《数字信号处理》课件1第8章

第8章多抽样率数字信号处理8.1抽样率变换的基本理论

8.2多抽样率系统的网络结构与实现

8.3用于多抽样率系统的一类特殊滤波器

习题

8.1抽样率变换的基本理论

8.1.1整数倍抽取

设

，如果希望将抽样频率fs减少到

，那么，一个最简单的方法是将x(n)中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列x'(n)，即

x'(n)=x(Mn)，n=－∞～+∞

(8.1.1)

为了便于讨论x'(n)和x(n)的时域和频域的关系，现定义一个中间序列x1(n)：

或

式中，p(n)是一脉冲串序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零。式(8.1.1)和式(8.1.2)的含义如图8.1.1所示，图中M=3。(8.1.2b)(8.1.2a)图8.1.1信号抽取示意图(M=3，横坐标为抽样点数)(a)原信号x(n)；(b)p(n)；(c)抽取后的信号x'(n)下面推导x'(n)和x(n)的频域关系，显然

而(8.1.3b)(8.1.3a)所以

式中，X'(ejω)、X(ejω)分别是序列x'(n)和x(n)的傅里叶变换。这样，X'(ejω)是原信号频谱X(ejω)先作M倍的扩展再在ω轴上每隔2π/M的移位叠加，如图8.1.2(b)和(c)所示，图中M=2。(8.1.4)图8.1.2抽取后对频域的影响由抽样定理可知，在第一次对x(t)抽样时，若保证fs≥2fc，那么抽样的结果不会发生混叠，如图8.1.2(a)和(b)所示。对x(n)作M倍抽取(图中用

表示)后得到x'(n)，若保证能由x'(n)重建x(t)，那么，X'(ejω)的一个周期 也应等于X(jΩ)，这要求抽样频率fs必须满足fs≥2Mfc。如果不能满足，那么X'(ejω)将发生混叠，如图8.1.2(c)所示。因为M是可变的，所以很难要求在不同的M下都保证fs≥2Mfc。为此，我们可在抽取之前先对x(n)作低通滤波，压缩其频带，然后再抽取，如图(d)所示。令h(n)为一理想低通滤波器，即

如图8.1.2(e)所示。令滤波后的输出为v(n)，则

再令对v(n)抽取后的序列为y(n)，则

式中，p(n)由式(8.1.2b)给出。(8.1.6)(8.1.5)(8.1.4)为了看出y(n)与x(n)频谱之间的关系，我们先从y(n)的Z变换入手，根据式(8.1.4)，令z=ejω，则可以得到

又因为

V(ejω)=H(ejω)X(ejω)

并令

WM=e－j2π/M

所以(8.1.7)令相对Y(ejω)的归一化数字频率为ωy，相对X(ejω)的归一化数字频率为ωx(ωx=ω)，则

这样，我们可由式(8.1.7)及式(8.1.8)式得到Y(ejω)和X(ejω)的关系，即(8.1.9)(8.1.8)式中，若|ωy|≤π，则|ωx|≤π/M，这也正是式(8.1.4)所给出的关系。但在上式中，由于H(ejω)的存在，其频谱被限制在|ωx|≤π/M内，所以，可仅考虑ωy的一个周期，故上式可简化为

以ω为轴的V(ejω)如图8.1.2(f)所示。若以ωy为轴，那么图8.1.2(f)的频率轴应扩展M倍，如图8.1.2(g)所示。(8.1.10)8.1.2整数倍插值

如果将x(n)的抽样频率fs增加L倍，得v(n)，v(n)即是对x(n)的插值，用符号 表示。插值的方法很多，一个最简单的方法是在x(n)每相邻两个点之间补L－1个0，然后再对该信号作低通滤波处理。即令

如图8.1.3所示。(8.1.11)图8.1.3信号的插值设序列x(n)、v(n)的傅里叶变换分别为

、 ，由于

所以

即(8.1.12)(8.1.13)若令 ，则

V(z)=X(zL)

因为ωx的周期为2π，所以ωy的周期为 。上式说明， 在 内等于X(ejω)，这相当于将X(ejω)作了周期压缩，如图8.1.4所示，图中L=2。图8.1.4插值后对频域的影响可以看出，插值以后，在原ωx的一个周期内， 变成了L个周期，多余的L－1个周期称为 的镜像。当|ωy|≤π/L时， 单一地等于 。为此，我们在插值后仍需使用低通滤波器以截取 的一个周期，也即去掉多余的镜像。为此，令

