《统计学原理与实务》课件第四章 静态分析指标

2013年国民经济和社会发展统计公报国家统计局公布，2013年全年城镇居民人均总收入29547元。其中，城镇居民人均可支配收入26955元，扣除价格因素实际增长7.0%，全年农村居民人均纯收入8896元，扣除价格因素实际增长9.3%。导入案例分析以上统计公报用了很多指标，把我国2013年国民经济和社会发展的情况展示了出来，这些指标中有静态分析指标，有动态分析指标，哪些是静态分析指标，哪些是动态分析指标？在静态分析指标中，如何区分总量指标、相对指标和平均指标？这些指标又能如何应用？通过本章的学习就能够找到答案。目录1第一节总量指标2第二节相对指标3第三节平均指标4第四节标志变异指标第一节总量指标1一一、总量指标的概念与作用（一）总量指标的概念总量指标是反映社会经济现象在一定时间、空间条件下的总规模、总水平的综合统计指标。总量指标的表现形式为绝对数，故又称为“统计绝对数”。例如，我国的人口数、土地面积、粮食产量、国内生产总值等都反映现象的总量，因此，都是总量指标。总量指标还可以表现为社会经济现象在一定时空条件下总量增减变化的绝对数。也就是说，同性质的总量指标之差仍然是总量指标。例如，2011年年末全国总人口数为136072万人，比上年末增加了668万人。总量指标一（二）总量指标的作用总量指标是最基本、最重要的统计综合指标，是对统计调查得来的原始资料进行分组和汇总后得到的各项总计数字，是统计整理阶段的直接结果。在社会经济统计中，总量指标的应用十分广泛，其主要作用如下：1．总量指标是认识社会现象总体的起点2．总量指标能够反映社会经济的发展规模、国情国力和生产建设成果3．总量指标是计算相对指标和平均指标的基础总量指标一二、总量指标的分类（一）按数据反映总体的内容分类总体单位总数是指总体所包括的总体单位的数量总和（thesumtotalofquantity），即总体所包含的数据的个数的总和，又称总体容量，用N表示，如果是分组资料，而各组的频数用表示的话，那么，总体容量就表示为。1．总体单位总数2．总体数据总量总体数据总量是指所有总体所包含的具体数据的总和，由总体所有数据汇总求和所得的结果，用以反映总体在某一方面的数量特征在一定的时间、地点条件达到的总水平。与数学相对应，变量如用字母X表示，那么，未分组资料的总体数据总值可以表示为，分组资料表示为。总量指标一（二）按数据反映总体的时间特征分类时期总量（periodsummation）是总体某一方面的特征在一段时期内的数量表现，又称时期数，反映现象在一段时期内的总量，如产品产量、生产总值、商品零售额等。时期数通常可以累计，从而得到更长时期内的总量。时期总量有以下三个特点：（1）具有可加性，时间上相邻的时期总量相加能够得到另一更长时期的总量指标。（2）时期总量数值的大小与所属时期的长短直接相关。一般来讲，时期越长，时期总量数值就越大。（3）必须连续登记而得，时期总量数填的大小取决于整个时期内所有时间上的发展状况，只有连续登记得到的时期总量才会准确。1．时期总量总量指标一时点总量又称为时点数或瞬时值（instantaneousvalue），它反映的是现象在某一时点上的总量，如年末人口数、库存量等。时点数通常不能累计，因为累计后没有实际意义。时点总量具有以下三个特点：（1）不具有可加性，不同时点上的两个时点指标数值相加不具有实际意义；（2）数值大小与登记时间的间隔长短无关，时点指标仅仅反映社会经济现象在一瞬间上的数量，每隔多长时间登记一次对它没有影响；（3）时点总量数值是间断计数的，没有必要进行连续登记，有的也是不可能连续进行登记的，如国家的人口总数。2．时点总量总量指标一（三）按计量单位分类实物总量（allquantityinkind）是根据事物的外部特征或物理属性，从使用价值的角度反映数据总量的指标，以自然单位、度量衡、物理量、复合单位、双重单位和标准实物单位为计量单位。1．实物总量

