第10讲柱、锥、台的表面积高二数学（沪教版2020必修三）（解析版）

第10讲柱、锥、台的表面积（核心考点讲与练）

Q考点考向

名称

表面积

柱体

S表面积=S侧+2S底

（棱柱和圆柱）

锥体

S表面积=Stw+S底

（棱锥和圆锥）

台体

S表面积=SIIIJ+S上+S下

（棱台和圆台）

求多面体只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多

的表面积面体的表面积

求旋转体可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要

的表面积搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系

求不规则

通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱

儿何体的

体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积

表面积

Q能力拓展

题型一：棱柱表面积的有关计算

一、填空题

1.（2021・上海大学附属南翔高级中学高二期中）已知直棱柱的底面周长为12,高为4,则

这个棱柱的侧面积等于.

【答案】48

【分析】根据直棱柱的侧面积公式直接求解即可

【详解】因为直棱柱的底面周长为12,高为4,

所以这个棱柱的侧面积为12x4=48,

故答案为：48

2.（2021•上海浦东新•高二期中）一个正四棱柱底面边长为1,高为2,则它的表面积是

【答案】10

【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可

【详解】因为正四棱柱底面边长为1,高为2,

所以它的表面积为2x1x1+4x1x2=10,

故答案为：10

3.（2021.上海市市西中学高二期中）在斜三棱柱A8C-A4G中，底面AMC是边长为2的

等边三角形,侧棱长为2,其中一条侧棱AA与底面△ABC两边AB,AC所在直线夹角为45。,

则该斜三棱柱的侧面积为.

【答案】4+4夜

【分析】首先证得CC|_L81G，然后分别求出三个侧面的面积相加即可求出结果.

【详解】

过点用作8也，必于M，因为NGAm=/用片"，则AGA“24A〃，所以

ZC,MA,==90,即又因为e用口81M="，所以平面80附，

又因为gGu平面qGM,所以AA_L8G，又因为AA〃GG，所以CG，B|G，则该斜

三棱柱的侧面积为—x2x2x^——x2x2+2x2=4忘+4,

22

故答案为：4a+4.

4.（2021•上海市建平中学高二阶段练习）已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面

积为4,两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6,那么它的表面积为.

【答案】2病+8

【分析】设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为6（〃＜。），高为〃，根据题意可得必=8,

ah=5,hh=6,求得然后求出直四棱柱的底面菱形的边长，即可求出菱形的面积.

【详解】解：设直四棱柱底面菱形的对角线的长分别为4/〃＜与，高为h,

因为底面的面积为4,两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6,

所以出＞=8,ah=5,bh=6,

所以"=半’所以"=为'"=装‘

故直四棱柱的底面菱形的边长为=碧，

所以直四棱柱的表面积为4x«x巫+2x4=2病+8.

＜152

故答案为：2病+8.

5.（2021.上海市建平中学高二阶段练习）已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，

那么正方体的表面积是正四面体的表面积的倍.

【答案】6

【分析】正方体的棱长为“，则正四面体的棱长为■，分别求出正方体和正四面体的表面

积，即可得解.

【详解】解：如图所示，正四面体的顶点是一个正方体的顶点，

设正方体的棱长为〃，则正四面体的棱长为夜a,

则S正方体改）

Sow体=45会＞=4x#x（&aJ=2GA

所以=

D正四面体Z75a

所以正方体的表面积是正四面体的表面积的G倍.

故答案为：＞/3.

二、解答题

6.（2017•上海市七宝中学高二期中）图1是某储蓄罐的平面展开图，其中

NGCD=NEDC=NF=90°,h.AD=CD^DE=CG,FG=FE,若将五边形COEFG看成

底面，为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.

（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；

（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250CM',求制作该储蓄罐所须材料的总面积S（精确到整

数位，材料厚度，按犍及投币口的面积忽略不计）

【答案】⑴见解析；（2）691加

【分析】（【）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的宜观图即可；

（2）设AD=a,求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出。，然后求几何体

的表面积.

【详解】（1）储蓄罐的直观图如下图所示；

（2）设=△£：%是等腰直角三角形，EF=FG=—a,

2

则五边形CDEFG的面积为〃+；x半〃52

—a

4

得容积V=SCO£FGXAO=；43=[250,解得：«=10,

其展开图的面积S=5片+J/+缶2=5001+2夜卜691,

因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2.

