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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一(下)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数(1−i)2的虚部为(
)A.−2 B.2 C.−2i D.2i2.已知向量a=(2m,1),b=(1,−3),若a⊥bA.−23 B.23 C.33.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是45,且两人的面试结果相互之间没有影响,则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为(
)A.425 B.45 C.24254.已知A,B,C,D四点在平面α内,且任意三点都不共线,点P在α外,且满足AP+BP−3CP+zA.0 B.1 C.2 D.35.在△ABC中,点E为△ABC的重心,则EC=(
)A.13AB−23AC B.−6.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列判断错误的是(
)A.若m⊂α,n⊂α,m⋂n=A,m//β,n//β,则α//β
B.若m⊥α,n//α,则m⊥n
C.若m//α,n⊂α,则m//n
D.若α⊥β,α⋂β=m,n⊂α,m⊥n,则n⊥β7.如图,平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=2,AD=A.26
B.25
C.8.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球,已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是25;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79,则红球的个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(
)A.若z1,z2为共扼复数,则z1⋅z2为实数
B.若i为虚数单位,n为正整数,则i4n+3=i
C.复数−2−i在复平面内对应的点在第三象限
D.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子,A表示事件“两次掷的点数之和是4”,B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”,C表示事件“两次掷出的点数相同”D表示事件“至少出现一个奇数点”,则(
)A.A与C−互斥 B.P(D)=34 C.P(BD)=14 11.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则(
)A.ω=2
B.φ=π6
C.f(x)在[4π3,5π312.已知在等边△ABC中,AB=2,D为AC的中点,E为BD的中点,延长CE交AB于点F,则(
)A.AE=12AB+14AC 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本,其中高二年级有学生600人,抽取了15人.则该校高中学生总数是______人.14.已知平面向量e1,e2不共线,且AB=2e1+ke2,CB=3e15.四种电子元件组成的电路如图所示,T1,T2,T3,T4电子元件正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7,0.6,则该电路正常工作的概率为______.
16.在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,四、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)
目前用外卖网点餐的人越来越多,现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查,并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是[0,120],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120].
(1)求频率分布直方图中x的值.
(2)利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表)18.(本小题12分)
一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4,将该正四面体连续抛掷2次,记录每一次底面的数字.
(1)求两次数字之和为7的事件的概率;
(2)两次数字之和为多少的事件概率最大?并求此事件的概率.19.(本小题12分)
如图所示,四面体O−ABC中,G,H分别是△ABC,ΔOBC的重心,设OA=a,OB=b,OC=c,点D,M,N分别为BC,AB,OB的中点.
(1)试用向量a,b,c表示向量MN,OG;
(2)试用空间向量的方法证明M、N20.(本小题12分)
甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛,每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率;
21.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB是边长为1的等边三角形,底面ABCD是正方形,M是侧棱PB上的点,N是底面对角线AC上的点,且PM=2MB,AN=2NC.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求证:MN//平面PAD;
(3)求点N到平面PAD的距离.22.(本小题12分)
已知向量m=(cosx,sinx),n=(sinx,3sinx),函数f(x)=2m⋅n−3.
(1)求f(x)的最小正周期T答案解析1.A
【解析】解:因为复数(1−i)2=1−2i+i2=−2i.
所以复数的虚部为:−22.C
【解析】解:a=(2m,1),b=(1,−3),a⊥b,
则2m−3=0,解得m=33.D
【解析】解:甲、乙两人中仅有一人通过面试的情况为:“甲通过乙不通过,甲不通过乙通过”,
设“甲、乙两人中仅有一人通过面试“的事件为A,
则P(A)=45×15×2=4.B
【解析】解:因为A,B,C,D四点在平面α内,点P在α外,
由空间向量的共面定理可知,存在实数x,y,m,使得PA=xPB+yPC+mPD且x+y+m=1,
因为AP+BP−3CP+zDP=05.B
【解析】解:如图,延长CE,交AB与点D,
因为点E为△ABC的重心,
所以D为AB的中点,
所以EC=−23CD=−23[12(CA+6.C
【解析】解:对于A,若m⊂α,n⊂α,m⋂n=A,m//β,n//β,则由面面平行的判定定理可得α//β,故A正确;
对于B,若m⊥α,n//α,则由线面垂直的性质定理可得m⊥n,故B正确;
对于C,若m//α,n⊂α,则m//n或m与n异面,故C错误;
对于D,若α⊥β,α⋂β=m,n⊂α,m⊥n,则由面面垂直的性质定理可得n⊥β,故D正确.
故选:C.
