2024-2025学年度北师版八上数学-专题5-一次函数中的综合问题【课件】

第四章一次函数专题5一次函数中的综合问题数学八年级上册BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS

◎问题综述一次函数的综合问题，常常涉及三角形全等、三角形存在

性问题、相交型图象信息问题等.在遇到这些问题时，关键是要

认真审题，理清题意，熟练运用一次函数的知识正确解答.◎要点归纳一次函数与三角形全等中“三垂直”模型相结合.右图为“三垂直”全等模型，其中△ABC为等腰直角三角形，AE⊥

EC，BF⊥CF，E，C，F三点共线，则有△ACE≌△CBF.

在与一次函数的综合题中需要作垂线构造全等三角形.2.

一次函数中的三角形存在性问题的解题步骤.（1）找点：利用尺规作图确定点的位置；（2）求点：利用等量关系或联立函数表达式，直角三角形需要

根据直角顶点分类讨论，再由等腰直角三角形的特殊性，利用

勾股定理或构造全等三角形求解；（3）定点：依据题意确定符合要求的点的坐标.3.

相交型图象信息问题.若两个一次函数y1与y2的图象的交点坐标为（x0，y0），则当x

＝x0时，函数值y1＝y2＝y0；当函数值y＝y0时，自变量的值x1

＝x2＝x0.数学八年级上册BS版02典例讲练

类型一

一次函数中的三角形全等问题

如图，已知一次函数y＝－2x＋2的图象与y轴交于点A，

与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC

交x轴于点D.

（2）若点Q是图中坐标平面内不同于点B，C的一点，当以点

B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标.（1）求点A，B，C的坐标和直线AC的函数表达式；（1）解：把x＝0代入y＝－2x＋2中，得y＝2.所以点A的坐标为（0，2）.把y＝0代入y＝－2x＋2，得－2x＋2＝0，解得x＝1.所以点B

的坐标为（1，0）.如图1，过点C作CM⊥x轴于点M，图1图1所以∠AOB＝∠BMC＝90°.因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°.所以∠ABO＋∠MBC＝90°.所以∠OAB＝∠MBC.

所以△AOB≌△BMC（AAS）.所以BM＝OA＝2，CM＝OB＝1.所以OM＝3.所以点C的坐标为（3，1）.设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）.

因为∠ABO＋∠OAB＝90°，

（2）点Q的坐标为（3，－1），（4，－1）或（4，1）.【解析】如图2，以点B，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，点Q有三种情形.由图形的全等，知点Q1与点C关于x轴对称.故点Q1（3，－1）；由直线AC，知D（60），点C与点

Q3关于BD的中垂线对称，故点Q3（4，1）；点Q2和点Q3关于

x轴对称，故点Q2（4，－1）.故点Q的坐标为（3，－1），（4，－1）或（4，1）.图2【点拨】在解答一次函数与三角形的综合性问题时，常会用到

三角形全等中的常见模型，例如本题中用到的“三垂直”模

型，也常常会利用轴对称的知识去解题.

如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx＋b与x轴交于点

A，与y轴交于点B（0，6），与直线y＝2x交于点C（a，4）.（1）求点C的坐标及直线AB的函数表达式.（2）若点E的坐标是（4，0），过点E作直线l⊥x轴，交直线

y＝2x于点F，交直线y＝kx＋b于点G.

①求△CGF的面积.②直线l上是否存在点P，使OP＋BP的值最小？若存在，直接

写出点P的坐标；若不存在，说明理由.（3）若点E是x轴上的一个动点，点E的横坐标为m（m＞0），当点E在x轴上运动时，当m取何值时，直线l上存在点

Q，使得以点A，C，Q为顶点的三角形与△AOC全等？请直接写出相应的m的值.

备用图解：（1）将点C（a，4）代入y＝2x，可得a＝2，所以点C的坐标为（2，4）.将点B（0，6），点C（2，4）代入y＝kx＋b，可得b＝6，2k＋b＝4，所以k＝－1.所以直线AB的函数表达式为y＝－x＋6.（2）①因为直线l⊥x轴，点E，F，G都在直线l上，且点E的

坐标为（4，0），所以点F，G的横坐标均为4.设点F（4，y1），G（4，y2），分别代入y＝2x和y＝－x＋6，可得y1＝8，y2＝2，所以F（4，8），G（4，2）.所以FE＝8，GE＝2.所以FG＝6.图1如图1，过点C作CH⊥FG于点H.

