7.3-离散型随机变量的数字特征

选择性必修第3册第7章.3离散型随机变量的数字特征教学目标1.掌握数学期望（均值）的概念及公式；2.掌握离散型随机变量方差及标准差公式。问题提出某工厂生产一批产品，一等品占50％，二等品占40％，次品占10％。如果生产一件次品，工厂要损失1元钱，生产一件一等品，工厂获得2元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得1元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？1.离散型随机变量的期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。离散型随机变量X的数学期望是X的各可能值与其对应概率乘积的和，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，pi（i＝1，2，…）为权重。例甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为X8910Pk0.10.30.6Y8910Pk0.20.50.3试问哪一个人的射击水平较高？问题提出要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X15678910Pk0.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X256789Pk0.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？2.离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为：ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称D(X)＝(x1－EX)2p1＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn为随机变量X的方差。称σX＝eq\r(DX)为随机变量X的标准差。方差刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差。例.若随机变量x满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Ex。3.数学期望的性质(1)若C是常数，则E(C)＝C；(2)若K是常数，则E(kX)＝kE(X)；(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(4)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；推广到有限个随机变量和的情况：E(X1＋X2＋…Xn)＝EX1＋EX2＋…＋EXn；(5)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)。例.若随机变量x满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Dx。4.方差的性质(1)设C是常数，则D(C)＝0(2)设X是随机变量，C是常数，则D(CX)＝C2·D(X)(3)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a、b为常数)在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)。(4)为计算方便，方差的计算公式还可以简化为D(X)＝E(X2)－(E(X))2。例.设随机变量x服从两点分布：ξ10PP1－P试求它的Ex和Dx。5.两点分布的期望、方差若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)。典例讲解考点一离散型随机变量的期望例1.(2011·湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。例2.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ。(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？考点一离散型随机变量的方差例3.数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合。(1)求巧合数ξ的分布列；(2)求巧合数ξ的期望与方差。例4.设在12件同类型的零件中有2件次品，抽取3次进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数。(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)求η的分布列、均值和方差。考点三期望与方差性质的应用例5.设随机变量X具有分布P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，eq\r(DX－1)。例6.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号。(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值。课时综合练一、选择题1.已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()．A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．12.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为()．A．0.4B．0.6C．0.7D3.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.64.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()A.eq\f(32,3)B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3)D.eq\f(16,3)5.设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)则当a在(0，1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大6.(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A．126125B．65C．168125D．eq\f(7,5)7.(2017·浙江)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，则（）A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)二、填空题8.随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ78910P0.30.350.20.15该随机变量ξ的均值是________。9.随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝eq\f(1,3)，则Dξ的值是________。10.（2014·浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________。11.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.12.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝________.三、解答题13.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．14.（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是eq\f(3,4)，乙每轮猜对的概率是eq\f(2,3)；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．7.3离散型随机变量的数字特征教学目标1.掌握数学期望（均值）的概念及公式；2.掌握离散型随机变量方差及标准差公式。教学重点：教学难点：教材分析：均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题。问题提出某工厂生产一批产品，一等品占50％，二等品占40％，次品占10％。如果生产一件次品，工厂要损失1元钱，生产一件一等品，工厂获得2元钱的利润，生产一件二等品，工厂获得1元钱的利润。假设生产了大量这样的产品，问工厂每件产品获得的期望利润是多少？解：设X表示每件产品获得的利润，则它是随机变量，其概率分布为X21－1Pk0.50.40.1假设工厂一共生产了N件产品，其中一等品n1件，二等品n2件，次品n3件。这N件产品获得的平均利润为2或者写为2×n1N＋1×n2N＋(n1N、n2N、而在大量重复试验下当N无限增大时，频率的稳定值即为概率，因此，每件产品的平均利润将趋近于2×P1＋1×P2＋(－1)×P3＝2×0.5＋1×0.4＋(－1)×0.1＝1.3或者说，如果工厂生产了大量该产品，可期望每件产品获得1.3元的利润。数值1.3称为随机变量X的数学期望或均值。1.离散型随机变量的期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。