广东省深圳某中学2022-2023学年高一升高二暑假衔接讲义

2022-2023学年度高一暑假衔接讲义

目录

第一讲集合的概念和运算..........................................................1

检测达标.........................................................................4

第二讲函数及其表示..............................................................6

达标检测.........................................................................9

第三讲函数的图像...............................................................11

达标检测.........................................................................16

第四讲二次函数与累函数.........................................................18

达标检测........................................................................22

第五讲指数与指数函数...........................................................24

达标检测........................................................................28

第六讲对数与对数函数...........................................................30

达标检测........................................................................34

第七讲函数与方程...............................................................36

达标检测........................................................................39

第八讲三角函数的图像与性质.....................................................42

达标训练........................................................................47

第九讲两角和与差的正弦余弦和正切..............................................53

达标训练........................................................................56

第十讲正切恒等式..............................................................59

达标训练........................................................................61

第十一讲周期函数...........................................................63

达标训练........................................................................70

第十二讲向量的基础知识........................................................74

达标训练........................................................................76

第十三讲共线之对面的女孩看过来................................................78

达标训练........................................................................80

第十四讲万能的建系法求向量乘积问题............................................82

达标训练........................................................................86

第一讲集合的概念与运算

一、知识与方法

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；

(2)集合的分类：

①按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分;数集，点集。如数集{y[y=x3表示非负实数集，点集{(x,y)|y=x"

表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；

(3)集合的表示法：

①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N尸{0,1,2,3,…};②描

述法。

2、两类关系：

(1)元素与集合的关系，用e或代表示；

(2)集合与集合的关系，用q,反，=表示，当AqB时，称A是B的子集；当A*B时，

称A是B的真子集。

3、集合运算

(1)交,并，补，定义：ACB={x|xGA且xGB},AUB={x|xGA,或x〈B},CtA={x|x

GU,且xeA},集合U表示全集；

(2)运算律，如AC(BUC)=(AAB)U(AAC),Cv(ACB)=(GA)U(QB),

CL.(AUB)=(GA)n(QB)等。

二、典型例题

类型一：集合的概念、性质与运算

例1.设集合A/={x|—=x},N={x|lgx<0},则M_N=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

类型二：集合的两种关系

例2、已知集合A={x|x?-2X-3<0,XG/?},B={x|x2-Imx+rri1-4<0,XG/?)

(1)若Ac8=[l,3],求实数”的值；

(2)若AGC/乃，求实数加的取值范围。

2

【变式】设2011G{x,岳,x},则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数为

)

A.3B.4

C.7D.8

例3.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+l)(x—2)<O,xeZ},则4B=()

(A){1}(B){1,2}(C){0,123}(D){-1,0,123}

【变式1】若集合A={y|y=3x+l},B={x1y=Jl-f},贝！|AAB=()

A.0B.[-1,0)

C.(0,1]D.[-1,1]

类型三：分类讨论的集合问题__________________

例4.设函数/(x)=y/x2-2(a-l)x+h2的定义域为D。(1)

«e{1,2,3,4},/?G{1,2,3},求使。=/?的概率；(2)«e[0,4],/?e[0,3],求使£>=R

的概率.

【变式】己知集合4={1,2,3,4},3={丫|丫=3犬-2,犬€4},则AB=()

(A){1}(B){4}(C){1,3}(D){1,4}

检测达标

一.选择题

k1k1

L设集合M={x\x=—+—,kGZ}，N={x|x=—+—£Z}，则

2442

()

A.M=NB.M<=NC.M^ND.M^N=®

2.设集合4=卜||%—1]<2},8=卜|旷=2*广€[0,2]},则4|"|8=()

A..[0,2]B.(1,3)C.[1,3).D.(1,4)

3设集合A={yIy=2,XGR},B={XIx"-1<0},则AB_

(A)(-1,1)(B)(0,1)(C)(-1M)(D)(0,+oo)

4.设集合4={划—2«x<2},Z为整数集，则AIZ中元素的个数是

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.已知集合A={x|/一x—2W0},集合8为整数集，则AcB=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}

6.已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+l),若MPlN={-3},则a的值是

()