7.B
【解析】解:由AC1=AC+CC1,可得|AC1|2=AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC⋅CC1+8.A
【解析】解:由题意可知:袋中黑球的个数为25×10=4,
设红球个数为x,
从袋中任意摸出2个球,没有白球的概率为4+x10×3+x9=(4+x)(3+x)90,
因为至少得到1个白球的概率是79,则1−(4+x)(3+x)909.AC
【解析】解:设z1=a+bi(a,b∈R),则z1=a−bi,故z1⋅z2=(a+bi)(a−bi)=a2+b2,故A正确;
因为i4n+3=i4n×i3=1×(−i)=−i,故B错误;
因为复数−2−i10.BCD
【解析】解:A选项,两次投掷的点数不同,仍有可能点数之和为4,
于是A与C−,可以同时发生,并不互斥,A选项错误;
两次都不出现奇数点的事件记为D,依题意P(D−)=(12)2=14,
于是P(D)=1−P(D)=34,B选项正确;
C选项,当第一次投出奇数点,第二次投出偶数点,那么事件B,D同时发生了,
故P(BD)=3×36×6=14,C选项正确;
D选项,第二次掷出的点数为偶数,有P(B)=12,11.ABD
【解析】解:由图可知T=2(11π12−5π12)=π,则ω=2ππ=2,故A正确;
因为f(5π12)=2cos(2×5π12+φ)+1=−1,
所以5π6+φ=2kπ+π(k∈Z),即φ=2kπ+π6(k∈Z),
因为0<φ<π,所以φ=π6,则B正确;
令2kπ−π≤2x+π6≤2kπ(k∈Z),解得kπ−7π12≤x≤kπ−π12(k∈Z),此时f(x)单调递增;
令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),此时f(x)单调递减.
由x∈[4π3,5π3]12.AB
【解析】解:如图,
对于A,因为E为BD的中点,所以AE=12AB+12AD=12AB+14AC,故A正确;
对于B,设AB=kAF,由A可得:AE=k2AF+14AC,
又E,F,C三点在一条直线上,故k2+14=1,故k=32,
即AF=23AB,13.1800
【解析】解:设该校高中学生总人数为x,则x45=60015,
解得x=1800,所以该校高中学生总数为1800人.
14.1
【解析】解:∵A,B,D三点共线,
∴AB与BD共线,设AB=λBD,
∵CB=3e1+2ke2,CD=e1+e2,
15.0.8784
【解析】解:该电路正常工作即T1正常工作,T2,T3,T4至少一个正常工作,
所以该电路正常工作的概率为0.9×(1−0.2×0.3×0.4)=0.8784.
16.3【解析】解:设AB=a,AD=b,AA1=c,
则{a,b,c}构成空间的一个基底,
设AB=1,
因为BD⊥AN,
所以BD⋅AN=0,
因为BD=AD−17.解:(1)由频率分布直方图可得,(0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002)×20=1,
解得x=0.014;
(2)由频率分布直方图可得,平均数为:
0.002×20×10+0.004×20×30+0.014×20×50+0.02×20×70+0.008×20×90+0.002×20×110=63.6.
【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程,求解即可;
(2)利用频率分布直方图平均数的求解方法计算即可.
18.解:(1)由题意,2次所得数字(a,b),且a,b分别表示第一次、第二次的对应数字,
基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),共16种;
其中两次数字之和为7的事件有(3,4),(4,3),共2种;
所以两次数字之和为7的事件的概率为18.
(2)由(1),数字之和为X=2,3,4,5,6,7,8,
X=2有(1,1),概率为116;
X=3有(1,2),(2,1),概率为18;
X=4有(1,3),(3,1),(2,2),概率为316;
X=5有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),概率为14;
X=6有(2,4),(4,2),(3,3),概率为316;
X=7有(3,4),(4,3),概率为18;
X=8有(4,4),概率为116【解析】(1)列举法求两次数字之和为7的事件的概率;
(2)列举出数字之和为X=2,3,4,5,6,7,8的对应事件并确定概率,即可得答案.
19.解:(1)在△OBC中,M,N分别AB,OB的中点,
∴MN//OA,且|MN|=12|OA|,
又OA=a,∴MN=−12a,
在△ABC中,G是△ABC的中心,D是BC的中点,
由平行四边形法则可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),
∵OA=a,OB=b,OC=c,
∴AB=OB−OA=b−a,AC=OC−OA=c−a,
又OG=OA+AG=a+13(b−【解析】(1)根据题意可得MN//OA,且|MN|=12|OA|,在△ABC中,G是△ABC的中心,D是BC的中点,由平行四边形法则可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC),又OG20.解:(1)因为甲每轮猜对的概率为23,
所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P=1−(1−23)2=89;
(2)“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词,包括两轮比赛中甲猜对2个,乙猜对一个,和甲猜对1【解析】(1)利用独立事件的概率乘法公式,结合对立事件的概率关系求解;
(2)利用独立事件的概率乘法公式,结合互斥事件的概率加法公式求解.
21.解:(1)证明:因为侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB∩底面ABCD=AB,
AD⊥AB,AD⊂面ABCD,
所以AD⊥面PAB,
因为PB⊂面PAB,
所以AD⊥PB.
(2)证明:过M作MS//BA交PA于点S,过点N作NT//CD交AD于点T,连接ST,
因为PM=2MB,
所以MS=23BA,
同理可得NT=23CD=23BA,
所以MS//NT,MS=NT,
所以四边形MNTS是平行四边形,
所以MN//ST,
又ST⊂面PAD,MN⊄面P
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