【点睛】本题考查组合体的展开图和几何体的体积的简单应用，意在考查空间想象能力和计

算能力，属于基础题型.

题型二：圆柱表面积的有关计算

一、填空题

1.（2021・上海・闵行中学高二期中）如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4,

高为3,若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为一.

【答案】3

【分析】利用圆柱的上下底面的面积和等于圆柱的侧面积即可求解.

【详解】设孔的半径为r,..•一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4,高为3,

在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，.•.2、兀户=27n■xB,解得r=3,

孔的半径为3.

故答案为3.

【点睛】本题考查圆柱的结构特征和和侧面积公式.

2.（2021•上海市金山中学高、二期末）将边长为4的正方形绕着其一边旋转2点7r，得到的几何

体的表面积为

【答案】32+誓

【分析】作出旋转后的图形，可知旋转后的几何体的表面包括两个正方形、两个扇形和圆柱

侧面的一部分，由此可求得几何体的表面积.

【详解】如下图所示：

旋转后的几何体的表面包括两个正方形、两个扇形和圆柱侧面的一部分，

1164九"

故几何体的表面积为16+16+2x§xl6;r+3x8;rx4=32+-^-.

故答案为：32+”.

3.（2021・上海•华师大二附中高二期中）将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所

得几何体的体积为27〃,则该几何体的全面积为.

【答案】36万

【分析】设正方体的边长为则£=%/a=27万，解得。=3,根据全面积公式计算即可.

【详解】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27万，

设正方体的边长为〃，则.”=277，解得a=3,

•••该圆柱的全面积为S=2乃X3X3+2XIX32=36万，

故答案为：36万.

4.（2021•上海市延安中学高二期中）在如图所示的斜截圆柱（截面与底面不平行）中，已

加圆柱底面的直径为4cm,母线长最短5cm,最长8cm,则斜截圆柱的侧面积为

cm2

【答案】26乃

【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可.

【详解】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开的面积为斜截圆柱的侧

面积的两倍，

所以斜截圆柱的侧面积S=（5+8）x2^x2x-=26^cw2.

故答案为：267

5.（2021•上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）若圆柱的底面半径为2,高为1,则圆柱的

全面积是.

【答案】12万

【分析】根据题意使用圆柱的底面积、侧面积公式，分别算出该圆柱的底面积和侧面积，从

而得出该圆柱的全面积.

【详解】；圆柱的底面半径为r=2,

,圆柱的底面圆面积$=万/=47.

又•••圆柱的高为1,二圆柱的母线长百，

，圆柱的侧面积s2=2亓〃=2兀X2XI=4兀.

所以，该圆柱的全面积为5=25+5=2x4乃+4万=12*

故答案为：12万.

二、解答题

6.（2021•上海市宝山中学高二阶段练习）四边形A8C3是圆柱。。的轴截面，E为底面圆

周上的一点，AE=245,BE=4,AD=5.

（1）求证：平面ADE;

（2）求圆柱的表面积.

【答案】（1）见证明；（2）48万

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明跖，平面AOE；

（2）先求出圆柱底面圆的半径，进而可根据圆柱的表面积公式，求出结果.

【详解】（1）证明：：平面是圆柱。。的轴截面，

A£）_L平面/WE,：BEu平面/USE,AAD±BE,

乂E为底面圆周上一点，A8为直径，,AEL8E，

又AOcAE=A,，BE_L平面AZJE

（2）在AABE中

,AE=2>/5，BE=4,♦•AB=VAE2+BE2=6，

.•.底面圆的半径厂=3,又•••AD=5

，圆柱侧面积为2万x3x5=30万，

上下两底面面积为乃X32X2=18万，

二圆柱的表面积为30%+18=48乃.

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，以及圆柱的表面积公式，需要考生熟记线面垂

直的判定定理以及几何体的表面积公式，属于基础题型.

题型三：棱锥表面积的有关计算

一、填空题

1.（2021・上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）己知正三棱锥O-ABC的底面边长为4,

高为2,则此三棱锥的侧面积为.