A-1B0C1D2

7.对任意实数x,若不等式|x+2|+|x+l|>上恒成立，则实数%的取值范围是

()

Ak》lBk>1CkWlDk<1

8.一元二次方程以2+2》+1=0,(。声0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：

()

A.a<°B.a>0C.。<-1D,a>1

9.设命题甲：a?+2公+1>0的解集是实数集R；命题乙：0<a<1,则命题甲是命题乙

成立的

()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

10.函数f(x)=1''其中P,M,为实数集R的两个非空子集，又规定

—eM,

f(P)={y|y=f(x),xGP},f(M)={y|y=f(x),xGM}.给出下列四个判断:

①若pnM=0,则f(p)nf(M)=0；②若PCIMW0,则f(p)nf(M)w0；

③若PUM=R,则f(P)Uf(M)=R；④若PUMKR,则f(P)Uf(M)#R.

其中正确判断有，()

A0个B1个C2个D4个

二.填空题

11.已知集合人={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则ADB=.

12.抛物线f(x)=x2-6x+l的对称轴方程是.

13.已知集合A={1,2,3},8={2,4,5},则集合AU8中元素的个数为.

14.设二次函数加:+。（。工0）,若/。。二八乙）（其中玉，则

/卢；々）等于_____.

三.解答题

15.用反证法证明：已知x,yeR,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1。

16.设全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x||x|=y+2,yGA),求CUB,

AAB,AUB,AU(CUB),AA(CUB),CU(AUB),(CUA)A(CUB).

17.若不等式办2+饭+2>0的解集为求。+匕的值

18.已知集合A=MY—5X+6=O},B{x|mx+l=0},且=求实数优的值组

成的集合。

第二讲函数及其表示

一、知识与方法

1、函数的概念

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个

x,在集合B中都有唯一的值与它对应，那么称/：A->8为从集合A到集合8的一个函

数。记作:y=/(%).

其中“叫做自变量“y叫做函数，自变量》的取值范围(数集A)叫做函数的定义域，

与x的值对应的丁值叫做函数值，所有函数值构成的集合C={y|y=f(x),xeA}叫做这

个函数的值域。

2、函数的三要素

函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应

法则唯一确定，故也可说函,数只有两个要素。

3、两个函数能成为同一函数的条件

当且仅当两,个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。

4、区间的概念和记号

设且a<b,我们规定：

(1)满足不等式aWxKh的实数x的集合叫做闭区间，表示为［。,可。

(2)满足不等式a<x<6的实数》的集合叫做开区间，表示为(。,份。

(3)满足不等式或的实数》的集合叫做半闭半开区间,分别表示为

［a,b)和(a,h］。这里的实数.和匕叫做相应区间的端点。

(4)实数R可以用区间表示为(一00,+00),“00”读作“无穷大”，“一00”读作“负

无穷大”，“+8”读作“正无穷大”。我们可以把满足xNa的实数x表示为［a,+8)

5、函数的表示方法

函数的表示方法有三种。(1)解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，

这个等式叫做函数的解析表达式.，简称解析式。(2)列表法：就是列出自变量与对应的函

数值的表来表达函数关系的方法。(3)图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。

6、分段函数

在函数的定义域内，对于自变量的.不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数

为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规范，一

般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，

所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。

7、求函数的定义域的主要依据

(1)分式的分母不能等于零；(2)偶次方根的被开方数必须大于等于零；(3)对数

函数y=log“x的真数x>0；(4)指数函数y=a*和对数函数y=log“尤的底数a>0且

awl；(5)零次皋的底数XHO；(6)函数y=tanx的定义域是

TT

{x\x^k7T+^々ez}；(7)由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义,

还要有实际意义。

二、典型例题

类型一：函数的概念

例1.下列各组函数中表示同一函数的是。

⑴/(x)=2x+l，g(y)=2y+l；(2)/(x)=lgx2,g(x)=21gx；

(3)/(x)=|x|,g(r)=VP*；(4)/(X)=X,/(X)=A/?O

【变式】下面各组函数中为相同函数的是()_______

A、/(X)=J(XT)2,g(x)=|x-x°|B、/(x)=J(x-1)2,g(x)=Jx+1Jx-1

C、/(x)=J=-l)2,g⑺=|r—l|D、g(f)=X^.