总量指标的计量单位都是有名数，都有计量单位。根据总量指标所反映现象的性质不同，其计量单位可分为实物总量、价值总量和劳动总量。

价值总量（magnitudeofvalue）是以货币为计量单位、反映事物价值量的指标。2．价值总量3．劳动总量劳动总量（quantityofwork）是以劳动时间为计量单位的总量指标。总量指标一（四）按数据所表示的事物的性质与特点分类指一定时期所生产的产品或所提供劳务（服务）获得的收入（或支出）的总量，一般可与时期指标相对应。如反映社会产品和劳务的生产、分配和使用的国内生产总值、国民生产总值、国民收入、个人可支配收入、投资总额等。1．经济流量（flow）按数据所表示的事物的性质与特点，可将数据总量分为流量和存量。各种不同的经济流量和经济存量构成了国民经济核算与分析的基础。指某一指定的时点上，过去生产与积累起来的产品、货物、储备、资产负债的累计总量，一般可与时点指标相对应。如某年某月某日银行的金库中存有500亿美元，则银行的存量为500亿美元。2．经济存量（stock）总量指标一确定一个数据是流量还是存量，应遵循以下两个原则：（1）由数据所表示的事物的性质与特点来决定。如在财富与收入这两个经济变量中，财富就是一个存量，它是某一时刻所持有的财产；收入是一个流量，它是由货币的赚取或收取的流动率来衡量的。（2）流量是指一段时间内发生的某种经济变量变动的数值，它是在一定的时期内测度的，其大小有时间维度；而存量则是在某一时点上测度的，其大小没有时间维度。总量指标一存量与流量之间的联系如下：（1）流量来自存量，如一定的国民收入来自一定的国民财富；存量又归于流量之中，即存量只能经由流量发生变化，如新增加的国民财富是靠新创造的国民收入来计算的，M2是存量概念，GDP是流量概念。（2）有些现象中，流量与存量并存，如国民收入是流量，则其存量形式是国民财富；固定资产投资是流量，则其存量是固定资产总额；货币支出总额是流量，则其存量形式是期末货币结存额。（3）有些现象只有流量，而没有相应的存量，如进出口总额、工资总额等。（4）两个流量或两个存量之比，或者一个流量和存量之比所得到的结果，既不是流量也不是存量。例如，平均价格是销售总额（流量）与销售总量（流量）对比的结果，它既不是流量也不是存量。再如，流动资金周转次数是销售收入总额（流量）与流动资金平均余额（存量）对比的结果，它既不是流量也不是存量。总量指标一社会总产出是指一个国家或地区在一定时期内的全部生产经营成果。这里所说的全部生产活动，既包括物质生产部门的生产，也包括非物质生产部门的生产。国民经济中的物质生产部门是指农业、工业、建筑业、运输邮电业和商业（包括餐饮业和物资供销业），社会总产值即为五大物质生产部门总产值的总和。非物质生产部门在一定时期内的总产出，其产出成果的价值表现称为服务总值或劳务总值。反映我国国民经济运行状况的总量指标主要有社会总产出、增加值、国内生产总值、国内生产净值等。（一）社会总产出三、我国国民经济的主要总量指标总量指标一增加值是企业或部门在一定时期（如一年）内从事生产经营活动所增加的价值。它是总产出减去总投入后的余额，因此，从价值构成看，它包括全部新价值和物质消耗中本期固定资产的折旧。增加值既包括物质生产部门的产值，也包括非物质生产部门提供的劳务价值。物质生产部门的增加值采用净产值加上本期固定资产折旧额计算；非物质生产部门的增加值采用劳务总收入减去总支出的余额计算。（二）增加值总量指标一国内生产总值是市场价格的国内生产总值的简称。它是一个国家（地区）所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。可以从以下两个方面来理解这个概念。（1）国内生产总值是国民经济核算体系中的一个核心指标，它能综合反映国民经济活动的总量，是衡量国民经济的发展规模、速度以及分析经济结构和宏观经济效益的基本指标，并且还广泛用于国际间的对比研究。（2）国内生产总值是反映常住单位生产活动成果的指标。所谓常住单位，是指在一国经济领土内具有经济利益中心的经济单位。经济领土是指由一国政府控制或拥有的地理领土。经济利益中心是指某一单位或个人在一国经济领土内拥有一定活动的场所，从事一定的生产和消费活动，并持续经营或居住一年以上的单位或个人。一般就机构（单位）而言，不论其资产和管理归属哪个国家控制，该机构在所在国就具有了经济利益中心。（三）国内生产总值（GDP）总量指标一国内生产总值有三种表现形态，即价值形态、收入形态和产品形态。从价值形态看，它是所有常住单位在一定时期内所生产的全部货物和服务价值超过同期投入的全部非固定资产货物和服务价值的差额，即所有常住单位的增加值之和；从收入形态看，它是所有常住单位在一定时期内所创造并分配给常住单位和非常住单位的初次分配收入之和；从产品形态看，它是最终使用的货物和服务减去进口货物和服务。在实际核算中，国内生产总值的三种表现形态表现为三种计算方法，即生产法、收入法和支出法。总量指标一总量指标1.生产法生产法是从生产的角度计算国内生产总值，其计算公式为：

国内生产总值=各部门增加值之和（4-1）

增加值=总产出－中间消耗（4-2）一总量指标2.收入法收入法是从分配或收入的角度计算国内生产总值。按这种方法计算，首先是各部门根据生产要素在初次分配中应得到的收入份额来计算增加值，然后再汇总各部门的增加值而得到国内生产总值。其计算公式为：

增加值=固定资产折旧+劳动者报酬+生产税净额+营业盈余（4-3）

式中，固定资产折旧是指为补偿生产经营中损耗的固定资产按比例提取的折旧费；劳动者报酬是指企业、单位对从事生产经营活动的职工及其他从业人员，以现金和实物形式支付的工资、福利费和社会保险费；生产税净额是指企业在生产、销售产品中应向政府缴纳的税金（利前税）减去生产补贴后的余额；营业盈余是指营业利润和其他盈余。一总量指标3.支出法支出法是从最终使用的角度计算国内生产总值。其计算公式为：

国内生产总值=总消费+总投资+净出口（4-4）

式中，总消费是指居民和社会用于最终消费的物质产品和服务的价值；总投资是指一定时期内固定资产投资和库存增加价值的总和；净出口是指物质产品和服务出口价值减进口价值的差额。一总量指标（四）国内生产净值国内生产总值减去其中的固定资产折旧后，称为国内生产净值，表示一国或地区在一定时期内新创造的全部价值。国内生产总值加上国外要素收入净额，便称为国民总收入（原称国民生产总值，GNP），也即

