2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(1−i)2的虚部为(

)A.−2 B.2 C.−2i D.2i2.已知向量a=(2m,1),b=(1,−3)，若a⊥bA.−23 B.23 C.33.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是45，且两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为(

)A.425 B.45 C.24254.已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P在α外，且满足AP+BP−3CP+zA.0 B.1 C.2 D.35.在△ABC中，点E为△ABC的重心，则EC=(

)A.13AB−23AC B.−6.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断错误的是(

)A.若m⊂α，n⊂α，m⋂n=A，m//β，n/​/β，则α/​/β

B.若m⊥α，n/​/α，则m⊥n

C.若m/​/α，n⊂α，则m/​/n

D.若α⊥β，α⋂β=m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β7.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=2，AD=A.26

B.25

C.8.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则红球的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.若z1，z2为共扼复数，则z1⋅z2为实数

B.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i

C.复数−2−i在复平面内对应的点在第三象限

D.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷的点数之和是4”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”D表示事件“至少出现一个奇数点”，则(

)A.A与C−互斥 B.P(D)=34 C.P(BD)=14 11.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则(

)A.ω=2

B.φ=π6

C.f(x)在[4π3,5π312.已知在等边△ABC中，AB=2，D为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交AB于点F，则(

)A.AE=12AB+14AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是______人.14.已知平面向量e1,e2不共线，且AB=2e1+ke2,CB=3e15.四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为______．

16.在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是[0,120]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．

(1)求频率分布直方图中x的值．

(2)利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表)18.(本小题12分)

一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字．

(1)求两次数字之和为7的事件的概率；

(2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率．19.(本小题12分)

如图所示，四面体O−ABC中，G，H分别是△ABC，ΔOBC的重心，设OA=a，OB=b，OC=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．

(1)试用向量a，b，c表示向量MN，OG；

(2)试用空间向量的方法证明M、N20.(本小题12分)

甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

21.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，AN=2NC．

(1)求证：AD⊥PB；

(2)求证：MN/​/平面PAD；

(3)求点N到平面PAD的距离．22.(本小题12分)

已知向量m=(cosx,sinx)，n=(sinx,3sinx)，函数f(x)=2m⋅n−3．

(1)求f(x)的最小正周期T答案解析1.A

【解析】解：因为复数(1−i)2=1−2i+i2=−2i．

所以复数的虚部为：−22.C

【解析】解：a=(2m,1),b=(1,−3)，a⊥b，

则2m−3=0，解得m=33.D

【解析】解：甲、乙两人中仅有一人通过面试的情况为：“甲通过乙不通过，甲不通过乙通过”，

设“甲、乙两人中仅有一人通过面试“的事件为A，

则P(A)=45×15×2=4.B

【解析】解：因为A，B，C，D四点在平面α内，点P在α外，

由空间向量的共面定理可知，存在实数x，y，m，使得PA=xPB+yPC+mPD且x+y+m=1，

因为AP+BP−3CP+zDP=05.B

【解析】解：如图，延长CE，交AB与点D，

因为点E为△ABC的重心，

所以D为AB的中点，

所以EC=−23CD=−23[12(CA+6.C

【解析】解：对于A，若m⊂α，n⊂α，m⋂n=A，m//β，n/​/β，则由面面平行的判定定理可得α/​/β，故A正确；

对于B，若m⊥α，n/​/α，则由线面垂直的性质定理可得m⊥n，故B正确；

对于C，若m/​/α，n⊂α，则m/​/n或m与n异面，故C错误；

对于D，若α⊥β，α⋂β=m，n⊂α，m⊥n，则由面面垂直的性质定理可得n⊥β，故D正确．

故选：C．

7.B

【解析】解：由AC1=AC+CC1，可得|AC1|2=AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC⋅CC1+8.A