VX+26+2

例2.已知/(x)是一次函数，且满足3/。+1)-2/0—1)=21+17,求/(x)

【变式】已知函数/(x),g(x)分别由下表给出:

X123X123

f(x)131"上)321

则满足/1(刈>g[/(x)]的X的值是.

类型二：函数的定义域

例3.求下列函数的定义域

(Dy=---+V%2-1：⑵y=—^+(5x-4)°；

2-|x|-lg(2x-l)

【变式】已知函数/(x)='3±l的定义域是定则实数。的取值范围是()

a^C+QX—3

A.a>—B.-I2VQ<0C.-12va40D.—

33

【变式3】若/(-4+3*-1)的定义域为[-2,2],求f(x)的定义域。

例4.已知/(x)的定义域为(0,8),求/(f-2x)的定义域.

【变式】设函数/'(x)=ln匕二则函数g(x)=/(')+/(')的定义域是

l-x2x

类型三：分段函数

2x+3(x>0)

例5.已知函数/(x)=1-x+3(-l«x<0),求：

4尤2(x<-l)

(1)2)］的值;(2)y=/(x)的定义域、值域。

,3x+lxN0[2-x2x<1

【变式】设公）=/I，8爪2Z'则加⑶1=

g"(-，=

达标检测

一、选择题

1.已知函数y=万工的定义域为M,集合N={x|y=lg(x—1)},贝ij

/nN=()

A.[0,2)B.(0,2)C.{1,2)D.(1,2]

2.下列与函数y=x是同一函数的是()

A.y=yJx2B.y=——C.y=a'°SaXD.y=log„ax

X

3、设f{x)=1g|三十，则/仁)+/仁)的定义域为()

A.(-4,0)U(0,4)B.(-4,-l)U(l,4)

C.(-2-1)11(1,2)D.(-4,-2)U(2,4)

l+log?(2-x),x<1,

4,设函数/(x)=JY,/(-2)+/(log212)=()

2,x21,

A.3B.6C.9D.12

x

5、函数y=•的图象是()

6、在R上定义的函数/(x)是偶函数，且/(x)=/(2—x),若/(x)在区间［1,2］上是

减函数，则/(x)()

A.在区间［—2,-1］上是增函数,在区间［3,4］上是增函数

B.在区间［-2,-1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

C.在区间［—2,—1］上是减函数，在区间［3,4］上是增函数

D.在区间［—2,-1［上是减函数,在区间［3,4］上是减函数

,sin(兀X)-1<x<0_

7、函数f(x)=《，若f(l)+f(a)=2,则a的所有可能值为

5x>0

)

V2

A.1B.Vc.1iy—立D.1,

22V

8、若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0)上是减函数，且f(2)=0,则使f(x)<0

的x的取值范围是()

A.(一8,2)B.(2,+8)C.(一8,2)U⑵+8)D.(—2,2)

9、已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-1对称，且当x>0时f(x)=L则当x<一2

X

时,f(x)=()

A.——B.--—C.1-----D.------

xx+2x+2x-2

10、已知.f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,—1),则不等

式+的解集为()

A.(-1,2)B.(0,3)C.(—8,-2)D.(一8,3)

,2

xH-----3,xN1

11.已知函数/5)={X，则/(/(—3))=,/(幻的最小值

lg(x2+1),X<1

是.

12、若函数/(x)=eY"“)2(e是自然对数的底数)的最大值是加，且/(x)是偶函数，

则加+〃=.

13、若函数f(x)=log2®一l|(a#o)的图象关于直线x=2对称，则a=

14、已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f⑶=—1,则函数y=g(x—1)的图象必经过

点_______________

15.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=ekx+b

(e=2.718…为自然对数的底数，底匕为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间设计

192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是小

时

16、设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+3)=l—f(x),又当x£(0,1］时,f(x)=2x,则

f(17.5)=____________

17、已知函数f(x)=------(a,b为常数)，且方程f(x)—x+12=0有两个实根为

ax+b

Xj=3,%2=4.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设k>l,解关于X的不等式f(x)<(心Xi

2-x

第三讲函数的图像

一、知识与方法

考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系

1.当无eR时，二次方程以法+。=0(。。())的根的个数可以用判别式

△=〃-4ac与0的关系进行判断;

b

2.二次方程以2+法+c=o(。。0)的根玉、超与系数的关系：%+X,=-一，

a

c

xx=—；

}2"a

3.二次方程ox?+版+。=0(。。0)的根的分布：结合/(x)=ax2+bx+c(a>0)

的图像可以得到一系列有关的结论(。<0可以转化为。〉0)：

(1)方程/(幻=0的两根中一根比尸大，另一根比一小o/(r)<0.

