*sinB_BC乂sin8_sin15001

sina2sina4sina2O2OAC2021AC20214042

]

故答案为:

4042

13.已知平面直角坐标系中不垂直于x轴的直线/则“/的斜率等于人”是“/的倾斜角等

于arctanZ”的（）

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又不必要条件

【解答】解：当女..。时，由/的斜率等于3可得/的倾斜角等于arctan%,

当A<0时，山/的斜率等于％,可得/的倾斜角等于一4+arctank,

反之，I的倾斜角等于arctank，则直线/的斜率为tan(arctank)=k.

“/的斜率等于2”是“/的倾斜角等于arctan%”的必要非充分条件.

故选：C.

14.函数g(x)=4x3'的图象可看成将函数/(x)=3、的图象()

A.向左平移log34个单位得到

B.各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到

C.向右平移log34个单位得到

D.各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的,倍得到

4

【解答】解：设宜线y=r与函数/(x)=3*及函数g(x)=4・3*的图象分别相交于A、8两点,

令3*=f,可得x=log,t,4x3*=f可得x=logy—>

故A、B两点之间的距离为log.?t-logy==log3/-(log,t-log,4)=log34,

故函数g(x)=4x3*的图象可看成将函数f(x)=y的图象，向左平移logs4个单位得到的，

故选：A.

15.已知抛物线丁=4)，上的动点尸到直线/:)，=-3的距离为d,A点坐标为(2,0),则

|PA|+d的最小值等于()

A.4B.2+>/5C.2布D.3+逐

【解答】解：设抛物线的焦点为F,则F的坐标为(0,1),准线方程为>'=-1,

由抛物线的定义知，|PA|+d=|PA|+|PF|+2...|4F|+2=V^+2,当且仅当A,P,f三点

共线时，等号成立，

所以|PA|+d的最小值等于5/5+2.

故选：B.

16.若/(x)是A上的奇函数，且/(x)在［0,+O上单调递增，则下列结论:

①y=|/(x)|是偶函数；

②对任意的xwR都有/(-x)+|7(x)1=0：

③y=/(-X)在(-00,0］上单调递增：

④y=/(x)/(-x)在(-8，0］上单调递增•

其中正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：是R上的奇函数，且〃x)在［0,+8)上单调递增,

.・.y=|/a)|是偶函数,故①正确;

对任意的xeH,不，定有/(-%)+"(x)1=0,故②不正确；

丁=/(-工)在(口，0］上单调递减，故③不正确；

y=/(x)f(-x)=-［/(^)］2在(-co,0］上单调递增，故④正确.

故选：B.

三.解答题(共5小题)

17.设3二(1,板(sinx+cosx)),=(1-2sin2(JC+—),cos(x+—)),f(x)=a^a+b),求：

44

(I)函数/(x)的最小正周期及最大值与最小值；

(II)函数/*)的单调递增区间.

【解答】解：(I),/f(x)=a2+a4y

=1+2(cosx+sinx)2+(l-2sin2(x+—))+2sin(x+—)cos(x+—)

444

7C71

=3+2sin2x+cos(2x+—)+sin(2x+—)

=3+sin2x+cos2x=3+后sin(2x+—)

4

；J(x)的最小正周期T言=乃，/(x)nMX=3+夜,/*),,“》=3-0.

(II)令2k7i+—2k/r+工(％£Z)

242

解得左乃-网领kk兀+%(kwZ)；

88

函数f(x)的单调递增区间为伙万-四，版■+三］OleZ).

88

18.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降

低物流成本，已知购买x台机器人的总成本°(工)=焉/+犬+150万元.

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排"?人将邮件放在机器人上，机器人将邮件

送达指定落袋口完成分拣.经实验知，每台机器人的日平均分拣量

,8

的…石皿6°一叫掇物30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200

470,巾>30

件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多

可减少百分之几？

【解答】解：(I)由总成本°(箱=卷/+；1+150万元，可得每台机器人的平均成本,

P(R)1150,-,1150,〜

y=---XH--------F1..2.1---X*'•—+1=2.

x600x600

当且仅当」-%=空，即％=300时，上式等号成立.

600x

・•・若使每台机器人的平均成本最低，应买300台.

(2)引进300台机器人后,

①当掇加30时，300台机器人的日平均分拣量为160皿60-〃?)=-160疗+9600机，

当帆=30时，日平均分拣量有最大值144000件.

②当，〃>30时，日平均分拣量为470x300=141(XX)(件).

.­.300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.

若传统人工分拣144000件，则需要人数为幽”=120(人).

1200

・•.II平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前

的用人数量最多可减少空Wx100%=75%.

120

19.如图，在四棱锥P-ABC。中，PC_L平面ABC。，AB//DC,DCVAC.

(1)求证：0c，平面B1C；

(2)求证：平面Q4B_L平面R1C；

(3)设点E为4?的中点，在棱上是否存在点尸，使得PA//平面CEF?说明理由.

【解答】（1）证明：•.•「（7_1平面438,OCu平面A3CD,

：.PCVDC,

-,•DCA.AC,PCp|AC=C,

.•.DCJ■平面BIC；

（2）证明：rABUDC,DCVAC,

ABVAC,

PC，平面ABCD,ABu平面ABCD,

:.PCVAB,

PCQAC=C,

平面PAC,

•.•ABu平面以3，

平面B4B_L平面RAC；

(3)解：在棱依上存在中点尸，使得PA〃平面CEF.

•.•点E为的中点，

：.EF//PA,

24U平面CEF,砂u平面CEF,

.•.尸4//平面8尸.

20.已知点耳、F2为双曲线C:f-5■二可。〉。)的左、右焦点，过尸?作垂直于x轴的直线，

在x轴的上方交双曲线C于点例，且NW玛=30。.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线/过点(0,1)且与双曲线C交于A、5两点，若A、3中点的横坐标为1,求直

线/的方程；

(3)过双曲线C上任意一点尸作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为斤、P2,求证：

而।•所2为定值.

【解答】解：(1)山双曲线的方程可得。=1,

在直角三角形"耳用中，。，

NM£R=30MF2LF2FX,

可得LI=2|M|,且月|-|M乙|=2a=2,

/?2

解得|=2,又—=从，

a

所以6=2,

2

则双曲线的方程为V-工=1;

2

(2)由题意可得直线/的斜率存在，设为2,直线/的方程为y=fcc+l,

联立,可得(2—公*_2区—3=0,

[2x-y=2

△=4^+12（2-标）>0,解得-Q<k（百

设A,3的横坐标分别为芭，X,,则玉+

乙一K

山A、5中点的横坐标为I,可得」方=1,

2-k2

解得&=1或-2(舍去)，

所以直线/的方程为y=x+l;

(3)证明：设P(m,〃)，则2疗-4=2,

)-V2xm+yllnV2/H+2/1

由V2,解得4(一—，一一.

y-n=---(x-m)JJ

)\[lxm-y/ln-桓m+2n、

由72，解得巴(——，一；一

y-n=——(X-77Z)35

所以五和=(驾空y[2m—n-2m-\f2n-41m—n

---«--)•(--------

333-,

(血〃-2m)(一2"?-A/2H)(垃m-〃)(-J5"?-ri)-2n2+川一2/n2

--------------------------------------1----------------------------------=---------------------------------

999

2m2-n22

-9-=9