式中，C为常数，是定标因子。令v(n)通过h(n)后的输出为y(n)(如图8.1.5所示)，则(8.1.14)

因为

所以应取C=L，以保证y(0)=x(0)。(8.1.15)

在图8.1.3中，信号的插值虽然是靠插入L－1个0来实现的，但将v(n)通过低通滤波后，这些零值点将不再是0，从而得到插值后的输出y(n)。图8.1.5插值后的滤波8.1.3有理数倍抽样率变换

对给定的信号x(n)，若希望将抽样率转变到L/M倍，可以按8.1.1与8.1.2节讨论的方法，先将x(n)作M倍的抽取，再作L倍的插值来实现，或是先作L倍的插值，再作M倍的抽取。一般来说，抽取使x(n)的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图8.1.6所示。图中插值和抽取工作在级联状态。图(a)中滤波器h1(n)、h2(n)所处理的信号的抽样率都是Lfs，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图8.1.6(b)所示。令

式中

现分析一下图8.1.6(b)中各部分信号之间的关系。(8.1.17)(8.1.16)图8.1.6插值和抽取的级联实现式(8.1.11)已给出了x(n)和v(n)之间的关系，又由于

再由式(8.1.6)给出的抽取器的基本关系，最后得到y(n)和x(n)之间的关系，即(8.1.19)(8.1.18)令

式中，表示求小于或等于p的最大整数。这样，式(8.1.19)可以写成

由于(8.1.20)(8.1.21)最后得到y(n)和x(n)之间关系的表达式，即有

现在，我们来分析y(n)和x(n)之间的频域关系。综合8.1.1和8.1.2节抽取和插值的基本关系，并参照式(8.1.7)和式(8.1.13)，有(8.1.22)(8.1.23)及

式中

再由式(8.1.10)及式(8.1.15)，有(8.1.25)(8.1.24)由式(8.1.22)可以看出，y(n)可以看做是将x(n)通过一个时变滤波器所得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为g(n，m)，即

g(n，m)=h(nL+〈Mm〉L)，－∞<n，m<+∞

(8.1.26)

因为

g(n，m+kL)=h(nL+〈Mm+kML〉L)=h(nL+〈Mm〉L)

所以g(n，m)是以变量m为周期的，周期为L。

8.2多抽样率系统的网络结构与实现

8.2.1多抽样率系统的等效变换

在引言中已经提到，多抽样率系统一个重要的优点就是可以提高系统的计算效率，减少工作量。在本节中，将讨论其高效实现的原理与方法。

在实际工作中，往往希望抽样率转换系统中所消耗的代价最小，即计算工作量最小。可以直观地想到，只要把乘法运算安排在低抽样率的一端，后续就可操作较少的数据，这样就可以使计算效率提高。因此，把乘法运算安排在最低抽样率一侧的网络结构称为高效网络结构。例如，整数倍抽取系统，如图8.2.1，输入信号x(n)经过与抗混叠滤波器h(n)卷积后，得到的信号序列又经M倍抽取。这样一来，先前计算卷积的一些样值在抽取操作后被舍弃了，也就是说，先前的卷积计算有一部分做了无用功，输出信号中并没有保留那些样点。于是自然地想到，可不可以先将信号进行抽取，即先舍去那些不需要的样值点，再与h(n)卷积，这样会大大减少计算量，实现系统的高效性。要实现这种高效结构，就需要对原系统进行等效变换，即既能提高计算效率又能保证系统的效果不变。下面先讨论一些简单系统的等效变换问题，作为进一步讨论的基础。

简单的网络恒等变换主要有下述几种，其等效过程的证明都十分简单，本书不再进行详细的推导。

(1)抽取/内插与乘常数可以变换，如图8.2.2及8.2.3所示。符号表示“等效于”。图8.2.1带有抗混叠滤波器的抽取器框图图8.2.3零值内插与乘常数变换图8.2.2抽取与乘常数的变换

(2)两个信号先分别抽取(内插)然后相加，与先相加然后抽取(内插)，二者是等效的。如图8.2.4所示。

抽样率相同的两个信号先分别抽取(抽取因子相同)，然后相加，等效于先相加然后抽取，如图8.2.4(a)所示。

抽样率相同的两个信号先分别零值内插(内插因子相同)，然后相加，等效于先相加然后零值内插，如图8.2.4(b)所示。图8.2.4抽取、内插与加法的变换上面给出了一些简单的基本网络等效变换，接下来讨论本节开始所提出的问题，即抽取和内插与滤波器级联的等效变换。