J=/?2-4ac>0

b

(2)二次方程/(x)=0的两根都大于---->r

2a

/(r)>0

J=Z?2-4ac>0

b

P<--<Q

(3)二次方程/(x)=0在区间(p,q)内有两根2a

f(q)>0

—

(4)二次方程/(x)=0在区间(p,q)内只有一根O/(q)-/(p)<0,或/(p)=0而

另一根在(p,q)内,或/(彳)=0而另一根在(夕，4)内.

(5)方程/(幻=0的一根比p小且一根比q大(p<q)

考点二：零点

1.函数的零点

(1)一般地，如果函数y=/(x)在实数a处的值为0,即/(a)=0,则a叫做这个函

数的零点.

(2)对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：

①当它通过零点(不是偶次零点)时函数值符号改变；

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

(3)函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究

而推出的.是由特殊到一般的思想方法。

2.二分法

(1)已知函数y=/(x)在区间［a,b］上连续的，且/(a)-/S)<0,通过不断地把函

数y=/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点

的近似值的方法，叫做二分法。

(2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值

的步骤.只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点.

(3)二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识.此步骤本身

就是一个解题程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用.

考点三：图像变换

(一)函数图像

1.作图方法：

以解析式表示的函数作图像的方法有两种，即列表描点法和图像变换法，掌握这两种方

法是本节的重点.运用描点法作图像应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要

把表列在关键处，要把线连在恰当处.这就要求对所要画图像的存在范围、大致特征、变化

趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是

一个难点.用图像变换法作函数图像要确定以哪一种函数的图像为基础进行变换，以及确定

怎样的变换.这也是个难点.

2.作函数图像的步骤：

①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；

③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)、特殊点(如：

零点、极值点、与轴的交点)：

④描点连线，画出函数的图像。

(二)图像变换

图像变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。

(1)平移变换(左加右减，上加下减)

把函数/(x)的图像向左平移。(。>0)个a单位，得到函数/(x+a)的图.像，

把函数/(x)的图像向右平移a(a>0)个a单位，得到函数/(x-a)的图像，

把函数/(x)的图像向上平移a(a>0)个a单位，得到函数/(x)+a的图像，

把函数/(x)的图像向下平移a(a>0)个a单位，得到函数/(x)-a的图像。

(2)伸缩变换

①把函数？=/(%)图像的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的,倍得y=

w

(0<ty<1)

②把函数y=/(x)图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的‘倍得y=/(ox)

w

(0>1)

③把函数y=/(x)图像的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得y=o/(x)

(<y>1)

④把函数^=/(x)图像的横坐标不变，

纵坐标缩短到原来的w倍得y=a)f(x)(0<«y<1)

(3)对称变换：

①函数y=/(x)和函数y=-/(%)的图像关于x轴对称

函数y=/(x)和函数y=/(-%)的图像关于y轴对称

函数y=/(x)和函数y=-/(-%)的图像.关于原点对称

函数y=/(x)和函数y=r'(x)的图像关于直线y=x对称

简单地记为：x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变。

②对于函.数y=/(x)(xe/?),f(x+a)=/S-x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是

a+b

x=

2

(4)翻折变换：

①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到％轴上方，得到函数

y=|/(x)|的图像；

②保留y轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函

数y=/(N)的图像。

二、典型例题

类型一：图像变换

例1.写出下列函数作图过程，然后画出下列函数图像的草图.

(l)y=^—p(2)y=(x+l)|x—2|(3)y=|lgx|.(4)y=2|x+"

【变式】作出下列函数的图像

(1)y=|x-2|(x+l)⑵y=lg|x+l|

z2-x

(3)xy=------

x—1

类型二：一元二次方程的根的分布

例2.已知函数/(*)=必+面一1)*+3一2)的一个零点比1大，一个零点比1小。

求实数Q的取值范围.