离散型随机变量X的数学期望是X的各可能值与其对应概率乘积的和，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，pi（i＝1，2，…）为权重。例甲乙二人射击，X：甲击中的环数；Y：乙击中的环数。他们命中环数的分布律分别为X8910Pk0.10.30.6Y8910Pk0.20.50.3试问哪一个人的射击水平较高？数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值。今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究。问题提出要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X15678910Pk0.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X256789Pk0.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低，通过计算E(X1)=8，E(X2)=8。发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平。所以甲、乙两射手的射击水平相同，你赞成吗？为什么？显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性。思考：除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？对随机变量X，知道了它的数学期望EX，虽然对该随机变量有了一定的了解，但还不够！有必要找一个量，能够度量随机变量X相对于EX的偏离程度。什么量，能够度量随机变量X相对于EX的偏离程度？X－EX？→不能！X－EX是随机变量E(X－EX)？→不能！E(X－EX)＝EX－EX＝0（正负偏差相互抵消）E|X－EX|？→不便于计算！E(X－EX)2导语：对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的。2.离散型随机变量的方差一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布列为：ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称D(X)＝(x1－EX)2p1＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn为随机变量X的方差。称σX＝eq\r(DX)为随机变量X的标准差。设随机变量X的数学期望为EX，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为D(X)，或Var(X)，并称eq\r(DX)为X的标准差。方差，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq\r(DX)为随机变量X的标准差。它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。例.若随机变量x满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Ex。Ex＝c×1＝cE(aX+b)=E(aX)+E(b)=aE(X)+b3.数学期望的性质(1)若C是常数，则E(C)＝C；(2)若K是常数，则E(kX)＝kE(X)；(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(4)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；推广到有限个随机变量和的情况：E(X1＋X2＋…Xn)＝EX1＋EX2＋…＋EXn；(5)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)。例.若随机变量x满足P(x＝c)＝1，其中c为常数，求Dx。Ex＝c×1＝cD(c)＝E{[c－E(c)]2}＝0平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.D(X)＝0⇔P(x＝c)＝1且C＝E(X)推论：常数的方差为___0____.D(aX)＝E[(aX)2]-[E(aX)]2=(a2)E(X2)-a2[E(X)]2=a2{E(X2)-[E(X)]2}=a2D(X)E(aX+b)＝E(aX)+E(b)＝aE(X)+bE[(aX+b)2]＝E[(a2)(X2)+2abX+b2]＝E[(a2)(X2)]+E[2abX]+E[b2]＝(a2)E(X2)+2abE(X)+b2D(aX+b)＝E[(aX+b)2]－[E(aX+b)]2＝(a2)E(X2)+2abE(X)+b2－{(a2)[E(X)]2+2abE(X)+b2}＝(a2){E(X2)－[E(X)]2}＝(a2)D(X)设X，Y是两个随机变量，则有D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}.特别，若X，Y相互独立，则有D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)综合上述三项，设X，Y相互独立，a，b，c是常数，则D(aX＋bY＋c)＝a2D(X)＋b2D(Y)4.方差的性质(1)设C是常数，则D(C)＝0(2)设X是随机变量，C是常数，则D(CX)＝C2·D(X)(3)D(aX＋b)＝a2·D(X)(a、b为常数)在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)。(4)为计算方便，方差的计算公式还可以简化为D(X)＝E(X2)－(E(X))2。证明：D(X)＝E[(X－E(X))2]＝E[X2－2XE(X)＋(E(X))2]＝E(X2)－2E(X)E(X)＋[E(X)]2＝E(X2)－(E(X))2例.设随机变量x服从两点分布：ξ10PP1－P试求它的Ex和Dx。Ex＝pE(X2)＝02×(1－p)＋12×p＝p所以Dx＝E(X2)－[E(X)]2＝p－p2＝pq，其中q＝1－p5.两点分布的期望、方差若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)。典例讲解考点一离散型随机变量的期望例1.(2011·湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列为X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)故X的数学期望为EX＝2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(11,4).例2.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ。(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解(1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝eq\f(126,200)＝0.63，P(ξ＝2)＝eq\f(50,200)＝0.25，P(ξ＝1)＝eq\f(20,200)＝0.1，P(ξ＝－2)＝eq\f(4,200)＝0.02.故ξ的分布列为ξ621－2P0.630.250.10.02(2)1件产品的平均利润为Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为Eξ＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x.由Eξ≥4.73，得4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.探究提高(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX，DX即可．考点一离散型随机变量的方差例3.数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合。(1)求巧合数ξ的分布列；(2)求巧合数ξ的期望与方差。解(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，P(ξ＝0)＝eq\f(44,Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(44,120)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)×9,Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(45,120)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)×2,Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(20,120)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(10,120)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,120)，ξ01235Peq\f(44,120)eq\f(45,120)eq\f(20,120)eq\f(10,120)eq\f(1,120)(2)E(ξ)＝0×eq\f(44,120)＋1×eq\f(45,120)＋2×eq\f(20,120)＋3×eq\f(10,120)＋5×eq\f(1,120)＝1D(ξ)＝1×eq\f(44,120)＋0＋1×eq\f(20,120)＋4×eq\f(10,120)＋16×eq\f(1,120)＝1.