首先来看M倍抽取与H(z)级联的等效变换，如图8.2.5所示。图8.2.5转移函数与抽取级联的等效关系下面对图8.2.5中的等效关系进行证明。由式(8.1.7)推导结果，图中左侧系统的输入输出关系为

其中

U(z)=X(z)H(zM)

所以(8.2.2)(8.2.1)而在图中右侧系统的输入输出关系表示为

所以

比较式(8.2.2)和式(8.2.4)可知，图8.2.5中的两个系统是等效的。(8.2.3)(8.2.4)与图8.2.5类似，可以推出H(z)与L倍零值内插级联的等效变换，如图8.2.6所示。图8.2.6先用H(z)滤波后内插与先内插后用H(zL)滤波是等效的8.2.2多抽样率系统的多相结构

多相表示是多抽样率信号处理中的一种基本方法。使用它可以在实现整数倍抽取和内插时提高计算效率。多相表示也称为多相分解，它是指将数字滤波器的转移函数H(z)分解成若干个不同相位的组。

在FIR滤波器中，有

式中，N为滤波器长度。如果将冲激响应h(n)按下列的排列分成M个组，并设N为M的整数倍，即 ，Q为整数，则(8.2.5)(8.2.6)令

则

Ek(zM)称为H(z)的多相分量。式(8.2.8)称为H(z)的多相表示。(8.2.7)(8.2.8)从式(8.2.6)可以看出，把冲激响应h(n)分成了M个组，其中第k+1个组是h(nM+k)，k=0，1，…，M－1，即滤波器H(z)被分解为M个滤波器：第一个滤波器的系数是h(n)中序号为M整数倍的样点，第二个滤波器的系数是h(n)中序号为M整数倍加1的样点，依此类推。从式(8.2.8)也可以看出，z－kEk(zM)是H(z)中的第k+1个组，k=0，1，…，M－1。如果将式(8.2.8)中的z换成ejω，则

式中，e－jωk表示不同的k具有不同的相位，所以称为多相表示。式(8.2.8)或式(8.2.9)称为类型Ⅰ多相分解。式(8.2.8)的网络结构如图8.2.7所示。(8.2.9)图8.2.7多相分解的第一种形式(类型Ⅰ)如果把式(8.2.6)中的多相分量重新定义，令

则式(8.2.6)变为

式(8.2.11)称为类型Ⅱ多相表示，其网络结构如图8.2.8所示。第二种多相形式相当于用M－1－k代替类型Ⅰ中的k得到。(8.2.11)(8.2.10)图8.2.8多相分解的第二种形式(类型Ⅱ)结合上一节中等效变换的相关知识，可以把第一种多相结构用于抽取的高效实现。设图8.2.9(a)所示为一个带有抗混叠滤波器的抽取系统，它的卷积运算是在高抽样率的一侧进行的。如果将H(z)进行多相分解，则此系统变成图8.2.9(b)所示，此时卷积运算仍在高抽样率的一端。再利用等效变换将Ek(zM)与变换位置，则有如图8.2.9(c)所示的形式。这时卷积运算已经变到低抽样率的一侧进行，可以大大降低计算的工作量。图8.2.9多相分解用于抽取系统类似地，多相分解也适用于带有去镜像滤波的内插系统。内插系统如图8.2.10(a)所示。可以看出，卷积运算是在高抽样率一侧进行的，这不是高效结构。如果将H(z)进行第二种类型多相分解，并利用式(8.2.11)，则有

及(8.2.12)(8.2.13)式中，Q=N/L。于是H(z)的实现可如图8.2.10(b)所示。再利用内插与Rm(zL)等效变换，则得到图8.2.10(c)所示的网络，这时卷积运算已移到低抽样率的一端，从而大大减少了计算工作量。图8.2.10多相分解用于内插系统8.2.3抽样率转换的多级实现

在上面的讨论中，抽取和内插都是由一个抽取器或内插器来完成的，当抽样率转换器的转换因子(抽取器的抽取因子M或内插器的内插因子L)较大时，直接完成抽样率转换所需的计算量和存储空间，就要比经过两次或两次以上转换大得多。

把一次抽取(或内插)完成所需要的抽样率转换称为抽样率转换的单级抽取(或内插)，把两次或两次以上的抽取(或内插)称为多级抽取(或内插)。下面就以多级抽取为例进行介绍。首先假设输入信号x(n)的抽样频率fs为3072kHz，经过抽取因子M=64的抽取器后，输出y(n)的抽样频率为48kHz，抗混叠滤波器的通带允许的最大衰减为αp=0.01dB，阻带应该达到的最小衰减为αs=60dB，通带边缘频率fp为20kHz，阻带边缘频率fa为24kHz，单级实现的框图如图8.2.11所示。图8.2.11