国民总收入=国内生产总值+国外要素收入净额（4-5）国外要素收入净额=来自国外的劳动者报酬和财产收入－国外从本国获得的劳动者报酬和财产收入（4-6）

可见，国民总收入反映了本国常住单位原始收入的总和。第二节相对指标2二相对指标一、相对指标的概念及作用相对指标是两个有联系的指标数值对比的比值，用来说明现象之间的数量对比关系，其数值表现为相对数。例如经济发展速度、国内生产总值、产业结构、消费与积累的比例关系、商业网点密度等都是相对指标。相对指标的类型主要有计划完成程度相对指标、结构相对指标等六种。相对指标的作用如下:（1）利用相对指标可以具体表明现象之间的比例关系，更深入地揭示所研究现象的特征。（2）利用相对指标，使原来不便于直接对比的事物具有比较的基础。（3）相对指标是进行经济管理和评价企业经济活动成果的主要指标。二、相对指标的表现形式（一）有名数有名数是主要用来表现强度相对指标的数值。它是将相对指标中的分子与分母指标的计量单位同时使用，以表明事物的密度、普遍程度和强度等。例如，人口密度“人/平方公里”；平均每人分摊的产品产量“吨（千克）/人”。（二）无名数无名数是一种抽象化的数值，常有系数、倍数、成数、百分数和千分数等具体形式。相对指标二三、相对指标的计算（一）计划完成程度相对指标

1．计划完成程度相对指标的意义相对指标二

2．计划完成程度相对指标的计算相对指标二计算结果表明，该企业2013年10月份超额3.16%（103.16%-100%）完成了计划生产任务。【例4-1】某企业2013年10月的计划产量为950台，实际完成的生产量为980台，则可知：

相对指标二

相对指标二【例4-2】某销公司计划销售额提高10%，实际提高12%，则可知：

【例4-3】某种产品单位成本计划降低6%，实际降低了8%，则可知：

相对指标二

相对指标二【例4-4】某企业某产品计划每千克成本为15元，实际成本为12元，则可知：

计划完成程度指标要以计划指标的性质和要求作为评价的标准。一种计划指标，如产品产量、产值、劳动生产率、利润计划等属于成果收入性质的指标，只规定最低限额，计划完成程度指标以等于或大于100%为好；另一种计划指标，如单位产品成本、单位产品原材料消耗量、商品流通率等属于消耗支出性质的指标，都是规定最高限额不能超过，要求实际完成数比计划数越少越好。相对指标二3．计划执行进度的检查

相对指标二【例4-5】某公司3个商场计划完成情况如表4-1所示，考核其计划执行进度情况。从表4-1可以看出，全公司的计划执行情况达到了50%的进度要求。但从3个商场来看，发展是不平衡的，尚有乙商场未完成累计计划，因此，促进乙商场完成累计进度计划是保证全公司完成全年计划的关键。商场今年计划销售额（亿元）截止到第二季度末累计实际完成销售额（亿元）截止到第二季度末对全年计划的执行进度（%）

①②③=②÷①甲乙丙320.51.560.90.29524558合计5.52.7550表4-1某公司3个商场计划完成情况计算表相对指标二4．长期计划执行情况的考核办法长期计划是指计划期至少为5年的经济计划。考核长期计划的执行情况，既要从相对数上计算计划完成的程度，也要从时间上计算提前完成计划的时间。长期计划任务的下达形式有两种：一种是规定计划期内应完成的累计总量；另一种是规定计划期末应达到的水平。相应地，考核长期计划执行情况的方法也有两种，下面分别作详细介绍。相对指标二

相对指标二【例4-6】某产品按5年计划规定，最后一年产量应达到100万吨。计划执行情况如表4-2所示：时间第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年一季度二季度三季度四季度一季度二季度三季度四季度产量909550462223242526252526

表4-2某产品实际产量资料单位：万吨相对指标二

根据上表资料计算：

相对指标二

相对指标二【例4-7】某地区“十一五”期间规定5年累计造林3万亩，而实际完成造林面积累计达31500亩，则可知：

用累计法计算的计划完成程度，如超额完成任务，计算提前完成计划时间的方法是：从计划期开始至某一时间，累计的实际完成数达到了计划数就算完成了计划。将计划全部时间减去完成计划所省时间，即为提前完成计划的时间。如例4-7，若截至2010年10月底已累计造林30000亩，则“十一五”计划提前2个月完成。相对指标二（二）结构相对指标1．结构相对指标的含义

相对指标二【例4-8】2013年全国纺织原料及制品出口总额为2740亿美元，其中服装及饰品类出口总额为2097亿美元，则服装及饰品类出口总额占纺织原料及制品出口总额的比重为：相对指标二2．结构相对指标的作用结构相对指标用以研究总体内各组成部分的分配比重及其变化情况，从而深刻认识事物各个部分的特殊性质及其在总体中所占的地位和地位的变化。其作用有以下方面。（1）应用结构相对指标，从静态上分析总体的构成，表明现象的性质和特征。例如，我国的国土资源情况如表4-3所示，通过结构相对指标的计算，就可以明白我国陆地总面积中平原面积和山地、高原及丘陵面积所占的比重。相对指标国土按资源分组面积（万平方公里）比

重（%）陆地总面积960100山地、高原和丘陵面积633.766平原面积326.334表4-3我国的国土资源情况二（2）通过总体内部结构变化的分析，从动态上研究现象发展变化的趋势及其规律。如表4-4所示。相对指标表4-4某公司2009～2013年主营业务与非主营业务盈利构成情况

年份20092010201120122013主营业务盈利（100%）非主营业务盈利（100%）65.234.870.829.272.927.175.724.380.619.4

上述资料反映了该公司2009～2013年主营业务与非主营业务盈利结构的变化过程。非主营业务盈利占比从2009年的34.8%下降到2013年的19.4%，表明该公司主营业务发展速度很快，成为公司盈利的主要支撑。二

（3）结构相对指标可以反映总体的质量或工作质量以及人力、物力、财力的利用程度。例如，在业人口的各种文化程度比重、中小学入学率等是从文化教育方面反映我国劳动力和人口质量；产品的合格率、废品率、商品消耗率等，是表明工业和商业部分的工作质量；出勤率、设备利用率、资金利用率等则是反映企业的人力、物力、财力的利用情况。

