新教材人教B版必修第二册 向量的概念

向量的概念

基础通关一水平一》

（15分钟30分）

1.（2020♦眉山高一检测）a为单位向量，以下说法正确的选项是

（）

的长度为一个单位

与0不平行

的方向为x轴正方向

的方向为y轴正方向

【解析】选A.由于a为单位向量，所以a的长度为一个单位，故A正

确；由于a与。平行，故B错误；由于a的方向是任意的，故C,D错误.

【补偿训练】

以下说法正确的选项是（）

A.有向线段谶与市表示同一向量

B.两个有公共终点的向量是平行向量

C.零向量与单位向量是平行向量

D.对任意向量a,看是一个单位向量

【解析】北与市方向相反，不是同一向量，A说法错误；有公共终点的

向量的方向不肯定相同或相反，B说法错误；当a=0时，看无意义，D说

法错误；零向量与任何向量都是平行向量，C说法正确.

2.（2020•绵阳高一检测）以下命题中正确的选项是（）

A.|a|=|b|=a=b

B.|a|>|b|=»a>b

C.a=b=a〃b

D,单位向量都相等

【解析】选C.对于选项A,模长相等的向量不肯定是相等的向量，所以

错误.对于B,由于向量不能比拟大小，所以错误.对于选项C,由于向

量相等，那么可以知道它们必定共线，成立，对于D,由于单位向量方向

不肯定相同，所以错误.

3.在四边形ABCD中，假设福〃五，那么四边形ABCD是（）

A.平行四边形B.梯形

C.菱形D.平行四边形或梯形

【解析】选D.由于在四边形ABCD中，彘〃而，且I族I与I五I的大小

未知，所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.

4.如图，四边形ABCD是菱形,那么在向量瓶BC,CD,DA,立和命中,

相等的有对.

【解析】75=无，品通.其余不等.

答案：2

【补偿训练】

在边长为2的菱形ABCD中，ZABC=60°,那么|BD|=,

【解析】易知AC_LBD,且NABD=30°,设AC与BD交于点0,那么

1

A0=-AB=1.

在RtAABO中，易得|瓦|=\3,

那么|丽|=2|而|=2\g.

答案：24

5.如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.

⑴写出图中所示向量与向量近长度相等的向量.

⑵写出图中所示向量与向量而相等的向量.

⑶分别写出图中所示向量与向量而，而共线的向量.

【解析】⑴与云:长度相等的向量是瓦FD,AF,FC,BD,DA,CE,EB.

⑵与而相等的向量是无，EB.

⑶与无共线的向量是无，AF,FC;

与75共线的向量是无，EB,~CB.

【补偿训练】

设W是由一平面内的n(n23)个向量组成的集合.假设aWW,且a的模

不小于W中除a外的全部向量和的模,那么称a是W的极大向量.有以

下命题：

①假设W中每个向量的方向都相同，那么W中必存在一个极大向量；

②给定平面内两个不共线向量a,b,在该平面内总存在唯一的平面对

量c=ab,使得W={a,b,c)中的每个元素都是极大向量；

③假设Wi={aba2,a3},W2={bbb2,b：J中的每个元素都是极大向量,且

W1,W2中无公共元素,那么W,UW2中的每一个元素也都是极大向量.

其中真命题的序号是.

【解析】①假设有几个方向相同，模相等的向量，那么无极大向量，故

不正确；②由题意得a,b.c围成闭合三角形，那么任意向量的模等于

除它本身外全部向量和的模，故正确;③3个向量都是极大向量，等价

于3个向量之和为0,故WF{aba2,a3},W2={bbb2,b3}中的每个元素都是

极大向量时,WiUW2中的每一个元素也都是极大向量，故正确.

答案:②③

।能力进阶一水平二》

（20分钟40分）

一、选择题（每题5分，共20分,多项选择题全部选对得5分,选对但

不全对的得3分,有选错的得0分）

1.在同一平面上，把平行于某始终线的一切向量的起点放在同一点，

那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A.一条线段B.一条直线

C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆

【解析】选B.由于向量的起点确定，而向量平行于同始终线，所以随

着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线.