M=64的单级实现框图如果采用Kaiser窗函数设计FIR滤波器来实现以上单级方式，滤波器的阶数可用下式估计：

其中αs为阻带衰减(dB)，并有按照上式计算的滤波器阶数为N≈2785，实现此滤波器所需要的每秒钟的乘法次数(MPS)为

如果采取三级抽取来实现M=64的转换，第一级抽取因子为8，第二级抽取因子为4，第三级抽取因子为2，具体实现过程如图8.2.12所示。图8.2.12三级实现M=64抽取框图接下来分别分析三级实现时各个滤波器的阶数以及每秒钟的乘法次数，先来看第一级滤波器h1(n)。因为第一级抽取因子为8，抽取后的抽样频率为384kHz。如果h1(n)的阻带频率小于192kHz，那么第一级输出频谱将不会产生混叠，考虑到还存在以后两级抽取，可以将h1(n)的指标放宽，这里取第一级的阻带截止频率为160kHz。实际上信号频谱范围为0～24kHz(其中20～24kHz为过渡带)，因此可得到h1(n)的

过渡带为160－20=140kHz。对于h1(n)的阻带衰减仍然是60dB，这样可以求得利用Kaiser窗设计时的滤波器阶数大致为每秒钟需要的乘法次数为

第二级抽取后的抽样频率为96kHz，如果取阻带截止频率为50kHz，仍然按照上述要求，可以求得Kaiser窗设计时的滤波器阶数大致为

每秒钟需要的乘法次数为第三级抽取后的抽样频率为48kHz，过渡带为20～24kHz，阻带衰减指标不变，可以求得Kaiser窗设计时滤波器阶数大致为

每秒钟需要的乘法次数为从这个例子可以看出，多级实现与单级实现相比，运算量大大减少。第一级虽然抽样率较高，但滤波器的过渡带可以大大加宽，因此滤波器阶数就显著减少了。最后一级虽然过渡带很窄，但抽样频率也降低了，因此滤波器的阶数也较低。

当然，多级抽取计算效率的提高是以系统设计复杂度的增加为代价的。多级实现的主要优点是：

(1)大大减少了计算量。

(2)减少了系统内的存储量。

(3)简化了滤波器的设计。

(4)降低了实现滤波器时的有限字长的影响，即降低了舍入噪声和系数灵敏度。

但是，这类结构会增加控制的复杂程度，还会增加合理选择抽取(内插)因子及最佳因子组合的困难程度。8.3用于多抽样率系统的一类特殊滤波器8.3.1半带滤波器

半带滤波器在多速率信号处理中有着重要的位置，因为这种滤波器特别适合于实现M=2的抽取或内插，而且计算效率高，实时性强。所谓半带滤波器是指其频率响应H(ejω)满足以下关系的FIR滤波器：

ωs=π－ωp

δs=δp=δ

(8.3.1)其中ωs、ωp分别表示滤波器的阻带截止频率和通带截止频率，δs、δp表示阻带和通带衰减。由式(8.3.1)可以看出，半带滤波器的阻带宽度π－ωΣ与通带宽度ωs是相等的，且通带波纹也相等，如图8.3.1所示。图8.3.1半带滤波器半带滤波器具有如下性质：

也就是说，半带滤波器的冲激响应h(n)在偶数点除了零点不为0外其余全为0，所以，采用半带滤波器来实现抽样率变换时，只需要一半的计算量，有较高的计算效率，特别适合于进行实时处理。下面我们讨论半带滤波器能否作为M=2的抽取滤波器。(8.3.4)(8.3.3)(8.3.2)根据前面抽取的讨论，进行2倍抽取时的理想抽取滤波器应满足：

如图8.3.2(a)所示。而现在的半带滤波器(见图8.3.2(b))在π/2～ωs区间仍不为零(过渡带)，是不满足无混叠抽取条件的，这就势必产生混叠，如图8.3.2(c)所示。由图可见，经2倍抽取后的信号在2ωp～π区间(对应于抽取前的信号频率为ωp～π/2)是混叠的，位于这一频段的信号经2倍抽取后是无法恢复的。(8.3.5)但是我们注意到只要半带滤波器满足图8.3.2(b)之特性，抽取后在其通带即0～2ωp仍无混叠，或者说采用半带滤波器进行2倍抽取后，位于通带内的信号仍然是可以恢复的(不会破坏通带内信号的频谱结构)。所以就其通带信号而言，完全可以采用半带滤波器进行2倍抽取，我们只要根据抽取前后的抽样速率和信号带宽对ωs、ωp进行仔细设计就行了。对于阻带特性，可通过后续数字滤波器的设计来进一步满足滤波特性，此时该滤波器工作在低抽样率一侧。图8.3.2半带滤波器用作2倍抽取滤波器时的混叠情况8.3.2积分梳状滤波器