（4）利用结构相对数，有助于分清主次，确定工作重点。相对指标二（三）比例相对指标1．比例相对指标的含义

相对指标二2.比例相对指标的应用（1）反映事物构成特征。比例相对数一般属于结构性比例，它不仅具有反映事物各组成部分的数量比例关系的作用，也具有反映事物内部结构的作用。例如，第六次人口普查结构公布，全国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，居住在城镇的人口为66557万人，居住在乡村的人口为67414万人，城乡人口比例相对数为98.73%。若用结构相对数表示，即居住城镇的人口占总人口的49.68%，居住在乡村的人口占总人口的50.32%。因为这两类指标均能反映我国人口居住地域构成状况，所以在实际工作中往往将比例相对指数和结构相对数替代使用。相对指标二（2）反映事物协调平衡关系。客观现象内部各组成部分之间既密切联系又相互制约，它们存在着自身的运动规律和比例协调关系。如果破坏或违背了这种规律，就会出现比例失调，给国计民生带来危害。因此，利用比例相对数可及时反映国民经济运行状况，把握产业结构和分配格局的变化，分析社会总供给与总需求、投资与消费、进口与出口等重大比例关系。例如，表4-5对某地区进出口比例关系进行了分析。相对指标表4-5某地区2011-2013年进出口总额年份进出口总额（亿元）出口总额（亿元）进口总额（亿元）出口额与进口额的比例（%）201120122013360747435098194924922662165822512436117.55110.71109.28由表中资料可以看出，近3年该地区进出口保持增长势头，国际收支状况良好。二（四）比较相对指标

相对指标二比较相对指标属于静态对比关系，也称为横向对比。比较相对指标可以是绝对数的对比，也可以是相对数或平均数的对比。由于绝对数容易受总体空间范围的影响，因此计算比较相对指标的分子和分母多采用相对数或平均数。根据不同的研究目的，比较相对指标可以用于不同国家、地区、单位之间经济实力的比较，也可以用于先进与落后之间的比较，还可以用于实际水平与标准水平或平均水平的比较，从而找出差距，挖掘劳动潜力，提高工作质量，促进经济发展。相对指标二（五）强度相对指标

相对指标1．强度相对指标的计算二强度相对指标的计量单位表现为两种形式：（1）复名数，即双重计量单位。在计算这种强度相对指标时，由于其分子与分母的计量单位在计算时无法约去，计算后仍保留对比双方的单位，如人口密度用“人/平方公里”表示，人均国民生产总值用“元/人”表示。（2）无名数，即无计量单位。在计算这种强度相对指标时，由于其分子与分母的计量单位相同，在计算时可约去，故计算后其无单位，一般用千分数、百分数表示，如人口出生率用千分数表示。相对指标二

相对指标在计算强度相对指标时，其分子、分母可以互换位置，这时强度相对指标就有正指标和逆指标之分。所谓正指标是指数值大小与现象的强度、密度和普遍程度成正比。所谓逆指标是指数值的大小与现象的强度、密度和普遍程度成反比例。例4-9所计算的每万人拥有商业网点数即为正指标。二

相对指标此次计算出的为逆指标。强度相对指标往往牵涉到一些人均指标，如人均国民生产总值、全国（地区）人均粮食产量、全国（地区）人均钢产量等。这些人均指标不是平均指标，而是强度相对指标。因为平均指标是总体的标志总量与总体单位总量的对比，而上述人均指标都不是平均指标。二（1）反映客观事物发展的基本状况和质量。强度相对指标比总量指标更能够确切地反映经济发展水平和经济实力。例如，2013年我国国内生产总值达到568345亿元，进出口总额258300亿元，这些总量指标全部排在世界前列。但若按相应的强度相对数—人均国内生产总值、人均粮食产量、人均进出口总额排序，则属于发展中国家水平，而这恰恰符合我国的基本国情。此外，在实际工作中常常利用强度相对指标形象生动地反映社会发展的不同侧面和工作或生活质量。比如，用“人均绿地面积”反映城镇居住环境；用“人均可支配收入”评价人们的生活水平；等等。

（2）反映现象发展水平之间的差距。强度相对指标不但用于反映现象发展水平，而且便于在不同国家、地区、单位之间进行比较，反映现象发展的差距和不平衡程度。

相对指标2.强度相对指标的应用二（六）动态相对指标

相对指标

二相对指标四、计算和运用相对指标应注意的问题各种不同的相对指标是从不同的角度反映现象之间的联系的，必须正确计算和应用才能发挥它们的作用，因此，在计算和运用相对指标时应注意以下几个方面的问题。（1）正确选择对比的基数。（2）严格保持对比的两个指标的可比性。（3）相对指标和总量指标结合运用。（4）多种相对指标结合运用。（5）相对指标不能简单地进行加减运算。二第三节平均指标3三平均指标一、平均指标的概念和作用平均指标是指同一总体各单位某一数量标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，其数值表现为平均数，如人口的平均身高、职工的平均工资、商品的平均价格等。平均指标一般是具有单位名称的数值，它的计量单位与标志值的计量单位是一致的。平均指标是社会经济统计中常用的综合指标之一。平均指标的显著特点是：平均指标把同一总体各单位某一数量标志值的差异抽象化了、从而反映被研究对象在一定时期内或一定时点上所达到的一般水平或集中趋势，掩盖了数量差异；平均指标代表总体单位标志值的一般水平，不代表总体某一单位的具体数值。平均指标平均指标反映所研究现象在一定条件下的一般水平。其作用表现在以下几点。（1）利用平均指标可以将同类现象的一般水平在不同单位、地区间进行比较，反映各单位、各地区工作的质量和效果。例如，在比较生产同一种产品的两个企业的工作质量和成绩时，不能用产品的总成本进行比较，而要用单位产品成本进行比较，只有这样才可以反映不同企业生产水平的好坏，才能综合反映各企业工作的成效。（2）利用平均指标可以将同类现象的一般水平在不同时期进行对比，反映现象在不同时期的发展变化的规律。例如，将各个时期的全国职工的平均工资进行对比，可以反映我国职工的工资水平的发展趋势和规律。（3）利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。很多现象之间都是相互联系、相互依存的。例如，将某种农作物按施肥量进行分组，然后按照这种分组方式，计算各组的平均亩产量，从而可以看出施肥量与平均亩产量之间的相互依存关系。（4）利用平均指标可以进行数量上的估计和推断。例如，可以利用样本的平均指标来推断总体的平均指标或总体的总量指标。三平均指标二、数值平均数（一）算术平均数在各种平均指标中，有些是根据总体中的各单位标志值计算而得到的，这种平均数叫数值平均数，主要有算术平均数、调和平均数和几何平均数三种。