因为C（2，4），E（4，0），所以CH＝4－2＝2.

图1②存在点P（4，3），使得BP＋OP的值最小.理由如下：如图2，设点O关于直线l的对称点为D（8，0），连接BD.

设直线BD的函数表达式为y＝mx＋n（m≠0）.图2图2将点B（0，6），D（8，0）代入y＝mx＋n，可得n＝6，8m

＋n＝0.

因为点P在直线l：x＝4上，令x＝4，则y＝3，所以点P的坐标为（4，3）.（3）m的值为2，6或8.理由如下：因为直线AB的函数表达式为y＝－x＋6，所以A（6，0）.分三种情况讨论：①如图3，当△OAC≌△QCA，点Q在第四象限时，则∠ECA＝∠EAC.

所以AE＝CE＝4，OE＝6－4＝2.所以m＝2；图3②如图4，当△ACO≌△ACQ，点Q在第一象限时，因为A（6，0），B（0，6），所以OA＝OB.

所以∠OAC＝∠OBC＝45°.图4因为△ACO≌△ACQ，所以∠OAC＝∠QAC＝45°.所以∠OAQ＝90°.所以点E与点A重合.所以OE＝AO＝6.所以m＝6；③如图5，当△ACO≌△CAQ，点Q在第一象限时，图5∠ACO＝∠CAQ，∠CAO＝∠ACQ.

所以CQ＝AO＝6.易得AE＝2，所以OE＝8.图5所以m＝8.综上所述，m的值为2或6或8.类型二

一次函数与三角形的存在性问题

如图，已知四边形ABCO是长方形，O为坐标原点，点B的

坐标为（8，6），点A，C都在坐标轴上，P是线段BC上的一

动点，PC＝m.直线y＝2x＋6向右平移6个单位长度后，在该

直线上是否存在点G，使△APG是等腰直角三角形？若存在，

请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在点G，使△APG是等腰直角三角形.理由如下：直线y＝2x＋6向右平移6个单位长度后的函数表达式为y＝2（x

－6）＋6＝2x－6.如图1，当∠AGP（B）＝90°，AG＝PG时，易得点G的坐标

为（4，2），且在直线y＝2x－6上；图1

图2

图3【点拨】等腰直角三角形的存在性问题要抓住腰相等，然后构

造全等三角形解决问题.

解：（1）经过.因为y＝kx＋2k，所以y＝k（x＋2）.所以当x＝－2时，y＝0.所以直线l2经过定点（－2，0）.（1）直线l2是否经过x轴上一定点？若经过，求该定点的坐

标；若不经过，请说明理由.（2）过点M（0，6）作平行于x轴的直线l3，点Q为直线l3上的一个动点，当△QAB是不以点A为顶角顶点的等腰三角形时，求点Q的坐标.

所以点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）.如图，设点Q的坐标为（n，6）.

类型三

相交型图象信息问题

甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，甲、乙两队挖掘隧道长y（m）与挖掘时间x（天）之间关系的部分图象如图所示.请解答下列问题：（1）在前2天的挖掘中，甲队的挖掘速度为

m/天，乙队

的挖掘速度为

m/天.（2）①当2＜x＜6时，求y乙与x之间的函数表达式；②开挖几天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5

m？10

15

（1）【解析】甲队挖掘速度：60÷6＝10（m/天），乙队前2天

挖掘速度：30÷2＝15（m/天）.故答案为10，15.（2）解：①当2＜x＜6时，设y乙＝kx＋b（k≠0）.根据图象，得2k＋b＝30，6k＋b＝50，解得k＝5，b＝20.所以当2＜x＜6时，y乙＝5x＋20.②由题可得，当0≤x≤2时，y乙＝15x；当2＜x≤6时，y乙＝5x＋20.当0≤x≤6时，y甲＝10x.由10x＝5x＋20，解得x＝4.当0≤x≤2时，15x－10x＝5，解得x＝1；当2＜x≤4时，（5x＋20）－10x＝5，解得x＝3；当4＜x≤6时，10x－（5x＋20）＝5，解得x＝5.故挖掘1天或3天或5天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5

m.【点拨】特别注意分段函数的图象和自变量的取值范围，不同

的取值范围内，对应不同的图象.

如图，l1表示某机床公司一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系.有以下四个结论：①l1对应的函数表达式是y＝x；②l2对应的函数表达式是y＝x

＋1；③当销售量为2件时，销售收入等于销售成本；④利润与销售量之间的函数表达式是W＝0.5x－