2024-2025学年高二数学上学期期中+期末高效复习课期中模拟试卷新高考题型基错2含解析选择性必修第二册

Page1期中模拟试卷（新高考版基础卷2）考试范围：人教A版2024选择性必修第一册（全册）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·河南省叶县高级中学高二阶段练习）已知，则下列向量中与平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C不正确；对于D，因为，所以D不正确．故选：B．2．（2024·全国·高二课时练习）已知两圆和没有公共点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．无法确定【答案】A【详解】由已知，得两圆的圆心分别为，，半径分别为1，5，故圆心距．因为两圆没有公共点（外离或内含），所以或，解得或或．故选：A.3．（2024·河南·高二阶段练习）如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，因为，所以，，.因为，所以.故选:B.4．（2024·全国·高三专题练习）数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，许多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得4表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，令可得，因为，所以，即方程的解是，故选：C.5．（2024·江苏·高二课时练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，所以，即，所以，所以当时，的最小值为.故选：A6．（2024·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴和短轴之和为36，椭圆上的点到一个焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为，由题意，，得，椭圆焦点在轴或轴上，椭圆的标准方程为或.故选：C7．（2024·山东济宁·高一期末）如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，，E为弧AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（

）A． B． C． D．2【答案】C【详解】设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则，连接，因为是弧AB的中点，所以，以为原点，分别以为轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，设异面直线AC和EF所成角为，所以，可得.故选：C.8．（2024·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，相互平分，∴四边形是矩形，其中，，设，则，依据勾股定理，，，整理得，由于点M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.故选：C．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2024·全国·高二单元测试）已知方程，则下列说法正确的是（

）A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切【答案】BCD【详解】整理为：，A选项，当时，此时半径为0，故A错误；B选项，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，B正确；C选项，当时，表示的圆的半径为，C正确；D选项，当时，表示的圆半径为2，又圆心坐标为，故与轴相切，D正确.故选：BCD10．（2024·江苏·海安县试验中学高二期中）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（

）A．直线BC1与直线所成的角为90°B．B1D⊥平面ACD1C．点B1到平面ACD1的距离为D．直线B1C与平面所成角的余弦值为【答案】BD【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：.A：，因为，所以，因此本选项不正确；B：，因为，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以本选项正确；C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以点B1到平面ACD1的距离为，因此本选项不正确；D：由上可知：，所以直线B1C与平面所成角的余弦值，因此本选项正确，故选：BD11．（2024·江苏·高二课时练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（

）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】BC【详解】解：由，得，令解得故直线l恒过点.圆心，半径，，则，即.故选：BC.12．（2024·全国·高二课时练习）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率是B．线段长度的取值范围是C．面积的最大值是D．的周长存在最大值【答案】AC【详解】由题意得半圆的方程为，设半椭圆的方程为，由题意知，∴，∴半椭圆的方程为．对于A，，A正确；对于B，由图可知，当时，；当时，，所以线段长度的取值范围是，B错误．对于C，，设，则，∴，设，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，C正确．对于D，的周长为，所以当时，的周长最大，但是不能取零，所以的周长没有最大值，D错误，故选：AC三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，其次空3分.）13．（2024·江苏·高二课时练习）已知点到直线的距离等于，则实数的值为___________.【答案】或【详解】点到直线的距离，解得：或.故答案为：或.14．（2024·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________.【答案】9【详解】由双曲线定义可知：，，由已知，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得:，所以故答案为：915．（2024·全国·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．【答案】【详解】由题意可知，在方向上投影的模为故答案为：.16．（2024·全国·高三专题练习（理））在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为________；设二面角D－AC－B的平面角为θ，当θ在内改变时，BD的取值范围为________．【答案】

【详解】如图1，分别过点，作，垂足分别为F，E，则在四面体中也满意．因为，，所以，，则，．在四面体ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均为直角三角形，设点O为AC的中点，如图2，连接OB，OD，则，即点O为四面体ABCD外接球的球心，则外接球的半径，所以外接球的体积．在四面体ABCD中，，因为二面角的平面角为θ，且，所以和的夹角为，所以因为，所以，则．故答案为：；四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．（2024·全国·高二课时练习）已知直线，直线过点，______．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．(1)求的方程；(2)若与在x轴上的截距相等，求在y轴上的截距．【答案】(1)x＋2y＋2＝0(2)6（1）选择①．由题意可设直线的方程为y－1＝k（x＋4），因为直线的斜率是直线的斜率的2倍，所以，所以直线的方程为，即x＋2y＋2＝0．选择②．由题意可设直线的方程为，因为直线过点A（－4．1），所以，解得m＝－1．所以直线的方程为，即x＋2y＋2＝0．（2）由（1）可知直线的方程为x＋2y＋2＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线在x轴上的截距为－2，所以直线在x轴上的截距为－2．故直线过点（－2，0），代入ax＋2y－12＝0，得a＝－6．所以直线的方程为3x－y＋6＝0．因此直线在y轴上的截距为6．18．（2024·全国·高二课时练习）已知圆及直线．(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．【答案】(1)证明见解析(2)，（1）将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m为何实数，直线与圆恒相交．（2）（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,从而此时，此时,直线方程为，即19．（2024·福建省诏安县桥东中学高二期末）如图，在直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．(1)设为中点，求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)（1）证明：取中点，连接、，则，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：因为直三棱柱中，所以、、两两垂直．分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，，设平面法向量为，则，，即，令，得到平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．20．（2024·江西·贵溪市试验中学高二期末）已知双曲线C：的焦距为4，且过点.(1)求双曲线方程；(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.【答案】(1)(2)，．（1）解：由题意可知双曲线的焦点为和，依据定义有．，又，所以，，．所求双曲线的方程为．（2）解：因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得．①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；②当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．综上所述：符合题意的的全部取值为，．21．（2024·河北邢台·高三开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点.(1)求证：平面.(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).（1）取中点为，连接,在中，∵为的中点，为中点，∴,在正方形中，∵为的中点，∴,∴，∴四边形为平行四边形，∴，平面，平面，∴平面；（2）在正三角形中，为的中点，∴，又∵，平面，平面，∴AM⊥平面，平面PCD，∴AM⊥DC，∵在正方形ABCD中，AD⊥DC，又平面，平面，∴DC⊥平面PAD，平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝2，则，，，，，，，，，设平面MDN的法向量为，，令，则，设平面PDC的法向量为，，令，则，∴，∴