IP-

2.D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，那么鬲的值为

（）

11

A.-B.-

【解析】选C.由于四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的

IPb

交点，所以D为PA的中点，所以向的值为1.

【补偿训练】

假如在一个边长为5的正4ABC中，一个向量所对应的有向线段为

松（其中D在边BC上运动），那么向量市）长度的最小值为

【解析】依据题意，在正4ABC中，有向线段AD长度最小时,AD应与边

BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正AABC的高，为咚

答案

2

3.如图在等腰梯形ABCD中.

①福与否是共线向量.

（2）AB=CD.

③益》五.以上结论中正确的个数是（）

【解析】选A.①由于福与无的方向不相同，也不相反，所以港与五

不共线，即①不正确；②由①可知不正确；③由于两个向量不能比拟大

小，所以③不正确.

【误区警示】此题易错之处在于③的推断,无视向量是不能够进行大

小比拟的.

4.（多项选择题）以下说法不正确的选项是（）

A.数量可以比拟大小，向量也可以比拟大小

B.方向不同的向量不能比拟大小，但同向的可以比拟大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比拟大小

【解析】选ABC.向量之间不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小，

向量的大小与方向无关.故只有选项D说法正确.

【补偿训练】

（多项选择题）如图,在菱形ABCD中，ZDAB=120°,那么以下说法正确

的选项是（）

A.与嬴相等的向量只有一个（不含热）

B.与福的模相等的向量有4个（不含石）

c.奇的模为乐模的\；3倍

D.而与五4不共线

【解析】选AC.A项，由相等向量的定义知，与热相等的向量只有DC,

故A正确；B项，由于AB=BC二CD=DA=AC,所以与嬴的模相等的向量除后

外有9个，故B错误;C项，在RtAADO中，ZDA0=60°,那么DO=^DA,

所以BD=\3DA,故C项正确；D项，由于四边形ABCD是菱形，所以功与

5A共线，故D项错误.

【光速解题】选AC.沉着易推断的选项入手,如D选项明显错误,其次

A选项正确，再次B选项中的向量始点和终点互换后为不同的向量，故

错误,依据多项选择题的特点易得AC正确.

二、填空题（每题5分，共10分）

5.假设向量a与任意向量b都平行,那么a=;假设|a|=l,那

么向量a是.

【解析】由于只有零向量与任意向量平行，故a=0；由于即向量

a的长度为1,所以向量a是单位向量.

答案：0单位向量

【补偿训练】

给出以下四个条件：

①a=b;

②|a|=|b|;

③a与b方向相反；

④|a|二0或|b|=0.

其中能使a//b成立的条件是（填序号）.

【解析】假设a=b,那么a与b大小相等且方向相同，所以a〃b；假设

|a|二|b|,那么a与b的大小相等，而方向不确定，因此不肯定有a〃b;

方向相同或相反的向量都是平行向量，因此假设a与b方向相反，那么

有2〃1）；零向量与任意向量平行，所以假设|a|二0或|b|=0,那么a〃b.

答案:①③④

6.（2020•福州高一检测）有以下说法：

①假设aWb,那么a肯定不与b共线；

②假设湘二灰,那么A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点；

③在口ABCD中，肯定有标=无；

④共线向量是在一条直线上的向量.

其中，正确的说法是.

【解析】①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，

所以a与b有共线的可能，故①不正确；

②,A,B,C,D四点可能在同一条直线上，故②不正确；

③,在平行四边形ABCD中，|通|二|前Xb与无平行且方向相同，所

以75=前，故③正确；

④，共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线相互平

行的向量，故④不正确.

答案:③

三、解答题

7.（10分）设在平面内给定一个四边形ABCD,E,F,G,H分别为

AB,BC,CD,DA的中点，求证：EF=HG.

【证明】如下图，

△ABC中,

1

由三角形中位线定理知，EF=-AC,EF//AC,

1

同理HG=/C,HG〃AC.

所以|由J二|前|且由和前同向，

所以EF=HG.

【补偿训练】

如图是中国