【解析】解：由题意可知：袋中黑球的个数为25×10=4，

设红球个数为x，

从袋中任意摸出2个球，没有白球的概率为4+x10×3+x9=(4+x)(3+x)90，

因为至少得到1个白球的概率是79，则1−(4+x)(3+x)909.AC

【解析】解：设z1=a+bi(a,b∈R)，则z1=a−bi，故z1⋅z2=(a+bi)(a−bi)=a2+b2，故A正确；

因为i4n+3=i4n×i3=1×(−i)=−i，故B错误；

因为复数−2−i10.BCD

【解析】解：A选项，两次投掷的点数不同，仍有可能点数之和为4，

于是A与C−，可以同时发生，并不互斥，A选项错误；

两次都不出现奇数点的事件记为D，依题意P(D−)=(12)2=14，

于是P(D)=1−P(D)=34，B选项正确；

C选项，当第一次投出奇数点，第二次投出偶数点，那么事件B，D同时发生了，

故P(BD)=3×36×6=14，C选项正确；

D选项，第二次掷出的点数为偶数，有P(B)=12，11.ABD

【解析】解：由图可知T=2(11π12−5π12)=π，则ω=2ππ=2，故A正确；

因为f(5π12)=2cos(2×5π12+φ)+1=−1，

所以5π6+φ=2kπ+π(k∈Z)，即φ=2kπ+π6(k∈Z)，

因为0<φ<π，所以φ=π6，则B正确；

令2kπ−π≤2x+π6≤2kπ(k∈Z)，解得kπ−7π12≤x≤kπ−π12(k∈Z)，此时f(x)单调递增；

令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z)，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z)，此时f(x)单调递减．

由x∈[4π3,5π3]12.AB

【解析】解：如图，

对于A，因为E为BD的中点，所以AE=12AB+12AD=12AB+14AC，故A正确；

对于B，设AB=kAF，由A可得：AE=k2AF+14AC，

又E，F，C三点在一条直线上，故k2+14=1，故k=32，

即AF=23AB，13.1800

【解析】解：设该校高中学生总人数为x，则x45=60015，

解得x=1800，所以该校高中学生总数为1800人．

14.1

【解析】解：∵A，B，D三点共线，

∴AB与BD共线，设AB=λBD，

∵CB=3e1+2ke2，CD=e1+e2，

15.0.8784

【解析】解：该电路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一个正常工作，

所以该电路正常工作的概率为0.9×(1−0.2×0.3×0.4)=0.8784．

16.3【解析】解：设AB=a，AD=b，AA1=c，

则{a,b,c}构成空间的一个基底，

设AB=1，

因为BD⊥AN，

所以BD⋅AN=0，

因为BD=AD−17.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002)×20=1，

解得x=0.014；

(2)由频率分布直方图可得，平均数为：

0.002×20×10+0.004×20×30+0.014×20×50+0.02×20×70+0.008×20×90+0.002×20×110=63.6．

【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程，求解即可；

(2)利用频率分布直方图平均数的求解方法计算即可．

18.解：(1)由题意，2次所得数字(a,b)，且a，b分别表示第一次、第二次的对应数字，

基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，共16种；

其中两次数字之和为7的事件有(3,4)，(4,3)，共2种；

所以两次数字之和为7的事件的概率为18．

(2)由(1)，数字之和为X=2，3，4，5，6，7，8，

X=2有(1,1)，概率为116；

X=3有(1,2)，(2,1)，概率为18；

X=4有(1,3)，(3,1)，(2,2)，概率为316；

X=5有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，概率为14；

X=6有(2,4)，(4,2)，(3,3)，概率为316；

X=7有(3,4)，(4,3)，概率为18；

X=8有(4,4)，概率为116【解析】(1)列举法求两次数字之和为7的事件的概率；

(2)列举出数字之和为X=2，3，4，5，6，7，8的对应事件并确定概率，即可得答案．

19.解：(1)在△OBC中，M，N分别AB，OB的中点，

∴MN/​/OA，且|MN|=12|OA|，

又OA=a，∴MN=−12a，

在△ABC中，G是△ABC的中心，D是BC的中点，

由平行四边形法则可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，

∵OA=a，OB=b，OC=c，

∴AB=OB−OA=b−a，AC=OC−OA=c−a，

又OG=OA+AG=a+13(b−【解析】(1)根据题意可得MN/​/OA，且|MN|=12|OA|，在△ABC中，G是△ABC的中心，D是BC的中点，由平行四边形法则可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，又OG20.解：(1)因为甲每轮猜对的概率为23，

所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P=1−(1−23)2=89；

(2)“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率关系求解；

(2)利用独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式求解．

21.解：(1)证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD，且侧面PAB∩底面ABCD=AB，

AD⊥AB，AD⊂面ABCD，

所以AD⊥面PAB，

因为PB⊂面PAB，

所以AD⊥PB．

(2)证明：过M作MS//BA交PA于点S，过点N作NT//CD交AD于点T，连接ST，

因为PM=2MB，

所以MS=23BA，

同理可得NT=23CD=23BA，

所以MS//NT，MS=NT，

所以四边形MNTS是平行四边形，

所以MN/​/ST，

又ST⊂面PAD，MN⊄面P