【答案】8G

【分析】画出满足题意的三棱锥P-ABC图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出

此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积.

【详解】由题意作出图形如图：

因为三.棱锥P-ABC足正一棱锥，顶点在底面上的射影。是底面的中心,

在三角PZ*中，PD=2,£>F=—,

3

••・PF=R=半

则这个棱锥的侧面积为3x、4x逑=8万.

23v

故答案为：8G.

2.（2021•上海•闵行中学高二期中）棱长都是2的三棱锥的表面积为.

【答案】473

【分析】先计算一个等边三角形的面积，再计算4个等边三角形的面积和.

【详解】棱长都是2的三棱锥的四个面都是等边三角形，每个等边三角形的面积

S=1x2x2xsin60=>/3,所以三棱锥的表面积是4石.

故答案为：4G

3.（2021・上海市大同中学高二期末）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6,则

此三棱锥的侧面积为.

【答案】18

【分析】画出满足题意的三棱锥尸-ABC图形，根据题意，画出高，利用直角三角形，求出

此三棱锥的侧面上的高，即可求出棱锥的侧面积.

【详解】由题意画出图形，如图所示：

因为三棱锥P-A8C是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，

在三角形PDF中：

因为三角形PDF三边长P£>=1,DF=6

所以/¥"=2,

则这个棱锥的侧面积S=3x；x6xl=18.

故答案为18.

【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积和棱锥的结构特征，考查数形结合思

想，还考查计算能力，是基础题，棱锥的侧面积是每一个侧面的面积之和.

4.（2021•上海市吴淞中学高二阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为2,高为1,则该三棱

锥的侧面积为

【答案】273.

【分析】画出满足题意的三棱锥尸-图形，根据题意，作出高，利用直角三角形，求出此三棱

锥的侧面上的高,即可求出棱锥的侧面积.

【详解】由题意作出图形如图：

因为一棱锥P-ABC是正：棱锥，顶点在底面上的射影。是底面的中心,

在三角PD尸中，

;三角形PDF三边长PD=1,DF=立,

3

则这个棱锥的侧面积片=3x,x2x拽=2后.

恻23

故答案为：2G.

【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征.需要作出高，构造直角三角形进行边长的求解.属于

中等题型.

题型四：圆锥表面积的有关计算

一、单选题

1.（2021.上海浦东新•高二期中）一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平

面将圆锥分成上下两部分，设圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为x,>,则函数y=

的图像大致是（）

【答案】B

【分析】设圆锥的底面半径为"，母线长为/，则圆锥的侧面积为；F”，则由题意可得

x+y=7rrlf从而可得结论

【详解】设圆锥的底面半径为"，母线长为/，则圆锥的侧面积为了“，

因为圆锥所分的上下两部分的侧面积分别为x,y,

所以x+y=i〃，Qpy=7trl-x,

因为万〃为常数，所以函数y=/（x）的图像大致是条线段，

故选：B

二、填空题

2.（2021•上海市奉贤中学高二阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为90。的

扇形，则这个圆锥的全面积是.

【答案】q

4

【分析】先根据5=/。归2求出圆锥的侧面面积，再根据展开图扇形弧长等于底面圆的周长

求出底面圆的半径，进而求出底面面积，相加得到圆锥的全面积.

【详解】圆锥的侧面展开图面积为乎22=%，圆锥的底面网半彳仝设为,，则2a=[x2,解

]1JT54

得：所以底面圆面积为兀/=兀，则圆锥的全面积为万十

2444

故答案为：~~

4

3.（2021•上海市南洋模范中学高二期中）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为点，圆锥

底面周长为2万，则这个圆锥的表面积为.

【答案】4万

【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，求解即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为/，底面半径为「，

则2夕=2]，解得r=l,

又圆锥侧面展开图中扇形的中心角为27r?，

贝1J§"=2兀，解得/=3,

2

所以圆锥的表面积为S=nrl+nr=47r

故答案为：4*

4.（2021•上海市市西中学高二期中）已知圆锥的底面半径为3,母线与底面所成角为60,

则圆锥侧面积等于.

【答案】1瓯

【分析】画出圆锥的直观图，结合题意，求得圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，即

可求解.