在整个抽取系统中如果抽取因子M不恰好是2K幂但包含多个2倍抽取级联(例如M=120=15×23)，我们常常在抽取系统的第一级(或内插系统最末级)采用一种运算量极为简单的积分梳状滤波器，其余各级则仍使用半带滤波器。下面我们介绍积分梳状滤波器的原理及特性。

积分梳状滤波器的冲激响应可设定为(8.3.6)式中，M为滤波器长度(或阶数)。其Z变换为

式中，(8.3.8)(8.3.7)由式(8.3.7)和式(8.3.8)可见，积分梳状滤波器由两部分组成，积分器H1(z)和梳状滤波器H2(z)，这就是为什么称该滤波器为积分梳状滤波器的原因。H1(z)为积分器是容易理解的，而H2(z)之所以称为梳状滤波器，是因为它幅频特性的形状像一把梳子。其幅频特性如图8.3.3所示。图8.3.3梳状滤波器的幅频特性将Z变换中的z变量用ejω代替，得到该滤波器的频率响应为

从式(8.3.9)可知，它是一个线性相位FIR滤波器，其幅频特性为(8.3.10)(8.3.9)这种滤波器与输入信号进行卷积时只有加法没有乘法，从而大大减少了运算量。积分梳状滤波器在ω=0时，其幅频特性的幅度为M，即

H(ej0)=M

(8.3.11)

积分梳状滤波器的幅频特性如图8.3.4所示图8.3.4积分梳状滤波器的幅频特性从 到 区间的幅频特性称为幅频特性的第一旁瓣，而 区间的幅频特性称为主瓣。在主瓣中，与第一旁瓣峰值h1相等高度所对应的频率称为阻带下限边缘频率ωs，ωs处阻带的衰减αs为阻带中的最小衰减，有(8.3.12)

由于h1对应的频率ω1约为 ，所以

当M>>1时，则 ，这时(8.3.13)由此可见，积分梳状滤波器的阻带最小衰减是比较小的，不能满足较高的要求，为了加大阻带衰减，可用两

个或多个上述滤波器的级联。这样则有

式中，Q=1，2或3等，视需要而定。(8.3.14)

习题

8.1根据抽取的定义，写出对每一个给定输入x(n)的输出y(n)，如题8.1图所示。

(1)x(n)=δ(n)

(2)x(n)=δ(n－1)

(3)x(n)=(－1)nu(n)(4)x(n)=ej0.1πnu(n)

(5)x(n)=2cos(0.2πn)(6)x(n)=2cos(0.5πn)

(7)x(n)=2cos(πn)(8)x(n)=2sin(πn)题8.1图

8.2根据内插的定义，写出对每一个给定的输入x(n)的输出y(n)，如题8.2图所示。(用Z变换表示)

(1)x(n)=δ(n)(2)x(n)=u(n)

(3)x(n)=ej0.1πnu(n)(4)x(n)=cos(0.1πn)题8.2图

8.3对如下抽取系统M=3，抗混叠滤波器的系数为

h(0)=－0.06=h(4)

h(1)=0.30=h(3)

h(2)=0.62

输入信号x(n)={6，－2，－3，8，6，4，－2}，计算滤波器的输出w(n)和抽取后的输出y(n)，如题8.3图所示。题8.3图

8.4对题8.4(a)图所示的系统，已知信号x(n)的频谱X(ejω)如题8.4(b)图所示，其中，B为信号的带宽参数，画出下列情况下的Y(ejω)图形：题8.4图

8.5考虑信号x(n)=anu(n)，|a|<1。

(1)确定X(ejω)。

(2)将抽取器应用于x(n)，按因子2降低速率，确定输出谱。

(3)说明(2)中的谱就是x(2n)的傅里叶变换。

8.6序列x(n)是通过以周期T对一个模拟信号采样得到的。由这一序列，利用方程所描述的内插方程产生一个新的采样周期为T/2的信号。

(1)说明利用基本的信号处理单元可以实现该线性内插方程。

(2)当x(n)的谱为如下X(ejω)时，确定y(n)的谱，并作图表示：

(3)当x(n)的谱为如下X