三平均指标1．简单算术平均数在计算算术平均数时，如果统计资料没有分组，则直接将总体各单位标志值简单相加除以总体单位数，从而得到平均数。计算公式为：

（4-7）式中，代表算术平均数；代表总体各单位标志值；代表总体单位数；

为求和符号。三平均指标【例4-12】某生产班组有8名工人，生产同一种零件。每个工人的日产量分别为18件、22件、19件、23件、24件、20件、25件、26件。则该班组工人平均日产量为：（件）三平均指标2．加权算术平均数在计算算术平均数时，如果资料已经分组，则不能直接将各组标志值相加，而是要用加权算术平均数的方法。（1）根据单项分组数列计算加权算术平均数如果掌握的资料是单项分组资料，则要将各组标志值乘以相应的各组单位数或权数，求出各组标志总量，然后将其加总，得出总体的标志总量，同时把各组单位数或权数相加，求出总体单位总量，再用总体标志总量除以总体单位总量，即求得平均数。其计算公式为：

（4-8）式中，代表算术平均数；代表各单位标志值；代表各组的次数。三平均指标【例4-13】某车间有100名工人，其日生产零件资料如表4-1所示。（件）日产量（件）工人数（人）各组总产量（件）18192021222310182426166180342480546352138合计1002038表4-6某车间工人日产量表则该车间工人平均日产量为：三平均指标

从上面的计算可以看出，加权算术平均数的大小，受两个因素的影响，一个是总体各组标志值

的大小，另一个是总体各组次数

的多少。次数多的标志值对平均值的影响大些，次数少的标志值对平均值的影响小些。因此，各组变量值出现的次数的多少，对平均数数值的大小有权衡轻重的作用，所以也将次数称为权数。这种平均数也叫加权算术平均数。而权数的影响主要体现在权重系数上，即体现在各组单位数在总体单位数中所占的比重上。哪组的权重系数大，哪组的标志值对平均数的影响就大，反之，影响就小。三平均指标当各组权重系数相等，即各组出现的次数相等时，权数的作用就没有了，此时的加权算术平均数就等于简单算术平均数了，即把各组的标志值相加，再除以组数，也即：

（4-9）

式中，代表各组标志值；代表总体的组数。

当各组出现的次数不相等时，加权算术平均数可以用下面的公式计算：

（4-10）

式中，

代表各组次数在总体单位数中所占的比重，即权重系数。三平均指标现将例4-13的数据用权重系数形式计算加权算术平均数如表4-7所示。日产量（件）工人数（人）权重系数（%）1819202122231018242616610182426166合计100100表4-7某车间工人日产量表由式（4-10）得三平均指标【例4-14】某月某企业工人工资资料如表4-8所示，求该企业工人月平均工资。表4-8某企业工人工资数据表按月工资额分配（元）工人数（人）组中值（元）各组工人工资额（元）1000以下1000～12001200～14001400～16001600～18001800～20002000以上3090100160802515900110013001500170019002100270009900013000024000013600047500315000合计500—711000

（2）根据组距数列计算加权算术平均数

在计算组距数列的算术平均数时，要首先计算出各组的组中值，然后以组中值作为变量值，利用公式（4-8）或公式（4-10）来计算。三平均指标工人月平均工资为：（元）在计算组距数列的算术平均数时，由于是使用了各组的组中值代替各组的标志值，因此，这种计算方法带有一定的假定性，即假定各组的标志值在组内是均匀分布的。但实际上各组内的标志值往往不是均匀分布的，因此，根据组距数列计算的算术平均数，只能是个近似值。另外，在计算算术平均数时，经常会受到极端值的影响。在总体中，如果有极大值或极小值存在，计算出来的算术平均数的代表性就会减小。因此，在实际应用时，经常采取去掉极端值以后再计算算术平均数的方法，以增强算术平均数的代表性。三平均指标3．算术平均数的数学性质（1）各个变量值与算术平均数的离差之和等于零，即简单算术平均数加权算术平均数（2）各个变量值与算术平均数离差的平方之和为最小值，即简单算术平均数加权算术平均数三平均指标（二）调和平均数1．简单调和平均数调和平均数就是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，也叫倒数平均数。调和平均数分为简单调和平均数和加权调和平均数。简单调和平均数就是总体各单位标志值倒数的简单算术平均数，即

（4-11）

式中，代表调和平均数；代表总体各单位标志值；代表总体单位数。三平均指标【例4-15】某种蔬菜在甲市场的价格为每斤1.8元，在乙市场的价格为每斤2.0元，在丙市场的价格为每斤2.5元。如果在各市场各买一元钱的蔬菜，求该种蔬菜平均每斤的价格是多少。平均每斤的价格=总金额/购买的总量，则：（元/斤）三平均指标2．加权调和平均数加权调和平均数就是总体单位标志值倒数的加权算术平均数，即