【详解】根据题意，可得。4=3,/%0=6。，如图所示，

在直向ASQ4中，可得SO==6,即圆锥的母线长为2丛，

cos60

所以圆锥的侧面积为S=卯7=7x3x6=18乃.

故答案为：181.

5.（2021.上海市徐汇中学高二期中）用一个半径为10厘米的半圆纸片做成一个忽略接缝的

无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则它的最高点到桌面的距离为

【答案】53厘米

【分析】如图所示，设用B为轴截面，过点4作利用圆的周长公式解得底面直径

AB=10,在△物8中解三角形，即可得出.

【详解】如图所示，

设网B为轴截面，过点A作乃xAB=10万，解得AB=10,

△租8是等边三角形,

，AO=ABsin60°=10x@=56.

2

...它的最高点到桌面的距离为cm.

故答案为：5^cm.

6.（2021•上海交大附中高二期中）圆锥的侧面积是底面积的5倍，那么这个圆锥的母线与

轴所成角的正弦值为.

【答案】|

【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的5倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的5倍,

在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.

【详解】解：设圆锥母线与轴所成角为，，

•.•圆锥的侧面积是底面积的5倍，

,•2———3,

兀广r

即圆锥的母线是圆锥底面半径的5倍，故圆锥的轴截面如下图所示：

r|

贝Ijsin6=7=g,

故母线与轴所成角的正弦值为g;

故答案为：—

7.（2021・上海市行知中学高二阶段练习）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴,

将该正三角形旋转一周所得的旋转体的表面积等于.

【答案】岛

【分析】首先确定旋转体为两个相同的圆锥，然后根据正三角形的边长求圆锥的底面圆半径

和母线，求出圆锥的侧面积，进而求出旋转体的表面积.

【详解】由题意，将该正三角形旋转一周所得的旋转体为两个相同圆锥的组合体，如下图：

因为正三角形的边长为1,易知正三角形的高为亚，

2

故圆锥的底面半径为正，高为），母线长为1,

22

故圆锥的侧面积为』x2%x且xl=史乃，

222

又因为旋转体的表面积是由两个圆锥侧面积之和，

所以旋转体体积V=2x近T=&.

2

故答案为：也兀.

8.（2021•上海市亭林中学高二期中）圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,则圆锥的表面

积是•

【答案】37rcm2

【分析】根据圆锥的表面积公式，由题中条件，可直接得出结果.

【详解】因为圆锥底面半径为1cm,母线长为2cm,

所以圆锥的底面积为小『=;rcm2,侧面积为:22乃=2%cm?.

则圆锥的表面积为万+2万=3万5?.

故答案为：3^-cm2

9.（2021・上海虹口.高二期末）已知圆锥的主视图为如图所示，则该圆锥的侧面积是

3

【答案】6兀

【分析】本题可根据圆锥的主视图确定圆锥的底面半径和母线长，即可求出该圆锥的侧面积.

【详解】由圆锥的主视图易知，圆锥的底面半径为白，母线长为4,

则该圆锥的侧面积5=兀仓44=6无，

故答案为：67t.

三、解答题

10.（2021.上海.高二专题练习）如图，已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，高为20，底

面半径为2.

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）设04、0B为该圆锥的底面半径，且NAO8=90。，M为线段A8的中点，求直线PM

与直线。8所成的角的正切值.

【答案】（1）8万；（2）Vl3.

【解析】（1）利用圆锥侧面积公式即可：（2）通过中点作辅助线即可.

【详解】解：（1）QP_L底面048

由题意商〃=2括，底面半径r=2,

所以母线/=4

圆锥的侧面积S==-x2^-x2x4=&r

22

（2）取。4的中点为N,因为M为A8的中点

所以MNUOB,/PMN就是直线PM与直线0B所成的角.

因为O8_LOA,OBLOP.

所以08_L平面PCM,MN_L平面PO4,MNLPN

在Rt4PNM中,fW=亚+守=屈，MN=g（）B=1.

所以NPMN的正切值为岳.

即直线PM与直线。8所成的角正切值为而.

Q巩固提升

一、填空题

1.（2021•上海市松江二中高二阶段练习）圆锥的底面半径为2,母线与轴所成角为该圆

O

锥的全面积为.