错位排列数公式：n！(1-)例4.设在12件同类型的零件中有2件次品，抽取3次进行检验，每次抽取1件，并且取出后不再放回，若以ξ和η分别表示取到的次品数和正品数。(1)求ξ的分布列、均值和方差；(2)求η的分布列、均值和方差。解(1)ξ的可能取值为0，1，2，ξ＝0表示没有取出次品，故P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(3,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(6,11).ξ＝1表示取出的3个产品中恰有1个次品，所以p(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(9,22).同理P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).所以，ξ的分布列为ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)E(ξ)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，D(ξ)＝eq\f(6,11)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,22)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,22)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(15,44).(2)η的取值可以是1，2，3，且有ξ＋η＝3.∴P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝eq\f(1,22)，P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝eq\f(9,22)，P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝eq\f(6,11)，所以，η的分布列为η123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)E(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，D(η)＝D(3－ξ)＝(－1)2×D(ξ)＝eq\f(15,44).考点三期望与方差性质的应用例5.设随机变量X具有分布P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1，2，3，4，5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，eq\r(DX－1)。[审题视点]利用期望与方差的性质求解．解∵E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝eq\f(15,5)＝3.E(X2)＝1×eq\f(1,5)＋22×eq\f(1,5)＋32×eq\f(1,5)＋42×eq\f(1,5)＋52×eq\f(1,5)＝11.D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝eq\f(1,5)(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8，eq\r(DX－1)＝eq\r(DX)＝eq\r(2).若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．例6.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号。(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值。解(1)X的分布列为X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即为所求．课时综合练一、选择题1.已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()．A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1解析E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).答案A2.(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为()．A．0.4B．0.6C．0.7D解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案A3.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案B4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()A.eq\f(32,3)B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3)D.eq\f(16,3)解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为eq\f(16,3)。答案D5.设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是：X0a1Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)则当a在(0，1)内增大时()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大【分析】研究方差随a变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.详解】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，D(X)先减小后增大.方法2：则故选D.6.(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A．126125B．65C．168125D．eq\f(7,5)答案：B解析：由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.由于P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，故E(X)＝.7.(2017·浙江)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，则（）A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2) D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)【解答】∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=p1－p12，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=p2－p22，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣(p2－p22)=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．二、填空题8.(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ78910P0.30.350.20.15该随机变量ξ的均值是________。解析由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案8.29.随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若Eξ＝eq\f(1,3)，则Dξ的值是________。10.（2014·浙江）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________。11.(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b答案212.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝________.解析ξ的取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,12),C\o\al(3,16))＝eq\f(11,28)；P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(1,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(33,70)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(2,4),C\o\al(3,16))＝eq\f(9,70)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o