（4-12）三平均指标【例4-16】某商场分三批购进某种产品，每批购进价格和购进金额如表4-9所示。求该商品的平均购进价格。批次购进价格（元/千克）采购金额（元）购进数量（千克）第一批第二批第三批1618206400900012000400500600合计—274001500平均价格=采购总金额/购进总数量，则：（元/千克）从以上的例子可以看出，调和平均数是算术平均数的变形，二者都是总体标志总量除以总体单位总量，只是因掌握的资料不同，使计算的形式有所不同而已。表4-9某商场采购某产品情况三平均指标3.由相对数或平均数计算平均数（1）由相对数计算平均数【例4-17】某企业有三个工厂，已知其计划完成情况和计划产值情况资料如表4-10所示。求该企业的平均计划完成程度。工厂计划完成程度（%）计划产值（万元）实际产值（万元）甲乙丙90～100100～110110～1205003000150047531501725合计—50005350表4-10某企业计划完成程度则平均计划完成程度为：三平均指标在例4-17中已知计划产值，因此在计算平均计划完成程度时，用算术平均数；如果有实际产值资料，则在计算平均计划完成程度时，要用调和平均数。资料如表4-11所示。工厂计划完成程度（%）计划产值（万元）实际产值（万元）甲乙丙90～100100～110110～1205003000150047531501725合计—50005350表4-11某企业计划完成程度 则平均计划完成程度为：三平均指标（2）由平均数计算平均数【例4-17】某商店某月的销售情况如表4-12所示。求该商店平均每人的销售额。表4-12某店某日销售情况根据掌握的资料，计算该商店人均销售额时，应该用算术平均数，即：商品类型人均销售额（元）售货员数（人）总销售额（元）棉布类化纤类其他1000150080010641000090003200合计

2022200总人均销售额（元）三平均指标如果例4-18中的资料如表4-13所示。则计算该商店的人均销售额时，应该用加权算术平均数，则：表4-13某店某日销售情况则计算该商店的人均销售额时，应该用加权算术平均数，则：总人均销售额（元）商品类型人均销售额（元）总销售额（元）售货员数（人）棉布类化纤类其他1000150080010000900032001064合计—2220020三平均指标（三）几何平均数1.简单几何平均数

几何平均数是

个变量值连乘积的

次方根，用

表示。它是计算平均比率和平均速度常用的一种方法。简单几何平均数就是个变量值连乘积的次方根。计算公式为：

（4-13）式中，代表几何平均数；代表各个变量值；代表变量值项数；代表连乘符号。三平均指标【例4-19】某地区某五年经济发展速度如表5-9所示，求该地区在此五年间的平均发展速度。根据资料可知，平均发展速度为表4-14某地区五年经济发展速度年份第一年第二年第三年第四年第五年发展速度（%）108.6110.2115.0118.5120.0或114.3%三平均指标几何平均数在计算过程中，可以利用对数计算。公式为：

（4-14）将本例中的数据代入公数公式（5-7）中，计算得：

=0.058G=1.143或114.3%即该地区五年的平均发展速度为114.3%三平均指标2.加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值的次数不相同时，则应用加权几何平均法，其计算公式为：

（4-15）

也可利用对数计算，将公式变形为：

（4-16）三平均指标【例4-20】某地区近25年来的经济发展速度如表4-15所示。求该地区25年中经济的平均发展速度。根据资料可知：表4-15某地区五年经济发展速度发展速度（%）

年数（次数）

1021031051081101410642.00862.01282.02122.03342.04142.00868.051220.212012.20048.1656合计25—50.6378所以该地区近25年平均经济发展速度为106.05%。三平均指标三、位置平均数（一）中位数前面介绍的算术平均数、调和平均数、几何平均数都是根据总体全部单位的标志值计算的，所以被称为数值平均数。在有些情况下，我们还可以直接根据标志值在变量数列中的位置来确定平均数，这样确定的平均数被称为位置平均数，主要有中位数、分位数、众数。将一组数据按由小到大的顺序排列，居于中间位置的变量值即为中位数，用表示。由于位置居正中，数值既不大也不小，所以可作为一般水平和集中趋势的代表值。中位数是位置平均数，它不受极端值的影响，在各变量值差异较大或频数分布为偏态时，中位数比算术平均数更具有代表性；在缺乏计量手段时，也可用中位数近似地代替算术平均数。三平均指标1.由未分组资料确定中位数中位数的计算一般分为两步：首先，确定中位数的位置；然后，找出中间位置对应的变量值。首先确定中位数的位置，其公式为

为变量值的个数，若为奇数，则对应中位数位置的那个变量值即为中位数。中位数的位置三平均指标【例4-21】某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入（单位：元）数据为：750,780,850,960,1080,1250,1500,1650,2000，求中位数

即中位数为1080元，=1080（元）

若

为偶数，则对应于中位数位置左、右相邻变量值的简单算术平均数即为中位数中位数的位置

【例4-22】假定我们抽取了10户家庭，每个家庭的人均月收入（单位：元）数据为：660,750,780,850,960,1080,1250,1500,1650,2000，求中位数。中位数的位置（元）三平均指标2．由分组资料确定中位数由分组资料的单项变量数列求中位数较简单，分组资料具有各组的频数分配，因此可按下面公式确定中位数位置。

然后找出中位数组，该组的变量值就是中位数。中位数的位置，即累计频数的一半。【例4-23】某企业150名工人产量分布数列，资料见表4-16，求150名工人产量的中位数。表4-16某企业150名工人产量分布数列日平均

生产量（件）工人人数（人）累计频数向上累计向下累计80901001101202030801552050130145150150130100205合计150——三平均指标解：可以按向上累计和向下累计两种方法确定中位数的位置。