【答案】12万

【分析】求出圆锥的底面积和侧面积，相加即为全面积

【详解】已知厂=2,且母线与轴所成角为J

所以母线/=4

所以侧面积为祝=8乃，底面积为42=4万

S=Trrl+7rr2=127

故答案为：12万

2.（2021•上海浦东新•高二期中）一个圆柱的底面半径为女m,高为4cm,则它的侧面积为

cm2.

【答案】24万

【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.

【详解】解：圆柱的底面半径为3cm,高为4cm，则它的侧面积为27x3x4=24icm2,

故答案为：24万.

3.（2021.上海市进才中学高二期中）已知圆锥底面半径为2,母线长为3,则圆锥的表面积

为.

【答案】10rt

【分析】先算出圆锥底面周长，进而算出侧面积和底面积，最后得到答案.

【详解】由题意，底面周长为2万x2=4%,则圆锥表面积为：；x4乃x3+/x22=10%.

故答案为：10兀

4.（2021・上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知圆柱的底面半径为1,高为2,则圆

柱的侧面积为

【答案】44

【分析】圆柱侧面积等于底面周长乘以高.

【详解】依题意，圆柱底面周长等于2汝1=2万，故侧面积等于24—2=4万

故答案为：4万

5.（2020.上海师范大学第二附属中学高二期中）已知矩形ABCD中，AB=\,BC=2,若将

矩形ABCO绕着AB旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为.

【答案】12万

【分析】根据圆柱的表面积公式求得所求的表面积.

【详解】依题意可知圆柱的底面半径为2,高为1,

所以圆柱的表面枳为2^-x22+2^x2xl=12^".

故答案为：12万

6.（2021・上海市洋泾中学高二期中）若一个圆锥的底面面积为4%母线长为3,则它的侧

面积为.

【答案】6兀

【分析】由已知条件求出底面半径，从而可求出圆锥的侧面积

【详解】解：设圆锥的底面半径为，则万户=4乃，得r=2,

所以圆锥的侧面积为万H=2x3万=6万，

故答案为：6万

7.（2021.上海市市西中学高二期中）已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥

侧面展开图的圆心角是.

【答案】丁

二:〉进而结合扇形得面积公式即

［分析］由题意得产+析=/以及"/=2X万/得到

可求出结果.

【详解】设圆锥得地面半径为，母线为/，高为〃，则产+〃2=尸，由题意知］〃=2*》/,

所以J”、，设圆锥得侧面展开图得圆心角为a,则1/=乃“，所以卜（2r『=2",

h=>/3r22

即a=1，

故答案为：

8.（2021•上海市第三女子中学高二期末）面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周,

所得的几何体的侧面积为.

【答案】版

【分析】由旋转体定义可得，正方体绕一边旋转之后得到圆柱，圆柱侧面展开是一个矩形,

圆柱底面周长即为矩形的长，圆柱的母线长即为矩形的宽，山此即得该几何体的侧面积.

【详解】由已知条件可得，面积为4的正方形边长为2,

绕其一边旋转之后得到的为圆柱，且此圆柱的母线长为2,底面半径也为2,

所以，该圆柱的侧面积为：S斛=2兀〃=27tx2'2=8兀，

故答案为：阮.

9.（2021・上海•华师大二附中高二期中）某圆锥的底面积为41，侧面积为8万，则该圆锥的

母线与底面所成角的大小为一.

【答案】y

【分析】根据圆锥底面面积公式以及圆锥侧面面积公式，求出底面半径和母线长，即可得出

结论.

【详解】设圆锥的底面半径为,，母线长为/,

则;r，=4»,解得r=2,

万〃=2%/=8"，解得/=4,

设该圆锥的母线与底面所成角为3,

217T

所以cos6=-=—,0<6><-,

422

TT

所以

故答案为：y

10.（2022•上海市嘉定区第二中学高二期末）已知某圆锥的高为4,体积为12万，则其侧面

积为.

【答案】157

【分析】设该圆锥的底面半径为广，由圆锥的体积丫=（仃2〃，可解得「的值，再由勾股定理

求得圆锥的母线长/,而侧面积S=a/,代入数据即可得解.