【变式】已知方程，加2+(m-3)x+l=0至少有一正根，求实数〃？的取值范围.

类型三：零点的判定

例3.求方程!必+x—3=』的解的个数.

3x

【变式】方程3、-*2=0的实数解的个数为.

达标检测

一、选择题

1.设/(*)=/+公+C是［TJ上的增函数，且/(_g)./(g)<0,则函数y=/(X)

在［一1,1］上的零点的个数()

A.可能有3个B.可能有2个C.有唯一的一个D.没有

2.方程lgx+-=0的根的范围是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(1,+8)

3.函数/(x)=3ox—2a+l在［-1,1］上存在一个零点，则n的取值范围是()

A.<z>—B.a<-lC.-l<a<lD.aZ，或aW-1

55

4.函数/(jOnxZ+lBi'+Zlx+zn在(一1,1)上零点的个数为()

A.0B.1C.2D.不确定

5.方程lgx+Ig(x—l)=lga(O<a<l)的实数解的个数为()

A.0B.1C.2D.不确定

7.函数=的图象()

A.关于原点对称B,关于直线y=x对称

C.关于x轴对称D.关于y轴对称

8.已知/(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0Wx<2时，fXx)=x3-x,则

函数y=/(x)的图象在区间［0,6］上与x轴的交点的个数为()

A.6B.7C.8D.9

9.如果函数f(x)=*2++3)至多有一个零点，贝!］m的取值范围

是.

10.若方程ax2-2x+l=0(a〉0)的两根满足：Xl<l,1<X2<3,求a的取值范围.

11.已知方程(x—2A)2=ax(JteN)在区间［2左一1,2左+1］上有两个不等实根，求。的

取值范围.

12.设R且满足关系式：2a+b+2<0,证明方程『+二+。"+!)+/?=0至

厂x

少有一个正数解.

13.已知/(x)是二次函数，不等式/(x)<0的解集是(0,5),且/(x)在区间［一1,4］上

的最大值是12。

(I)求/(幻的解析式；

(口)是否存在实数相，使得方程/(X)+H37=o在区间(北根+1)内有且只有两个不等

的实数根？若存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由。

14.已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=61nx+/〃，

(1)求y=f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t)；

(2)是否存在实数m,使得y=/(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的

交点？若存在，求出加的取值范围；若不存在，说明理由。

第四讲二次函数与幕函数

一、知识与方法

考点一、初中学过的函数

(-)函数的图象与性质

常函数一次函数反比例函数二次函数

表达式y=a（。£R）y=ax+by=cue2+"x+c

y=-（%。0）

（。W0）X（aH（））

式子中字母的含

义及范围限定

图象、及其与坐

标轴的关系

单调性1

(-)二次函数的最值

1.二次函数有以下三种解析式:

一般式：y=ox2+bx+c（a，0）,

顶点式：y=a(x-h)2+k(。。0),其中顶点为(〃,女)，对称轴为直线尤=从

零点式：y=a(x-x^x-x2)(。。0),其中占,%?是方程内？+bx+c=O的根

2.二次函数y=ax2+8x+c(«>0)在区间［p,q］上的最值：

二次函数y=幺2+bx+c(a>0)在区间［p,q］上的最大值为M,最小值为m,令

1,、

%=5(〃+。),

(1)(2)(3)(4)

h

(1)若一丁<P，则/COmin=/(P)=m，/Wmax=f=M；

2a

(2)若p4-，</，则/(x)n)in=/(-，)=根，/(x)111ax=f(q)=M；

2a2a

bh

(3)若x04<q，则/(x)min=/(-丁)=m，/(初皿=/(p)=M；

2a2a

b

(4)若-不,则/(x)min=/⑷=加，f(x)1mx=f(P)=M.