按向上累计计算，中位数的位置，即第75人的产量为中位数，累计到第二组为第50人，第三组为第130人，第75人在第三组，则对应的中位数为=100（件）。

按向下累计计算，中位数的位置，即第75人的产量为中位数累计到倒数第二组为第20人，倒数第三组为第100人，第75人在倒数第三组，则对应的产量中位数为=100（件）。

由组距数列求中位数，同样要先按中位数的位置的公式确定中位数的位置；然后找出中位数所在的组，即累计频数大于或等于

的组；最后，再用插值法按比例计算中位数的近似值。具体计算有下限式和上限式两种，计算结果是一样的。三平均指标下限公式：（4-17）式中：代表中位数所在组的下限；代表中位数所在组的额数；代表中位数所在组前一组的累计频数（按向上累计计算）；代表中位数所在组的组距。上限公式：（4-18）式中：代表中位数所在组的上限；代表中位数所在组前一组的累计频数（按向上累计计算）。三平均指标

【4-24】某地区抽查500户家庭的消费水平资料如表4-17所示，求消费水平的中位数。表4-17某地区5000户家庭消费水平的资料按月消费额分组（元）调查户数

累计频数向上累计向下累计500以下500～800800～11001100～14001400～17001700～20002000以上4090115100705035401302453454154655005004603702551558535合计500——三平均指标解：

中位数的位置，

第四组（向上累计）累计频数为345户，含250户，故该组为中位数所在的组。根据下限公式（4-17）计算：

倒数第四组（向下累计）累计频数为255户，含250户，故该组为中位数所在的组。根据上限公式（4-18）计算：（元）（元）三平均指标（二）分位数1.根据未分组数据确定分位数分位数是将变量值按大小顺序排列并等分为若干部分后，处于等分点位置的数值。常用的分位数有四分位数、十分位数和百分位数，它们分别是将数值序列4等分、10等分和100等分的3个点、9个点和99个点上的数值。其中，四分位数第2点的数值、十分位数第5个点的数值和百分位数第50个点的数值，就是中位数。所以，中位数就是一个特殊的分位数。这里只介绍四分位数的计算，其他分位数与之类似。对于未分组的原始数据，确定四分位数的位置，设分别表示第一个、第二个和第三个四分位数，则它们的位置分别为，，，根据位置即可确定各个四分位数。三平均指标【例4-25】在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：元）：1500,750,780,1050,850,950,2000,1250,1680，计算人均月收入的第一个和第三个四分位数。解：首先对原数据进行排序得750,780,850,950,1050,1250,1500,1680,2000由于

，所以第一个和第三个分位

，

，即

在第2个数值780和第3个数值850之间的位置上，因此

在第7个数值1500和第8个数值1680之间的位置上，因此（元）（元）三平均指标2、根据变量数列确定分位数为简便起见，这里仅给出下限公式。设分别表示第一个、第二个和第三个四分位数，则它们的位置分别为：，，，根据位置即可确定各个四分位数。第一个四分位数下限公式：（4-19）

第三个四分位数下限公式：（4-20）

式中：代表第一个四分位数组的下限；代表第三个四分位数组的下限；代表第一个四分位数组的频数；代表第三个四分位数组的频数；代表第一个四分位组的组距；代表第三个四分位数的组距；代表向上累计，累计到第一个四分位数组前一组的累计频数；代表向上累计，累计到第三个四分位数组前一组的累计频数。三平均指标【例4-26】以表4-17的资料计算四分位数解：

第一个四分位数的位置

第三个四分位数的位置三平均指标（三）众数众数是一组数据中出现频数最多的变量值，用表示。众数也是一种位置平均数，不受极端数值的影响，在实际工作中应用较为普遍，在总体单位数较多，且具有明显的集中趋势时可以用众数表示集中趋势代表值。如总体单位数较少或虽多但无明显集中趋势就不存在众数。当变量数列中有两个或几个变量值的频数都比较集中时，就可能有两个或几个众数，因此，众数可能不是唯一的。【例4-27】抽查10户家庭住房面积（单位：）分别为55,75,75,90,90,90,90,105,120,150。这10户家庭住房面积的众数为90，即。众数通常按分组资料计算。用单项数列计算众数时，把频数最多的组定为众数组，该组的变量值即为众数。【例4-28】某企业150名工人产量分布数列，资料见表4-16，求150名工人产量的众数。解：第三组分布的人数最多80人，该组对应的产量100件为众数，即=100（件）三平均指标由组距数列计算众数，首先要确定众数组，然后利用上限公式或下限公式计算众数。下限公式：（4-21）

式中：代表众数组下限：代表众数组频数与上一组频数之差；代表众数组频数与下一组频数之差；代表众数组的组距。上限公式：（4-22）

式中，代表众数组的上限。三平均指标【例4-28】根据表4-17某地区500户家庭月消费资料计算众数，第三组是频数最多的组，所以为众数所在组，将有关数据带入上述公式计算众数。解：根据下限公式计算：

