湖北经济学院大一理学专业微积分期末试卷及答案

湖北经济学院微积分（下）试卷

一、选择题

1./,=J；exdx与八=J；e*公相比,有一

2

A.I1<I2B./,>I2C.I{=I2D./,=12

2.z=sinx»则邑=

②一

A.cosx~yB.cosxycosxyxsinxy

3.交换二次积分£dyj；/(x,y)公的积分次序为—

A.£dxj；'/(x,y)dyB.1dxj：/(尤,y)dy

C.［：dx『'/(x'y)dyD.^dx^f{x,y)dy

4.微分方程y，+Mx)y=q(x)的两个特解丹(总当⑴，则该方程的通解可表示为

A.C}yt+C2y2B.j2+C(y2+y,)

c.必+。(％-y)D.Gy+GO2-必)

811

limun=+8,则级数£(-------)___

…，IU,W„+1

A.收敛于0B.发散C.收敛于‘

U1

二、填空题

G(x)=fsintdt,贝ijG'(x)=__________________

JO

f(xy,x+y)=xy+x2+y2,则f(x,y)=

2

3.设D:-1-y2«1,贝UJJdxdy—____________________

4D

4.微分方程+=满足初始条件乂0=1的特解为

E/=收敛域为________________

n=0J"+1

三、计算题

1.求积分Jo'Jl-X2.

2.求积分J。e~xsinxdx

3.求二重积分JJJx2+y2港,其中£）：f+y2<2x.

Y

4.设z=lntan—,求j

y

5.设函数2=2*2+2卜2+3孙+以+力+<；在点(-2,3)取得极值3,求常数a,"c之

积而c,并判定该极值是极大还是极小。

6.设z=(l+xy)v,求全微分dz

7.设X+Z=H＞，—z2),其中f具有连续导数，求z?+y(

dxoy

8.求微分方程歹=?(l+lny-lnx)的通解。

9.求微分方程y"+9y=x-4的通解。

10-判别级数雪曾是否收敛，假设收敛说明是条件收敛还是绝对收敛。

11.将函数/'(x)=ln，+3x+2)展开成(x-l)的幕级数。

四、应用与证明题

1.求曲线/+(>-5-=16绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

2.设对一切自然数〃均有句证明:假设£c“收敛,则£么收敛。

M=1"=1/1=1

大学专业考试试卷

微积分（下）答案

一、选择题

1.B2.B3.A4.C5.C

二、填空题

1.3x2sinx32.y2-x3.2%4.e~y=1+1--1|x5.［-1,1)

三、计算题

1.求积分J(产2-元2dx

解：令％=sinf,贝ij〃=cosbfr,当x=0口寸，=0,当x=l时，=一，于是

2

^x2\l}-x2dx=£2(sint)2|cost\costdt=jj(sinr)2(cosr)2t/r=-|J(l-cos4fM/

iri一下兀

8L4Jo16

2.求积分J()e~xsinxdx

解：先计算£e~xsinxdx：

rb_rb_「—-tbrb_

e~AsinA^Zr=-e~xdcosx=-\e~xcosx-e~xcosxdx

JoJoLJoJo

=~\f~xcosx］：-£e~xdsinx=-cosx］：-^e~xsinx］：-£e~xsinxdx

于是£e~xsinxdx=g(1一e~bcosb一e~hsinb)

所以fe~xsinxdx=lim［e~xsinxdx=—

JOb->+ooJO2

3.求二重积分JJ+y2公办,其中£)：Y+y2<2x.

D

解：

JJV%2+y2dxdy=JJr-rdrdO=J弓d。［："r2dr=-cos30d0=—jjcos30d0=—

0

DD冷~2~i3。9

v

4.设z=Intan—,求z

y

大学专业考试试卷

12x122x

-----sec"—=—CSC—

x

tan—yyyy

y

22x4x2x2x

z=——7CSC—+—CSC—cot—

yyyyy

5.设函数2=2工2+2丁2+39+仪+制+(?在点(_2,3)取得极值3,求常数a,b,。之

积Me,并判定该极值是极大还是极小。

4=4x+3y+。

解：计算偏导数，可得

zv=4y+3x+/?