2a

(二)二次函数的最值

1.二次函数有以下三种解析式：

一般式：y=ax2+bx+c(a/0),

顶点式：y=a(x-h)2+k(a/O),其中顶点为(/z,k),对称轴为直线x=/z,

零点式：y=«(%-%1)(x-x2)(。。0),其中修,超是方程"？+法+。=0的根

2.二次函数y=宙？+法+。(a>0)在区间［p,4］上的最值：

二次函数y=or+Ax+c(a＞0)在区间［p,q］上的最大值为M,最小值为m,令

(1)(2)(3)(4)

(1)若一二<，，则/(X)mil)=f(p)=m,J'(X)max=f(q)=M;

A)-勿7

(2)若〃《一丁〈龙。，则/(x)n“n=/(-=M；

2a29a

b

⑶若不＜—不＜小则/(初制=/(一-勿2=M；

2a

(4)若44一二，则/(X)min=八4)=帆，/(X)1rax=/(P)=M-

2a

考点二、塞的运算

;—巴1--11

n+

(1)=a",a"a=—/=-旧j=7(m,n^N,n>l)；

⑵=a(nsN,n>l)而：＞1,力为奇数)

后小仁武”是正偶数)。

考点三、幕函数的图象与性质

1.基函数y=xa(xeR)在第一象限的图象特征

2.塞函数y=x"(xeR)性质:

(1)a>l,图象过(0,0)、(1,1),下凸递增，如y=f；

(2)0<«<1,图象过(0,0)、(1,1),上凸递增，如y=%5；

(3)«<0,图象过(1,1),单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如丁=光7,丫=/5

二、典型例题

类型一：基本函数的解析式问题

例1.已知二次函数/(x)满足/(%-2)=/(—%一2),且图像在y轴上截距为1,在x轴

截得的线段长为2后，求/(%)的解析式.

【变式】已知二次函数y=/(x)的对称轴为x=-JL截x轴上的弦长为4,且过点

(0,-1),求函数的解析式

类型二：函数的图象和性质

例2.下图是指数函数(1)>="，(2)y=bx,(3)y=c)(4)y=,的图象,

则a、b、c、d与1的大小关系是()

A.a<h<\<c<dB.h<a<\<d<cC.\<a<b<c<d

D.a<b<l<d<c

2x

【变式】在力(X)=x"f2(x)=x,f3(x)=2,力(x)=log]X四个函数中，X]>x2>1

2

时，能使，/(%)+/(々)]</(土|玉)成立的函数是()

2

A.<(x)=x2B.f2(x)=xC.力(x)=2*D./,(%)=log,x

2

[\x\,x<m

例3.已知函数f(x)=,°,其中机>0,若存在实数〃，使得关于x的

[X-2mx+4m,x>m

方程/(x)有三个不同的根，则相的取值范围是.

类型三：最值问题

例4.求函数y=(-)v-(-)x+1(xe[一3,2])的最值.

例5.已知〃万=/+2元-3,-6山+1],若/(为)的最小值为的),写出力⑺的表

达式。

【变式】要使函数y=l+2'+a-4*在XG(-8,1］上y>0恒成立，求a的取值范围.

达标检测

选择题

1

1.[(-V2)2P=().

A、亚B、-eC、D.-T

2,下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()

32

A.y=—x,xeRB.y=2x+3,xG7?C.y=x.xR

D.y=(-)x,xeR

3.若函数y=(/-i)-'在R上是减函数，则实数a的取值范围是()。

A,|a|<lB、l<|a|<2C、l<|a|〈痣D、0<|a|<V2

4.三个数6°7,().76,log076的大小顺序是()

607607

A、0.7<log()76<6B、0.7<6<log()76

07667

C、log076<6<0.7D、log076<0.7<6°

5.已知函数+(4。3)x+3a,x<0,(间,且在R上单调递减，且关

log„(x+l)+l,x>0

于x的方程|/(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()

223123123

A、(0,-]B、[-,-]C>-]J{-}I)、-)J{-}

334334334

6.函数y=/(x)的图像与函数g(x)=log2X的图像关于直线y=x对称，则/(x)的表

达式为；

7.函数y=logI(--5x+6)的定义域；

8.已知定义域为R的偶函数f(x)在［0,+8)上是增函数且/(；)=(),则不等式

f(loglx)>0的解集是.

9.已知O<a</?<1,判断废、b"、d之间的大小关系

10.已知函数f(x)=f+bx+c,对任意xeR都有/(l+