根据上限公式计算：（元）（元）三平均指标四、应用平均指标要注意的问题（一）平均指标必须应用于同质总体所谓同质总体，指总体具有同质性，即社会经济现象的各个单位在被平均的标志上具有同类性质。如果各单位在类型上存在根本差别，则依此计算的平均数不仅不能反映事物的本质和内在规律性，还会歪曲事物真相。例如，在研究职工工资收入变化时，如果把外来务工人员收入，或者是把企业高层管理者的收入与职工的工资收入合在一起求“平均”，则平均结果不能反映职工真实的工资收入变化。只有在同质总体基础上计算应用平均指标，才能有真实的社会经济意义。三平均指标（二）平均指标应与分配数列相结合平均指标的重要特征是把总体各单位的数量差异抽象化了，掩盖了各单位的数量差别及其分布情况。所以在使用平均指标了解现象时，不能只看平均数，而要同时看分配数列的次数分布情况。所以，平均指标要与分配数列结合应用。【例4-29】某旅游公司对员工进行旅游英语知识测验，平均分数为72.3分，37名员工成绩具体情况见表4-18。表4-18旅游公司员工旅游英语知识测试成绩旅游英语测试成（分）员工人数（人）旅游英语测试成（分）员工人数（人）60以下1080～901060～701590～1001570～8012合计12若单看平均数，只泛泛地了解了该旅游公司平均成绩70多分，比较不错。但如果结合分配数列，就会更具体、更深人地反映问题，即还有10人成绩不及格，占37名员工总数的27%。三平均指标（三）平均指标要与分组法相结合平均指标反映了总体各单位某一数量标志值的一般水平，但却掩盖了各组之间的差异。总体各组之间及各组内的差异往往影响总体的特征和分布规律，各组结构变动也会对总体变动产生影响。为了全面认识总体的特征和分布规律，需要将平均指标与统计分组结合起来。【例4-30】两种商品销售价格资料见表4-19。分别计算6月、7月两款家电平均销售价格并进行分析。表4-19两种商品销售价格资料商品名称6月销售价（元）6月销售量（台）7月销售价格（元）7月销售量（台）家电I100609040家电II2004019060三平均指标7月两款家电平均销售价格比6月两款家电平均销售价格上升了10元。但实际上，从按价格分组的资料看，无论是家电I还是家电II，7月销售价格均比6月低，即实际结果出现了与总平均数相矛盾的结论。之所以出现这种矛盾的结果，是因为两个月份相比，销售量的结构发生了变化。7月时，价格较高的家电II销售量所占比例为60%，比6月时高出20%。正是由于这种权重结构的变化，导致了总平均数与实际情况相矛盾情况的出现。因此，在对实际中经济现象进行描述分析时，应将平均指标与分组法结合应用。解：利用加权算术平均法计算，结果为：6月两款家电平均销售价格=（元）

7月两款家电平均销售价格=（元）三第四节标志变异指标4四标志变异指标一、变异指标的意义平均指标是统计总体中各单位某一数量标志的一般水平，反映了总体分布的集中趋势。平均指标将数据的数量差异抽象化了，用一个代表数值反映现象的一般水平，反映的是各单位某一数量标志的共性，而不能反映它们之间的差异性。因此，仅用平均指标还不能全面描述数据分布的特征，标志变异指标弥补了这个不足，从另一方面说明数据分布的特征，反映的是数据分布的离中趋势。标志变异指标也即标志变动度，是反映数据分布特征的另一重要指标，它反映的是各变量值远离其中心值的程度，即反映数列中各标志值的变动范围或离差程度。标志变异指标主要有：极差、四分位差、平均差、标准差、方差、异众比率、离散系数等。（一）标志变异指标的概念标志变异指标（1）变异指标可以衡量平均数的代表性。平均指标作为总体数量标志的代表值，其代表性取决于总体各单位标志值的差异程度。当总体各单位标志值的变异程度越大，平均指标的代表性就越小；总体各单位标志值变异程度越小，平均指标的代表性就越大。【例4-31】某车间有甲、乙两个生产小组，每组各7名工人，每人日产零件数如下：

甲：20232525262630

乙：14182525293034

只看平均数，两组工人平均日产量均为25件，但结合变异程度来看，甲组工人日产量比较接近，而乙组工人日产量差异较大，因此平均数25件，对于甲组代表性就大，而对于乙组代表性就小。（二）标志变异指标的作用四标志变异指标（2）反映社会经济活动的均衡性。变异指标可以表明生产过程的节奏性和其他经济活动的均衡性，因此可作为企业产品质量控制和评价经济管理工作的依据。【例4-32】某公司下属两个企业销售额计划完成情况如表4-20所示。

企业计划数实际数第一季度第二季度第三季度第四季度绝对数比重%绝对数比重%绝对数比重%绝对数比重%甲乙100012001000120014030014.025.010028010.023.346032046.026.730030030.025.0

表4-20某公司下属两个企业销售额计划完成情况研究单位：万元四标志变异指标表4-20资料说明，两个企业的销售计划都已完成，但计划执行过程的情况则不相同。乙企业全年各季度均衡地完成了销售计划，变动程度较小；甲企业则前松后紧，各季度销售变动程度较大。如果不存在季节因素影响，乙企业销售情况比甲企业好。又如，对一批产品的质量指标，如电灯泡的耐用时间、轮胎的行驶里程等，测定其标志变异指标，如果标志变动度大，则说明产品质量不稳定；如果标志变动度小，则产品质量显得稳定。可见，用变异指标可以衡量生产管理和经济活动过程的均衡性，因而它是企业质量管理的一个重要指标。四标志变异指标（3）变异指标是衡量风险程度的尺度。变异指标是衡量投资风险程度的尺度，如果投资收益的标准差大，说明投资收益的不确定性大，即风险大；如果投资收益的标准差小，则说明投资收益的风险性小。（4）变异指标是进行抽样推断等统计分析的一个基本指标。在统计分析中，进行相关分析、趋势分析、抽样推断和统计决策等，都需要利用标志变异指标。四标志变异指标二、极差（R）（一）极差的概念及计算方式【例4-2】所举两组工人日生产零件资料的极差为甲组：极差=30－20=10（件）乙组：极差=34－14=20（件）从极差可以看出乙组工人日产量差异大于甲组，即乙组资料的标志变动度大于甲组。极差又称全距，它是总体各单位标志的最大值（L）和最小值（

）之差，常用R表示。

（4.23）四标志变异指标对于分组数据，由于分布中的实际最大值和最小值难以确定，只能利