由于函数z=2f+2/+3盯+0¥+勿+。在点(一2,3)取得极值3,因此有

4x(-2)+3x3+a=0

<4x3+3x(-2)+〃=0

2X(-2)2+2X32+3X(-2)X3+^ZX(-2)+Z?X3+C=3

解得a=—1,b=—6,c=11,从而abc=66.

A=zK—2,3)=4,3=ZxV(—2,3)=3,C=z»(—2,3)=4,于是AC—5?=7>0,又

A=4>0,因此函数2=2/+2/+3盯+办+外+。在点(_2,3)取得极小值3。

6.设z=(l+xy)v,求全微分dz

分7

解：—=y(l+xy)y~l-y=y2(1+xy)y~';

ox

将z=(l+孙尸两边取对数得：lnz=yln(l+M,对y求偏导可得：

1azi八、xydz八、，八、xy

----=ln(l+xy)+——,即An一=(1+盯)ln(l+盯)+―--.

zdy------------l+xydy[_14-xy

于是dz=%~dx+^dy=y2(1+xy)3-1+(1+xy)yln(l+Ay)+"\dy

dxdy|_1+xyJ

7.设X+Z=W(X2—Z2),其中/具有连续导数，求z包+>当

dxdy

解：

ap(x,y,z)=x+z-W(x2-z2),则G=l—2xW'，G=-/，理=l+2ygf',

大学专业考试试卷

于是空=_&=_>2/&=4=f

dxF:1+2何',&y~F:~\+2yzf'

dzdz

从而z-----by一=z・

dxdy1+2何Myzf'1+2何’

8.求微分方程V=2(1+Iny-Inx)的通解。

解：令？=〃，则y'=〃+x@，原方程可化为

xdx

u+x—=u(\+\nu),即e-=生，两端积分得：

dx«Inwx

ln|lnw|=ln|jc|+ln|C|»即ln"=Cr,因此原方程的通解为ln»=Cx.

9.求微分方程y"+9V=x-4的通解。

解：先解对应的齐次方程丁"+9旷=0。特征方程为一+9r=0,特征根为彳=0,

4=-9。齐次方程的通解为y=G+C2"”。

再求非齐次方程的一个特解。设特解为尸=双奴+与，将其代入原方程求得

I37137

a=—,b=--.因此特解为y*=x(-!-x—卫)。

18811881

137

所以原方程的通解为y=G+Ge&+

10.判别级数£您经是否收敛，假设收敛说明是条件收敛还是绝对收敛。

«=i〃+1

解：£竺竺=£4为交错级数，满足

„=1〃+1„=|〃+1

⑴=(〃=1,2,…)；

〃+1几+2

⑵limu=lim——=0

〃一>8n8〃+]

因此级数£竺丝收敛。

占〃+i

再考虑级数£吧丝=£4=£此正项级数发散。

〃=1〃+1"=]〃+1〃=]

因此级数£理竺收敛，且为条件收敛的级数。

a"+i

大学专业考试试卷

11.将函数/(x)=ln(x2+3x+2)展开成(x—1)的幕级数。

解：

/(%)=ln(x2+3x+2)=ln(x+l)+ln(x+2)=ln[2+(x—l)]+ln[3+(x-l)]

=In2+In(1++In3+In(1+

其中lnIjl+土』2)=之(—1)"In」+J1—=Sf'(—"1)("+(l1)2")+i,xe(-1,3]；

8(it

In1+?=：£(-1)"

=E(-irxG(—2,4]o

(n+l)3),+l

\5)n=0n=0

所以

―+3—+*D"深＞»D"嘉若

=m6+£*[击+击卜T)""’——I,”

四、应用与证明题

I.求曲线产+(>-5『=16绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积。

解：匕=