【详解】设该圆锥的底面半径为r,圆锥的体积丫=；7^//=；^^4=12兀，解得r=3.

圆锥的母线长/=，产+共2=5,...侧面积S—m-l—15s-.

故答案为：15兀

【点睛】本题考查圆锥的侧面积和体积的计算，理解圆锥的结构特征是解题的关键，考查学

生的空间立体感和运算能力，属于基础题.

11.（2021.上海.高二专题练习）正四棱台上、下底面的边长分别为。，6,侧棱长为;（4+b）,

则此棱台的侧面积为.

【答案】2（a+b）\[ab

【分析】作出正四棱台A5CD-A4G",则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形，过耳作

与汽，48交48于点",先求出斜高|gN|,再求出等腰梯形A圈A8的面积，可得出答案.

【详解】设正四棱台ABC。-ABIGR,则正四棱台的侧面是全等的等腰梯形.如图

在侧面\BXAB中，过用作用N，AB交AB『点N,

因为ANAS为等腰梯形，所以=

所以忸M=-加砰=（等J-（与j=ab

所以侧面积为：4sA4A8=4乂审x瓢=2（a+b）友

故答案为：2（a+6）\/i"

【点睛】本题考查求正四棱台的侧面积，考查正四棱台的基本性质，属于基础题.

12.（2020•上海•曹杨二中高二期末）若正四棱锥的底面边长为3,高为2.则这个正四棱锥的

全面积为;

【答案】24

【解析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再由正方形及三角形面积公式求解.

【详解】如图所示，

四棱锥P-ABC。为正四棱锥，高OP=2,底面边长钻=3.

过。作OGL8C,垂足为G,连接PG,则斜高PG=J22+（|/=,.

，正四棱锥的全面积是S=3X3+4X；X3X|=24.

故答案为：24.

【点睛】本题考查正四棱锥的全面积求法，考查计算能力，是基础题.

二、解答题

13.（2021.上海奉贤区致远高级中学高二期中）如图，圆锥底面半径为1,高为2.

(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值；

(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；

(3)若圆锥的底面半径为小高为6,试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.

【答案】(1/(2)不存在，理由见解析⑶存在最大值

【分析】(1)依题意作出圆锥的轴截面，设内接圆柱底面半径为，(0</<1)，高为h,利用

三角形相似得到〃=2(1-r),再利用基本不等式求出面积的最大值；

(2)由(1)可得S1g柱全郦,=2/—(-1尸+1],根据二次函数的性质判断可得；

(3)依题意可得S全=2兀酎，根据二次函数的性质计算可得；

(1)

解：作出轴截面如下图所示，

设内接圆柱底面半径为一(。v1),IWJ为〃，§圆柱侧面=2n而，由77s△AQS,所以

篝=若，所以一=g，所以人=2(1—力，5WWJiSi=4^r(l-r)<4^-')=兀

/iC/DC/rlXZ

当且仅当r=l-r，即r=0.5时等号成立，此时侧面积最大；

(2)解：由(1)可得

SIH柱金面积=21/+2]/=2万/+4加'(1一r)=24[-(厂一1)2+1]，而Ovrcl,故不存在最大值;

(3)解：设圆柱底面半径为r(O<r<。)，高〃，由所以典=竺，所以

所以S全=2兀r?+2兀?•〃=2兀fl-—^jr2+/?r

当1-，＞0,即6＜。，二次函数/。）=2乃—开口向上，在（0M）内无最大值

b

当1=0,即b=a,一次函数/"）=2万初■在（0,a）内也无最大值

a

当1-2＜0,即3°,二次函数开口向下，若区间内存在最大值，则对称轴、e（o,a）

a2（b-a）

所以匕＞2a,综上当且仅当匕＞为（圆锥高大于底面半径）时，圆锥的内接圆柱的全面积存

在最大值；

14.（2021・上海•高二专题练习）已知等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）全面积为S,求内

接正四棱柱的全面积.

［卷案］2（l+2＞/^）,S

3万

【分析】先设等边圆柱底面圆半径为R,得到内接正四棱柱的底边长，以及高，根据圆柱的

表面积公式，求得a=9■，再由正四棱柱的表面积公式，即可求出结果.

67r

【详解】设等边圆柱底面圆半径为R,

则它